建立数学模型解决实际问题(解析版).pdf

则 2500 0.8x 1500 , 0.8x 0.6 , lg 0.8x lg 0.6 , x lg 0.8 lg 0.6 ,
x
lg
0.6
lg
6 10
lg
2
lg
31
0.301
0.4771 1
2.3
lg 0.8 lg 8 3lg 2 1
3 0.3011
10
．
故选：A．
9．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先,高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪
令 y 4 得： t1 3 ；令 y 6 得： t2 log2 12 ；令 y 9 得： t3 log2 18 , t1 t2 3 log2 12 log2 96 t3 ,故选项 D 错误,
故选：BC
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数,从足够长远的角度 看,更为有前途的生意是________.
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
4
【参考答案】D
【解析】
由函数的增长趋势可知,指数函数增长最快,所以最终最前面的具有的函数关系为 f4 x 2x ,故选 D．
8．（2020·湖北郧阳�高二月考）一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效,而低于 500mg 病人就 有危险．现给某病人注射了这种药 2500mg ,如果药在血液中以每小时 20% 的比例衰减,为了充分发挥药
D．对数型函数
【参考答案】D
【解析】
由题目信息可得：初期增长迅速,后来增长越来越慢,故可用对数型函数模型来反映 y 与 x 的关系.
故选：D.
7．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑,假设他们跑过的路程 fi(x)(其中 i∈{1,2,3,4})和时间 x(x>1)的函数关 系分别是 f1(x)＝x2,f2(x)＝4x,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关 系是( )
则 y 相应的增量 y 越来越小,而 5min 后 y 关于 t 的图像是直线,即温度匀速增加,
则 BC 正确.
故选：BC
12．（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数
f
(x)
log 1
2
x
与
g(x)
1 2
x
在区间 (0, ) 上的衰减
情况的说法中错误的有（ ）
f x
g x
A．
的衰减速度越来越慢,
声更小．我们用声强 I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每 1 平方米面积上声能流密度,声强级 L1
（单位：dB）与声强
I
的函数关系式为：
L1
10
lg
I 1012
．若普通列车的声强级是
95dB,高速列车的声
强级是 45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A．106 倍
B．105 倍
C．104 倍
A．1.27
B．1.26
C．1.23
D．1.22
【参考答案】B
【解析】
lg E1 0.1
由题意11.25 2.5(lg E2 lg E1) , E2
,
E1 100.1 1 2.3 0.1 2.7 0.12 1.257 1.26
∴ E2
．
故选：B．
6
二、多选题
11．（2019·全国高一课时练习）在某种金属材料的耐高温试验中,温度 y 随着时间 t 变化的情况由计算机记
D． y 2x
【参考答案】A
【解析】
由于 y ex 是指数函数, y lnx 是对数函数, y x100 是幂函数, y 2x 指数函数,
由于当 x 足够大时,指数函数的增长速度最快,呈爆炸式增长,且 2 个指数函数的底数分别为 e 和 2,且
e 2 ,故增长速度最快的是 y ex .
A．浮萍每月增加的面积都相等 B．第 6 个月时,浮萍的面积会超过 30m2
C．浮萍面积从 2m2 蔓延到 64m2 只需经过 5 个月 D．若浮萍面积蔓延到 4m2 , 6m2 , 9m2 所经过的时间分别为 t1 , t2 , t3 ,则 t1 t3 2t2
【参考答案】BC 【解析】
由题意可知,函数过点 (1,1) 和点 (3, 4) ,代入函数关系式： y kat (k R ,且 k 0 ； a 0 ,且 a 1) ,
6．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求,对超市的商品种类做了一定的 调整,结果调整初期利润增长迅速,随着时间的推移,增长速度越来越慢,如果建立恰当的函数模型来反映该 超市调整后利润 y 与售出商品的数量 x 的关系,则可选用（ ）
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
录后显示的图像如图所示给出下列说法,其中正确的是（ ）
A．前 5min 温度增加的速度越来越快 B．前 5min 温度增加的速度越来越慢
C．5min 以后温度保持匀速增加 D．5min 以后温度保持不变
E.温度随时间的变化情况无法判断
【参考答案】BC 【解析】
温度 y 关于时间 t 的图像是先凸后平即 5min 前每当 t 增加一个单位增量 t ,
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
【参考答案】B
【解析】
由题意,第二天新增订单数为 500 1600 1200 900 ,
900 18
故需要志愿者 50
名.
故选：B
2．（2020·全国高一课时练习）某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元)与时间 x(年)的关系如图所示,则可选 择的模拟函数模型是（ ）
10．（2020·沙坪坝�重庆一中高三月考（理））为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元 前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850 年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星
物的利用价值,那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效．（附：
1g2 0.301,1g3 0.4771,参考答案采取四舍五入精确到 0.1h ）
A．2.3 小时
B．3.5 小时
C．5.6 小时
D．8.8 小时
【参考答案】A
【解析】
设从现在起经过 x 小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效．
① y 101.05x ；② y 20 x1.5 ；③ y 30 lg(x 1) ；④ y 50
【参考答案】①
【解析】
由于指数函数的底数大于 1,其增长速度随着时间的推移是越来越快,
y 10 1.05x 更为有前途的生意,
10
故参考答案为：①.
16．（2020·衡水中学实验学校高三一模（文））某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位： C) 满足函数关系 y ekxb (e 2.718 为自然对数的底数, k 、 b 为常数）,若该食品在 0 C 的保鲜时间 是 192 小时,在 22 C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 C 的保鲜时间是___小时.
由图象可知,当 x 2, 4 时, x2 2x log2 x
故选： B
5．（2020·全国高一课时练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图像如图,那么图像所 对应的函数模型是( )
3
A．分段函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
【参考答案】A
【解析】
根据函数图象由不同的直线段组成可知,函数是分段函数,在每一段上函数是一次函数,故选 A.
9
ka 1 得： ka3 4 ,
k 1 2 解得： a 2 ,
y 1 2t 2t1
函数关系式： 2
,
函数是曲线型函数,所以浮萍每月增加的面积不相等,故选项 A 错误,
当 x 6 时, y 25 32 ,浮萍的面积超过了 30m2 ,故选项 B 正确,
令 y 2 得： t 2 ；令 y 64 得： t 7 ,所以浮萍面积从 2m2 增加到 64m2 需要 5 个月,故选项 C 正确,
A．y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b
D．y＝aln x＋b
【参考答案】B
【解析】
从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减,所以该函数模型是二次函数.
故选：B
3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中随 x 的增长而增长最快的是（ ）
A． y ex
B． y lnx
C． y x100
等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m1 m2 2.5lg E2 lg E1 ,其中星等为 mk 的星的亮度为
Ek (k 1, 2) .已知“心宿二”的星等是 1.00,“天津四”的星等是 1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 （ ）倍.（当| x | 较小时,10x 1 2.3x 2.7x2 ）
主要命题方向
建立数学模型解决实际问题
1. 函数模型的增长差异；2. 巧用图象比较大小；3. 几种函数模型的应用；4. 一次函数与分段函数模型 问题；5. 二次函数模型问题；6. 指数型、对数型函数模型应用问题；7. 建模思想——函数模型的确定； 8. 指数、对数函数型实际应用问题.
配套提升训练
一、单选题
1．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成 1200 份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该 超市某日积压 500 份订单未配货,预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05,志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95,则至少需要志愿者 （）
故选： ABD
13．（2019·全国高一课时练习）（多选）有一组实验数据如表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
则下列所给函数模型较不适合的有（ ）
A． y loga x a 1
y ax b a 1
B．
8
y ax2 b a 0
C．
D． y loga x b a 1
故选：A．
2
4．（2020·浙江高一课时练习）当 2 x 4 时, 2x , x2 , log2 x 的大小关系是（ ）
A． 2x x2 log2 x
B． x2 2x log2 x
C． 2x log2 x x2
D． x2 log2 x 2x
【参考答案】B
【解析】
在平面直角坐标系中,作出 y 2x , y = x2 , y log2 x 在 2, 4 时的图象如下图所示：
17．（2020·全国高三月考（理））2018 年 5 月至 2019 年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蚂虫迅速繁 衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了 8000 倍,引发了蝗灾,到 2020 年春季蝗灾已波及印度
的衰减速度越来越快
7
B． f x 的衰减速度越来越快, g x 的衰减速度越来越慢
f x
g x
C．
的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越慢
f x
g x
D．
的衰减速度越来越快,
的衰减速度越来越快
【参考答案】ABD
【解析】
在平面直角坐标系中画出 f x 与 g x 图象如下图所示：
由图象可判断出衰减情况为： f x 衰减速度越来越慢； g x 衰减速度越来越慢
D．103 倍
5
【参考答案】B
【解析】
由题意,
95
10
lg
I普 1012
,
45
10
lg
I高 1012
,
95 则 10
Hale Waihona Puke 45 10lg10I普1高2 普
lg
I 1012
lg
I I高
5
,即
lg
I普 I高
,
I普 105
所以 I高
,即普通列车的声强是高速列车声强的105 倍.
故选：B.
【参考答案】24
【解析】
由题意可得, x 0 时, y 192 ,
x 22 时, y 48 . 代入函数 y ekxb , 可得 eb 192 , e22kb 48 ,
e11k 1
即有
2,
eb 192 ,
y e33kb 1 192 24
则当 x 33 时,
8
.
故参考答案为：24.
【参考答案】ABD
【解析】
由所给数据可知 y 随 x 的增大而增大,且增长速度越来越快,而 A,D 中的函数增长速度越来越慢,B 中的函数
增长速度保持不变,
故选 ABD.
14.如图,某池塘里的浮萍面积 y （单位： m2 ) 与时间 t （单位：月）的关系式为 y kat (k R ,且 k 0 ； a 0 ,且 a 1) ．则下列说法正确的是（ ）