第05讲 一元二次不等式(解析版)

第05讲一元二次不等式
【基础知识回顾】
1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＞0，
b2－4ac＜0.
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＜0，
b2－4ac＜0.
3、．简单分式不等式
(1)
f(x)
g(x)≥0⇔⎩⎪⎨
⎪⎧f(x)g(x)≥0，
g(x)≠0.
(2)
f(x)
g(x)
>0⇔f(x)g(x)>0
1、不等式x2＋2x－3<0的解集为()
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}
【答案】D
【解析】 由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D.
2、关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)
C ．(1,2)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】；关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)， ∴a >0，且－b
a
＝1，
3、“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14
B ．m <14
C ．m <1
D ．m >1 【答案】：A
【解析】∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立， ∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，
又∵m >1
4
，∴Δ＝1－4m <0，
∴“m >1
4
”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.
4、不等式
29
02
x x ->-的解集是___________． 【答案】
【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可
考向一 一元二次不等式及简单不等式的解法
例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3＜0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，32 B.⎝⎛⎭
⎫－3
2，1 C.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－3
2∪(1，＋∞) 【答案】 C
【解析】 －2x 2＋x ＋3＜0可化为2x 2－x －3＞0，即(x ＋1)(2x －3)＞0， ∴x ＜－1或x ＞3
2
.
(2)不等式1－x
2＋x
≥0的解集为( )
(3,2)(3,)-⋃+∞(3)(2)(3)0x x x +--
>
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【答案】B
【解析】 原不等式化为⎩⎪⎨⎪
⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2＜x ≤1. (3)不等式0＜x 2－x －2≤4的解集为________. 【答案】 [－2，－1)∪(2，3]
【解析】由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0，
故⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，
－2≤x ≤3， 即－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.
故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3]. 变式1、求下列不等式的解集：
(1)－x 2＋8x －3>0；(2) x -1
2x+1≤0 【答案】（1）(-1
2,1]（2）(-1
2,1].
【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}. （2）方法一:x -12x+1≤0等价于{
x -1≤0,
2x +1>0,①或{x -1≥0,2x +1<0.
②
解①得-1
2<x ≤1,解②得x ∈⌀, 所以原不等式的解集为(-1
2,1]. 方法二:不等式x -1
2x+1≤0⇔{
(x -1)(2x +1)≤0,
2x +1≠0,
所以由二次不等式知{-1
2≤x ≤1,x ≠−12,
所以-1
2
<x ≤1. 所以原不等式的解集为(-1
2,1].
方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).求出对应的一元二次方程的根.
(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集
考向二 含参不等式的讨论
例2、(1)解关于实数x 的不等式： 2(1)0x a x a -++<． (2)解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．
【解析】（1）由2(1)0x a x a -++=得()(1)0x a x --=， ∴12,1x a x ==， ① 当1a >时，2(1)0
x a x a -++<的解集为{}1x x a <<，
②
当1a =时，2(1)0x a x a -++<的解集为∅，
③当1a <时，2(1)0x a x a -++<的解集为{}1x a x <<． （2）对方程210x ax -+= ，当240a ∆=-≤即22a -≤≤时 不等式的解集为∅
当240a ∆=->即2a >或2a <-时
2
10x ax -+=的根为12x x ==
不等式的解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭
变式、 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0(a ∈R ).
【解析】 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为
(x －a )(x －a 2)＞0.
当a ＜0时，a ＜a 2，∴原不等式的解集为 {x |x ＜a 或x ＞a 2}；
当a ＝0时，a ＝a 2＝0，∴原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当0＜a ＜1时，a ＞a 2，∴原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a ＝1时，a ＝a 2＝1，∴原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a ＞1时，a ＜a 2，∴原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}.
综上所述，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}；
当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；
当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}.
方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论
二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
考向三 恒成立问题
例3、若不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是
A ．[－1，3]
B ．(－∞，－1]
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【答案】D
【解析】法一：当x ＝－1时，由x 2＋px ＞4x ＋p －3，可得p ＜4，故x ＝－1不符合题意，即排除选项A 、B ；当x ＝3时，由x 2＋px ＞4x ＋p －3，可得p ＞0，故x ＝3不符合题意，即排除选项C ，故答案选D ． 法二：由题意，原不等式可化为x 2＋(x －1)p －4x ＋3＞0，可设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，因为x －1≠0，所以f (p )为一次函数，要使f (p )在0≤p ≤4内恒大于0，则有f (0)＞0，且f (4)＞0，即x 2－4x ＋3＞0且x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1，故答案选D ．
变式1、“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是
A ．0＜a ＜1
B ．0≤a ≤1
C ．0＜a ＜1
2 D ．a ≥0
【答案】BD
【解析】由题意可知，关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0恒成立，则∆＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，对于选项A ，“0＜a ＜1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的充要条件；对于选项B ，“0≤a ≤1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；对于选项C ，“0
＜a ＜1
2
”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件对于选项D 中，“a ≥0”
是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”必要不充分条件，故答案选BD ．
变式2、已知函数22()x x a
f x x ++=，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【答案】 {}3a a >-
【解析】∵[1,)x ∈+∞时，22()0x x a
f x x
++=>恒成立，即220x x a ++>恒成立．
即当1x ≥时， 2(2)()a x x g x >-+=恒成立．
而22()(2)(1)1g x x x x =-+=-++在[1,)+∞上单调递减， ∴max ()(1)3g x g ==-，故3a >-． ∴实数a 的取值范围是
{}3a a >-
方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
(3)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(4)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .
考向四 一元二次不等式的应用
例4、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，总成本为()G x (万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成
本＋生产成本)；销售收入R （x ）
(万元)满足：20.4 4.20.8,05,
()10.2,5x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．
(1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【解析】：
依题意，()2G x x =+，设利润函数为()f x ，则
20.4 3.2 2.8,05,
()8.2,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨
->⎩
(1) 要使工厂有赢利，即解不等式()0f x >， 当05x ≤≤时，解不等式20.4 3.2 2.80x x -+->， 即2870x x -+<，得17x <<， ∴15x <≤．
当5x >时，解不等式8.2x -，得8.2x <， ∴58.2x <<
综上所述，要使工厂赢利，x 应满足18.2x <<，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(2)05x ≤≤时，2()0.4(4) 3.6f x x =--+， 故当4x =时，()f x 有最大值3.6； 而当5x >时， ()8.25 3.2f x <-= 因为3.6 3.2>
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．
变式、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为(01)x x <<，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 【解析】
(1) [](10.75)12(1)10(10.6)10000y x x x =+⨯-+⨯⨯+⨯
26000200020000x x =-++
即26000200020000(01)y x x x =-++<<． (2)上年利润为(1210)1000020000-⨯= ∴200000y ->，即2600020000x x -+>， ∴103x <<
，即x 的范围为1(0,)3
． 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 1
(0,)3
∈． 方法总结：解不等式应用题的要注意：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
1、(2022·江苏苏州市第十中学10月月考)已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4，则不等式
20cx bx a ++<的解集为_________.
【答案】1
2
x x
⎧⎨⎩
或14x ⎫<⎬⎭
【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4，所以a <0且2和4是20ax bx c ++=的两根.所以
2424b a
c
a ⎧
+=-⎪⎪⎨
⎪⨯=⎪⎩
可得：68b a c a =-⎧⎨=⎩，所以20cx bx a ++<可化为：2860ax ax a -+<，因为a <0，所以2860ax ax a -+<可化为28610x x -+>，
即()()21410x x -->，解得：12x >
或14x <，所以不等式20cx bx a ++<的解集为12x x ⎧
⎨⎩或14x ⎫
<
⎬⎭
.故答案为：12x x ⎧⎨⎩或14x ⎫
<
⎬⎭
. 2、（2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考）
若不等式220ax bx ++>的解集为{}
21x x -<<，则二次函数2
24y bx x a =++在区间[]0,3上的最大
值、最小值分别为（ ） A. -1，-7 B. 0，-8
C. 1，-1
D. 1，-7
【答案】D
【解析】220ax bx ++>的解集为{}
21x x -<<，2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，
∴21221b a a ⎧
-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=
⎪⎩
，1a ∴=-，1b =-，
则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =， 在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7-.故选：D ．
3、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是
A ．0＜a ＜1
B ．0≤a ≤1
C ．0＜a ＜1
2 D ．a ≥0
【答案】BD
【解析】由题意可知，关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0恒成立，则∆＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，对于选项A ，“0＜a ＜1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的充要条件；对于选项B ，“0≤a ≤1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；对于选项C ，“0＜a ＜1
2”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件对于选项D 中，“a ≥0”
是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对∀x ∈R 恒成立”必要不充分条件，故答案选BD ．
4、关于的不等式（）的解集为，
且，则 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵由 ()，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=，
∵214(2)615x x a a a -=--==，∴155
62
a =
=．故选A ． 5、已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】(2
-
【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22
()210
(1)230
f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解
得0m <<． x 22
280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =527215
4
15222
280x ax a --<0a >,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m。