新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系课件新人教B版必修17

【思维·引】 根据A=B列方程组，解方程求出x，y，检验集合中元素 的互异性，求出x，y的值.
【解析】因为A=B，所以集合A与集合B中的元素相同，
所以
x 2x，
y
y2
或
x y2，
y
2x，
解得
x 0， y 0
或
x y
0， 或
1
x
1， 4
y
1， 2
验证得，当x=0，y=0时，A={2，0，0}这与集合元素的
【加练·固】
1.已知集合A=
x|x
2n 1 3
,
n
Z，
B=
x|x
2n 3
1, n
Z，
则集合A，B的关系为________.
【解析】由集合A得：A=
x|x
1 3
2n
1,
n
Z,
由集合B得：B=
x|x
1 3
2n
3
,
n
Z，
因为2n+1，n∈Z和2n+3，n∈Z都表示所有奇数，
所以A=B.
互异性相矛盾，舍去.所以x，y的取值为
或
x＝
1， 4
x＝0， y＝1
y＝12 .
角度2 由集合之间的包含关系求参数 【典例】已知集合A=[-2，5]，B=[m-6，2m-1]，若 B⊆A，求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号
【解析】 (1)当B=∅时，有m-6>2m-1， 则m<-5，此时B⊆A成立.
2.证明集合相等的两种方法 (1)用两个集合相等的定义，证明两个集合 A，B中的 元素全部相同，即可证明A=B. (2)证明A⊆B，同时B⊆A ，推出A=B.
【习练·破】
1.已知集合A={x|x=3k，k∈Z}，B={x|x=6k，k∈Z}，
则A与B之间最合适的关系是 ( )
A.A⊆B
B.A⊇B
2.当集合中元素有无限多个时，常用哪些方法判断集 合之间的关系？
提示：常用的方法有以下两种：
(1)画数轴，
(2)适当变形寻找联系，例如：对于集合
A=
x｜x
k 3
,k
Z,
B=
x｜x
k 6
,k
Z
，
将集合A变为A=
x｜x
2k 6
,
k
Z,
不难视察出A
B.
【类题·通】 1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
提示：(1)×.∅只有一个子集. (2)√.{0，1，2}={2，0，1}，所以{0，1，2}⊆ {2，0，1}. (3)√.若A⊆B，且A≠B，则A B. (4)×.∅也是集合{0，1}的子集.
2.下列图形中，表示M⊆N的是( )
【解析】选C.根据题意可知，M中的任意一个元素都是 N中的元素，故C正确.
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如 1∈N，-1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1， 2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两 边均为集合.
3.关于子集和真子集的结论 (1)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. (3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.
2.由集合之间的包含关系求参数的两类问题 (1)若集合中的元素是一一列举的，根据集合之间的关 系，可转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元 素的互异性.
(2)若集合中的元素有无限多个，无法一一列举(如不 等式的解集)，常借助于数轴转化为不等式(组)求解， 此时要注意端点值能否取到.
3.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参 数的问题时，要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况，前者常 被忽视，造成思考问题不全面.
2.选C.由数轴知B A.
3.(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之 不成立，所以A B. (2)因为A={x|x2-x=0}={0，1}，B={x∈R|x2+1=0}=∅， 所以B A.
(3)由图形的特点可画出维恩图如图所示，
从而C A B D.
(4)方法一：对于集合M，其组成元素是n ，分子部
－2 m－6，
(2)当B≠∅时，B⊆A，此时满足 m－6 2m－1，
m 4，
2m－1 5，
解得 m －5，此不等式组的解集为∅.由(1)(2)知，
实数m的m取 3值. 范围是(-∞，-5).
【素养·探】 由集合间的关系求参数问题中，经常利用核心素养中 的直观想象，常利用数轴直观展示集合之间的关系， 并列出不等式(组)，求参数的值或范围. 本例中若将“A=[-2，5]”改为“A={x|x<-2或x>5}”， 其余条件不变，求实数m的取值范围.
C.A B
D.A B
【解析】选D.因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是 3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集.
2.已知集合U，S，T，F之间的关系如图所示，下列关 系中错误的有________.(只填序号)
①S U； ②F T； ③S T； ④S F； ⑤F U.
【解析】根据子集、真子集的定义， 由维恩图的关系，可以看出S U，S T，F U正确， ②④错误. 答案：②④
B. 2 ∈Q D.{1}⊆{x|x2=x}
2.已知集合A={x|x<-2或x>0}，B={x|0<x<1}，则( )
A.A=B
B.A B
C.B A
D.A⊆B
3.判断下列各组中集合之间的关系： (1)A={x|x是12的约数}，B={x|x是36的约数}； (2)A={x|x2-x=0}，B={x∈R|x2+1=0}； (3)A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是 四边形}，D={x|x是正方形}；
4.集合相等与子集的关系 (1)如果A⊆B且B⊆A，则A=B. (2)如果A=B，则A⊆B且B⊆A.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集. ( ) (2){0，1，2}⊆{2，0，1}. ( ) (3)若A⊆B，且A≠B，则A B. ( ) (4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}. ( )
3.已知集合A={-1，3，m}，B={3，4}，若B⊆A，则实 数m=_______ 【解析】因为B⊆A，B={3，4}，A={-1，3，m}，比较A， B中的元素可知m=4. 答案：4
类型一 集合间关系的判断
【典例】1.下列各个关系式中，正确的是 ( )
A.∅={0} C.{3，5}≠{5，3}
(4)M=
x|x＝n2，n
Z
，N=
x|x＝12＋n，n
Z
.
【思维·引】 1.先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系， 然后根据集合中元素的特征逐项判断. 2.画出数轴，视察数轴判断集合A与B的关系. 3.第一确定集合由哪些元素构成，然后判断集合之间 的关系.
【解析】1.选D.因为∅ {0}， 2∉Q， {3，5}={5，3}， 所以A，B，C错误，{x|x2=x}={0，1}， 所以{1}⊆{x|x2=x}成立
【习练·破】
满足条件{x|x2-1=0}⊆A {-1，0，1，2，5}的集合A
的个数为 ( )
A.7
B.6
C.8
D.5
【解析】选A.因为{x|x2-1=0}={-1，1}，所以{-1， 1}⊆A {-1，0，1，2，5}，所以集合A可以是{-1， 1}，{-1，1，0}，{-1，1，2}，{-1，1，5}，{-1， 1，0，2}，{-1，1，0，5}，{-1，1，2，5}，共7个.
2
分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是
1+n= 2n＋1，分子部分表示所有的奇数.由真子集的概
2
2
念知，N M.
方法二：用列举法表示集合如下：
M=
，
3， 2
1,
1 2
,
0,
1 2
,1,
3 2
,
2,
5 2
,,
N=
,
3 2
,1 2,Fra bibliotek1 2
,
3 2
,
5 2
,,
所以N M.
【内化·悟】 1.区分属于关系和包含关系的关键是什么？ 提示：关键是结合具体情境辨认集合还是元素.
【内化·悟】 求集合的子集时，为了做到不重不漏，常采用什么方 法？ 提示：对于含有n个元素的集合A，按元素个数由0到n， 依次列出集合A的子集.
【类题·通】 求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合. (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出.
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身. 另外，一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有 2n个，真子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.
1.1.2 集合的基本关系
1.维恩图 用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合的示意图. 2.子集和真子集
概 念
定义
符号 表示
示意图
如果集合A的任意
子 集
一个元素都是集 A⊆B(或B⊇A)读作 合B的元素，那么 “A包含于B”(或 集合A称为集合B “B包含A”)
的子集.
概 念
定义
符号 表示
如果集合A是集合B
【解析】1.选C.满足{202X}⊆A {202X，202X，202X} 的集合A可以是：A={202X}，{202X，202X}，{202X， 202X}，因此满足条件的集合A的个数为3.
2.因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，所以 A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}， {(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}， {(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0，解得a=1， 当a=1时，A={1，3，1}，不满足集合元素的互异性. 综上，若B⊆A，则a=-1或a=2. 答案：-1或2
答案：A=B
2.已知集合A={x|x=3n-2，n∈Z}，B={y|y=3k+1， k∈Z}，证明：A=B.
【证明】(1)设任意x0∈A，则x0=3n0-2， 且n0∈Z，3n0-2=3(n0-1)+1， 因为n0∈Z， 所以n0-1∈Z， 所以x0∈B，故A⊆B.
(2)设任意y0∈B，则有y0=3k0+1， 且k0∈Z，3k0+1=3(k0+1)-2， 因为k0∈Z，所以k0+1∈Z， 所以y0∈A，故B⊆A. 综上可得A=B.
真 子 集
的子集，并且集合 B中至少有一个元 素不属于A，那么 集合A称为集合B的
A B(或B A) 读作“A真包含于 B”(或“B真包含 A”)
真子集.
示意图
【思考】 (1)任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A={1，3}，B={2，3}，这两个 集合就没有包含关系.
(2)符号“∈”与“⊆”有什么区分？
【加练·固】
已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，
x∈R}的子集的个数为 ( )
A.1
B.2
C.4
D.不确定
【解析】选C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式 Δ=1+4a2>0， 所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元 素，所以集合M有22=4个子集.
类型三 由集合间的关系求参数的值或取值范围 角度1 由集合相等求参数 【典例】已知集合A={2，x，y}，B={2x，2，y2}， 且A=B，求x，y的值.
【解析】(1)当B=∅时，m-6>2m-1， 则m<-5，此时满足条件B⊆A.
(2)当B≠∅时，B⊆A，
则
m2m－－612－m2－1，或
m－6 m－6
2m－1， 5.
解得-5≤m<- 1 或m>11.
2
综合(1)、(2)知，实数m的取值范围是
{m|m<- 1 或m>11}.
2
【类题·通】 1.由集合相等求参数取值的方法 从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，一是 利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值，二是利 用元素相同，则元素的和与积分别相同，建立方程组 求参数的值.需要注意的是解方程组后要代入检验，对 不符合题意的参数的值要舍去.
【习练·破】 1.已知集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且B⊆A，则 a=________.
【解析】因为B⊆A，所以a2-a+1=3或a2-a+1=a. ①由a2-a+1=3得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，当a=-1时， A={1，3，-1}，B={1，3}，满足B⊆A，当a=2时，A={1， 3，2}，B={1，3}，满足B⊆A.
类型二 元素个数有限的集合的子集问题
【典例】1.满足{202X}⊆A {202X，202X，202X}
的集合A的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出A的 所有子集. 世纪金榜导学号
【思维·引】 1.根据子集和真子集的定义确定集合A中的元素，写出 满足条件的集合. 2.先确定集合A由哪些元素构成，然后按元素个数分类 写出A的所有子集.