等差数列前n项的和

小结： 小结：1、等差前n项和Sn公式的推导； 2、等差数列的求和公式是 等差数列的求和公式是
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n − 1) S n = na1 + d 2
说明：两个求和公式的使用-------知三求二. 知三求二. 说明：两个求和公式的使用-------知三求二
3、等差前n项和Sn公式的理解.
n(a1 + an ) Sn = 2
或
n(n −1) Sn = na1 + d 2
Sn = a1 + a2 +L+ an
= a1 + (a1 + d) +L+[a1 + (n −1)d]
= na1 + [1 + 2 +L+ (n − 1)]d
n(n −1) d = na1 + 2
∴
n(n −1) Sn = na1 + d 2
浏阳九中 周华丽
复习： 1、等差数列的定义是什么？ 2、等差数列的通项公式是什么？ 3、等差数列有哪些的性质？
身边的问题： 身边的问题： 学校为美化校园，决定在道路旁摆放 盆景。从校门口取出花盆到距校门 1米处 开始摆放，每隔1米摆放一盆，学生小王 每次拿两盆，若要完成摆放30盆的任务， 最后返回校门处，问小王走过的总路程是 多少？
1．画出示意图： ．画出示意图：
4m 8m 12m 60m
2．问题化归：即求 4 + 8 + 12 +L+ 60 = ? ．问题化归：
等差数列的前n项和 §3.3 等差数列的前 项和
Sn = a1 + a2 +L+ an
1+ 2 + 3 +L+ 100 = ?
1+ 100 = 2 + 99 = L= 50 + 51
解：Q a1 = 4, an = 84, Sn = 924
∴ ∴ ∴
n(4 + 84) 924 = 2
∴
n = 21
84 = 4 + (21−1)d
d =4
项和是60， ③．已知一个等差数列的前5项和是 ，前10 已知一个等差数列的前 项和是 项和是220，由此可以确定求其前n项和 ，由此可以确定求其前 项和 项和是 的公式吗？ 的公式吗？ 解：由题意知： S5 = 60, S10 = 220 由题意知：
2．问题化归：即求 ．问题化归：即求4+8+12+……+60=？ 480
①．等差数列 4, 8, 12, 16 … 的前多少 项和是612？ 项和是612？ 612 解：
a1 = 4, d = 8 − 4 = 4, Sn = 612
∴
n(n −1) 则由公式得到： 则由公式得到： 4n + × 4 = 612 2
共50个101 50个
100 于是所求的和是 101× = 5050 2
n 为偶数时： （1）n为偶数时：记 Sn = 1+ 2 + 3 +L+ n = (1+ n) 2
1+ 2 + 3 +L+ n = ?
（2）n为奇数时：Sn = 1+ 2 + 3 +L+ (n −1) + n 为奇数时： =？
Sn = a1 + a2 + a3 L+ an
又 Sn = an + an−1 + an−2 L+ a1
∴2S
n
= (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) +L+ (an + a1 )
= (a1 + an ) + (a1 + an ) +L+ (a1 + an )
∴
= n(a1 + an )
n +n − 306 = 0
2
去 解得： 解得： n1 =17, n2 = −18 (舍 )
项的和是612 故等差数列4，8，12，16，…前17项的和是 等差数列 ， ， ， ， 前 项的和是
,84的各项的和 ②．若等差数列4，… ,84的各项的和 若等差数列4 是924，则公差d= 924，则公差d= 4 ．
n( n − 1) d Sn= na1+ 2
d 2 d = n + (a1 − )n 2 2
d d 设a = , b = a 1 − , 上式写成 2 2 S n = an 2 + bn n n
a≠0
?
a=0
课外探索
1.已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大? 2、数列{an}的前n项和sn=an2+bn+c，则 此数列为等差数列的充要条件是什么？ 说明理由。
的前n项和公式是 项和公式是： ∴ 等差数列 {a }的前 项和公式是：
n
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n −1) Sn = na1 + d 2
联想： 联想：
a1 n an a1 (n-1)d a1
回到开始的问题： 回到开始的问题： 1．画出示意图： ．画出示意图：
4m 8m 12m 60m
Sn = 1+ 2 + 3 +L+ (n −1) + n = ?
Sn = 1+ 2 + 3 +L+ (n −1) + n
又 Sn = n + (n −1) + (n − 2) +L+ 1
∴ 2S
∴
n
= (1+ n) + (1+ n) +L+ (1+ n)
n(n + 1) Sn = 2
是公差为d的等差数列，则其前n项和： ③若{an}是公差为d的等差数列，则其前n项和：
5a1 + 10d = 60, 解得： a1 = 4, 解得： 10a1 + 45d = 220. d = 4.
所以 Sn = 4n + n(n −1) ×4 = 2n2 + 2n度怎样理解 Sn = 2n2+2n
y
4 -1 0 1 x
一般地，如果a1,d是确定的，那么