3.2基本求导法则(微积分)

即若 y f ( u ), u g ( v ), v h ( x ) 可导 , 则 y f { g [ h ( x )]}
dy du dv 可导 , 且 . dx du dv dx
dy
dy dx
f ( u ) g ( v ) h ( x ).
（2）求导, 由外向内逐层对中间变量 求导，直至对自变量求导为止。

dy dx

1 dx dy

1 cos y
sin y x
1
2
可得 cos y
1 x

1 x
2
即 (arcsin x )
1 1 x
2
.
同理 (arccos
x )
1 1 x
2
.
二、复合函数的求导法则 定理3: 如果 (1)函数 u g ( x)在点 x可导,
(2) y f (u )在对应的点u g ( x)可导,
2
,
( v ( x ) 0).
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
( 2)
( 3)
[Cf ( x )] Cf ( x ), C为常数;
[ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
k
二、 求下列函数的导数： 1. y arccos 3. y ln( x 5. y (arcsin 7. y
二、反函数的求导法则
定理 设函数 x ( y ) 在某区间内严格单调、可导，
且 ( y ) 0, 则其反函数y=f (x)在相应区间内也严格单调 且可导， 且有
f ( x ) 1
( y )
.
证 因为 x ( y ) 严格单调连续, 其反函数也严格 单调连续. 故当x 0时, y 0, 且x 0时, y 0 所以 f ( x) lim
1 2
x
2
2 2
a x

a
2
2 2
2 a x
x .
2
例12 求函数 y ln 解
y
x 1
2 3
x2
1 3
( x 2 ) 的导数 .
y
1
1 2
1
ln( x 1 )
2
ln( x 2 ),
x x 1
2
2 x 1
2
2x
1 3( x 2 )
思考题解答
正确地选择是（3）
例 f ( u ) | u | 在 u 0 处不可导，
取 u g ( x ) sin x 在 x 0 处可导，
f [ g ( x )] | sin x | 在 x 0 处不可导， 1) (
取 u g ( x ) x 4 在 x 0 处可导，
sin 1 x

1 3( x 2 )
例13 求函数 y e 解
y e
sin 1 x
的导数 .
sin 1 x
(sin
sin
1 x
1 x
) e
cos 1 x
cos
1
( ) x x
1

1 x
2
e
.
练习 P100 6.(8) ,7.(11)
四、小结
1.常数和基本初等函数的导数公式
2
例3 求 y tan x 的导数 . 解
y (tan x ) (

sin x cos x
)
(sin x ) cos x sin x (cos x ) cos
2
x

cos
2
x sin cos
2
2
x

2
1 cos
2
sec x
2
x
x
即
(tan x ) sec x .
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
u u v uv （3）( uv ) uv uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
y
x 0 x
lim
1 x y

1
y 0
x 0
lim
x y

1 dx dy

1
'( y)
.
ex 6 .设 y arcsin x , 求 y .
Solution.
y arcsin x ,
则它是 x sin y , y [

, 2 2
]的反函数 .
( e ) e
x x
( a ) a ln a
x x
(log
a
x )
1 x ln a
(ln x )
1 x
(arcsin
x ) x )
1 1 x 1 1 x
2 2
(arccos
x )
1 1 x 1 1 x
2 2
(arctan
( arc cot x )
例9 求函数 y ln sin x 的导数 . 解
dy
y ln u , u sin x .
dy du 1 dx du dx u
cos x
cos x sin x
cot x
例10 求函数 y ( x 2 1 ) 10 的导数 . 解
dy dx
10 ( x 1 ) 2 x 20 x ( x
( y )
设 y f ( u ), 而 u ( x ) 则复合函数 或
y f [ ( x )]
y ( x ) f ( u ) ( x ).
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完 全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.
作业 P100 6.(9) ,7.(10)
x2

2 3
4 6 , 3 9 2
所求切线方程为
y
4 6 9
和 y
4 6 9
练 习 题 一
一、 1. 2. 3. 4. 5. 6. 填空题： 设 y ( 2 x 5 ) 4 ,则 y =___________. 设 y sin 2 x ,则 y =____________. 设 y arctan( x 2 ) ,则 y =____________. 设 y ln cos x ,则 y =____________. 设 y 10 x tan 2 x ，则 y =____________. 设 f ( x ) 可导，且 y f ( x 2 ) ， dy 则 =___________. dx 7. 设 f ( x ) e tan x ,则 f ( x ) =__________， 若 f e ，则 k ___________. 4
已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商.
思考题
若 f ( u ) 在 u 0 不可导， u g ( x ) 在 x 0 可导，且 u 0 g ( x 0 ) ，则 f [ g ( x )] 在 x 0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
即若 y f ( u ), u g ( v ), v h ( x ) 可导 , 则 y f { g [ h ( x )]}
dy du dv 可导 , 且 . dx du dv dx
dy
dy dx
f ( u ) g ( v ) h ( x ).
注：复合函数求导方法： （1）分析结构， 即明确它是由哪些基本初等函 数（P98有公式可套的函数）复合而成的。
则复合函数 y f [ g ( x)]在点x可导, 且其导数为
dy dx
证明：
f (u ) g ( x).
dy dx y x
或
y u
dy du . dx du dx
u x
dy
lim
x 0
lim
lim
y u

x 0
x 0
lim
u x
(1) [ u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [ u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); ( 3) [ u( x ) v( x ) ] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) v ( x)
五、
注意:
[
思考题
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x );
u (x) v(x)
]
u ( x ) v ( x )
.
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则（注意函数的复合过程, 合理分解正确使用链导法）;
3.反函数的求导法则
设函数 x f ( y )在某区间 I y内单调、可导
1
且f ( y ) 0 , 那末它的反函数 y f
( x)在对应 1 .
区间I x f ( I y )内也可导 , 且有f ( x)
4. 复合函数的求导法则
的导数为 dy dx dy du du dx
2 9 2
10 ( x 1 ) ( x 1 )
2 9 2
1) .
9
例11 求函数 y 解
y ( x 2
2
x 2
a x
2 2
2
a
2
arcsin
x a )
x a
的导数 .
(a 0)
2
a
2
a x ) (
arcsin
2


1 2
a
a x
2 2
2
( C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec
2
( x ) x

1
(cos x ) sin x
x
(cot x ) csc
2
x
(sec x ) sec x tan x
(csc x ) csc x cot x
y x
d (sin x ) d (x )
2 2
df ( x ) dx
x 0
.
cos x
cos x
注意：
(sin x )'
2
换元要彻底！
d (sin x ) d ( x ） 2 cos x ( 2 x ) 2 d (x ) dx
2 2
d (sin x ) dx
2
2 (cot x ) csc x .
同理可得
例4 求 y sec x 的导数 .
解
1 cos
2
y (sec x ) (
1 cos x
)
sec x tan x .
x
(cos x )
sin x cos
2
x
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
i 1 n

f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i( x ) f k ( x );
i 1k 1 k i n n
下面看一些例子 例1 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
y 3 x 4 x cos x .
( f [ g ( x )] | x | x 在 x 0 处可导， 2)
4 4
思考题
3 求曲线 y 2 x x 上与 x 轴平行 的切线方程.
思考题解答
y 2 3 x
2
令 y 0
2 3
4 6 , 3 9 2

2 3x 0
2
x1
切点为
x 0

dy du
du dx
.
思考：
由换元法： (sin x )' cos x , 得到 (sin x )' cos x ,
2 2
此推理有问题吗？为什
么？
也可记为 dy dx 或
2
f ( x ) [ f ( x )]' lim
由 (sin x )' d (sin x ) dx
定理3: 如果 (1)函数 u g ( x)在点 x可导,
(2) y f (u )在对应的点u g ( x)可导,
则复合函数 y f [ g ( x)]在点x可导, 且其导数为
dy dx
f (u ) g ( x).
或
dy du . dx du dx
dy
注意: (1)定理3也称为链式法则, 可加以推广.
第二节
求导法则与基本 初等函数求导公式
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
四、基本求导法则与求导公式 五、小结 思考题
一、函数的和、差、积、商的 求导法则
定理1
如果函数 u ( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (除分母不为零外)在点 x 处也可导, 并且