中考数学概率计算知识的题型分析

中考数学概率计算知识的题型分析
作者：钟利芳
来源：《当代教育》2015年第01期
概率是研究随机现象规律的科学，是新课程增加的内容之一，在中考的数学中是重要的一个考点。

近年来，概率不只是以“投骰子”和“扑克牌”为背景，更多的是以生活实际、游戏和新课程核心内容为背景。

最近3年，贵州29套试题中共考查了36次，主要考查利用树状图、列表格计算概率，以解答题为主，其计算方法也是进入高一级学校学习的基础。

概率计算在近几年的中考试题中常见于选择题、填空题或解答题中。

在解答题中，一般涉及内容丰富，构思新颖别致。

这类问题一般分阅读材料和考查内容，要求学生根据阅读获取的信息回答问题；所提供的阅读材料主要包括一个新闻背景材料和生活实际应用过程。

主要题型有以下几种。

（1）事件分类和与其他知识结合考概率。

这类题型比较简单，一般考查必然事件和随机事件的概念，要注意必然事件和随机事件属于可能事件，还有一类是不可能事件。

这类题通常出现在基础部分的选择题或填空题中（分值在4分左右）。

例题：有长度分别为2cm，3㎝，4㎝，7㎝的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是多少。

该题主要考查以2㎝，3㎝，4㎝，7㎝的四条线段能组成三角形的情况（三角形边的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）只有几种，这是关键；其次是概率的定义：P（A）= ，共有几种可能的结果，此题与高中的组合知识有点关联，具有承上启下之功效。

当然，也还有与其他（函数知识或平面几何）基础知识结合考的题。

（2）解答题中概率的计算（在新闻背景材料和生活实际应用概率综合知识的计算，这部分属于高频考点，分值在10分-14分），即阅读新闻信息，发现新问题，运用概率知识解决问题。

解答这类问题的关键是认真仔细地阅读其内容，理解其实质，正确把握其方法、规律，然后加以解决。

在解题过程中一定要做到不重不漏地计算概率，画图形或表格时要求完整、标准。

例题1：（2013年贵州毕节中考第22题，10分）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A和B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字（如图所示），游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜、数字之和为奇数时乙获胜。

若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘。

①用画树状图或列表格的方法，求甲获胜的概率；
②这个游戏对甲乙双方公平吗？请判断并说明理由。

思路分析：本题考查概率问题中的游戏公平性问题。

解决问题的关键是用列表法或树状图法计算出各种情况的概率，然后比较即可。

判断游戏公平性就是要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就是公平，否则就不公平。

解：①方法一，画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有6种，指针所指的两个数字之和为偶数的结果共有2种，所以甲获胜的概率是： P（和为偶数）= ；
方法二，列表：
由上表可知，所有等可能的结果共有6种，指针所指的两个数字之和为偶数的结果共有2种，所以甲获胜的概率是：P（和为偶数）= ；
②这个游戏对甲、乙双方不公平。

因为甲获胜的概率P（和为偶数）= ；乙获胜的概率P （和为奇数）= ，所以游戏不公平。

易错提示：在画树状图或列表格时一定要将图形画完整，所有等可能情况有序地罗列出来，且要求作图和书写必须规范，最好以教材为标准，避免在后面的概率计算中出错而失分。

例题2：（2013遵义23题，10分）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为。

①求口袋中黄球的个数；
②甲同学先随机摸出一个小球（不放回去），再随机摸出一个球，请用“树状图法”或“列表法”求两次摸出都是红球的概率；
③现规定，摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到篮球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个篮球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率。

思路分析：本题考查了3个方面的知识：①利用样本求总数，从而求出黄球的个数；②利用列表或树状图法，求概率；③根据信息理解其实质，正确把握其方法、规律。

解决具体问题的方法有：
①首先设布袋中黄球的个数为X个，根据题意得以下方程：
解此方程即可求得答案。

②首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求出答案。

③由若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案。

①解：设布袋中黄球的个数为个，根据题意得：
，解得： =1，经检验： =1是原分式方程的解，∴布袋中黄球的个数为1个。

②画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为。

③∵摸到红球得五分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个篮球，
∴乙同学已经得了7分，
∴若随机再摸一次，求乙同学三次摸到球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；
∴若随机再摸一次，故乙同学三次摸到球所得分数之和不低于10分的概率为。

点评：本题结合考查的是用列表法或画树状图法求概率，可以不重不漏地列出所有可能的结果（列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件），同时也考查了分式方程的解必须检验。

学生根据题意，正确地进行符合实际的取舍，注意概率=所求情况数与总情况数之比。

另外，在第二问中有“不放回”和第三问中“（每次摸后放回）”若学生不仔细，就很容易出错。

例题3：（2012年黔南州中考21题，12分）市消协联合市工商局在某中学分别开展辨别和打击“地沟油”及“瘦肉精”的食品宣传讲座，小青同学不知该如何听课，最后他决定通过掷硬币来确定。

掷硬币的规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则小青听两堂讲座；如果两次正面朝上一次反面朝上，则小青去听“地沟油”的讲座；如果两次反面朝上一次正面朝上，则小青去听有关“瘦肉精”的食品宣传讲座。

①用画树状图得方法表示三次抛掷硬币的所有结果；
②小青听两堂知识讲座的概率有多大？
③小青用这个游戏规则去选择听“地沟油”或者“瘦肉精”的讲座是否合理？为什么？
思路分析：本题考查用画树状图法，而不是列表法，意义何在？学生在思考中可以发现：运用题中信息，把握运算方法，解决具体的问题。

解：
①画树状图如下：
∴三次抛掷硬币的所有结果有：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反8种。

②∵由①可知，三次抛掷硬币共有8种等可能结果，三次正面朝上或三次反面朝上的有2种。

∴小青听两堂知识讲座的概率为。

③这个游戏规则合理：
∵两次正面朝上一次反面朝上的结果有3种，正正反，正反正，反正正。

∴小青去听有关“地沟油”的讲座概率为。

∵两次反面朝上一次正面朝上的结果有3种：正正反，反反正，反正反。

点评：本题结合考查的是用画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重不漏地列出所有可能的结果，但本题用列表法不适合，只能用画树状图的方法，更进一步地考查学生是否明白列表法适合于两步完成的事件，而树状图法适合两步或两步以上完成的事件。

总之，在平时的教学和训练中，培养学生认真阅读、规范书写、细心计算是提高教学质量的保证。