京改版九年级数学下册第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题必考点解析试题(含答案解析)

第二十六章综合运用数学知识解决实际问题必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为1
2、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．
n=．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．
n=．
丙：如图4，思路是当x倍时就可移转过去；结果取13
下列正确的是（）
A．甲的思路错，他的n值对
B．乙的思路和他的n值都对
C．甲和丙的n值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
2、“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）
A．B．
C．D．
3、几何中研究物体时不研究它的（）．
A．形状B．大小C．位置关系D．颜色
4、下列方程中是二项方程的是（）
A．20
+=1．
x x
x x
x-=；D．33
-=；B．3x=0；C．440
5、数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P
的数学思想方法叫做（）
A．代入法B．换元法C．数形结合D．分类讨论
6、由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（）
A ．9种
B ．20种
C ．10种
D ．72种
7、扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）
A ．()()3302020304
x x --=⨯⨯
B ．()()130********
x x --=⨯⨯
C ．130********
x x +⨯=⨯⨯
D ．()()33022020304
x x --=⨯⨯
8、为了求2320111+3+3+3++3…的值，可令2320111+3+3+3++3S =…，则233+3+S =320123++3…，因此
2012
33
1S S -=-，所以201231
2
S -=
，仿照以上推理计算出2320151+7+7+7++7…的值是（ ） A ．2015712-
B ．2016712-
C ．2015716
-
D ．2016716
-
9、《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（ ）
A ．数形结合思想
B ．分类讨论思想
C ．转化思想
D ．公理化思想
10、郑州市某校建立了一个学生身份识别系统．利用图1的二维码可以进行身份识别，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a ，b ，
c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生，请问，表示4班学生的识别图案是（）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1
1
1
1005
>成立的正整数n的值的个数等于______________．
2、现将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图2所示的丝带形状，那么折痕PQ的长是________ ．
3、已知实数,,a b c 满足222870
660
a bc a
b
c bc a ⎧--+=⎨++-+=⎩，则a 的取值范围是_________．
4、已知a ，b 是不相等的正实数，且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围为_____．
5、甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条道路上的,A B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：m ）与行走时x （单位：min ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间x （单位:min ）的函数图象，则a b -=_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图所示，锐角ABC ∆内接O ，AB AC >，BC 延长线上一点P 与线段BC 上一点Q 满足PA 与O 相切，且90POQ BAC ∠+∠=︒，设
PA
t PO =，试用关于t 的式子表示PQ PC
．
2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC ﹣CB ，使 C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面 OM 上，则
这个“支撑架”总长的最大值是多少？
3、某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分)的函数关系如图2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所需的时间.
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
4、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且
CD=3km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
5、你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗？某人设摊“摸彩”，他手拿一个布袋，内装除颜色外完全相同的4个红球和4个绿球，每次让顾客“免费”从袋中摸出4个球，输赢的规则是：
若你摸出了2红2绿则失30元，而对于其他四种情况，你均能赢钱．乍一看，此规则似乎对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次．然而，顾客大多数都免不了以失败
告终，而且试的次数越多，输的也就越多．假如5种情况是等可能的，则赢的机会为4
5
，输的机会仅
为1
5
，平均每摸5次有4次都应该赢，但游戏的妙处就在于这5种情况的发生不是等可能的．经过计
算可知，这5种情况出现的概率如下：
从表中可以看出，要想摸出“4个全红”或“4个全绿”的概率仅为1
70
，而摸到2红2绿的概率为
36
70
，即有超过一半的机会失30元．
请你计算这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．【详解】
甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n=
=
乙的思路与计算都正确，n=
丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
2、B
【分析】
根据数学常识逐一判别即可得．
【详解】
A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选B．
【点睛】
本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
3、D
【分析】
根据数学学科常识即可解答，几何中我们不研究物体的颜色、质量和材质等．
【详解】
几何中研究物体的形状、大小和位置关系，不研究它的颜色、质量和材质等．
故选D．
【分析】
本题主要考查几何基本知识，理解几何研究的内容是解题关键．
4、C
【解析】
【分析】二项方程:如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那
么这样的方程就叫做二项方程．据此可以判断.
【详解】A. 20
-=,有2个未知数项，故不能选；
x x
B. 3x=0，没有非0常数项，故不能选；
C. 440
x-=，符合要求，故能选；
D. 33
+=1，有2个未知数项，故不能选．
x x
故选C
【点睛】本题考核知识点：二项方程.解题关键点：理解二项方程的定义.
5、C
【分析】
根据ABCD的四种数学思想结合题目的条件即可判定求解．
【详解】
解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P
这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确，
∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是数学思想方法，做这类题，可用逐个排除法，显然A、B、D所说方法不对．6、A
【详解】
共需制作的车票数为：
4+3+2+1，
=2×10，
=10（种）．
7、D 【分析】
根据空白区域的面积
3
4
=矩形空地的面积可得.
【详解】
设花带的宽度为xm，则可列方程为
3 30220203
(
4
())0
x x
--=⨯⨯，
故选D．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.
8、D
【详解】
232015
1+7+7+7++7
⋯=S,则232015
7+7+7++7
⋯+2016
7 =7S,两式相减，则
2016
2016
71 671,=
6
S S
-=-⇒
故选D.
9、D
【分析】
结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．
【详解】
根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想
故选：D．
【点睛】
本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．
【分析】
仿照二维码转换的方法求出所求即可．
【详解】
解：根据题意得：0×23+1×22+0×21+0×20＝4，
则表示4班学生的识别图案是选项C.
故选C ．
【点睛】
本题考查用数字表示事件，零指数幂，弄清题中的转换方法是解题的关键．
二、填空题
1、1008015
【分析】
去绝对值解不等式，得到n 的范围，从而可得结果．
【详解】
解：由题意可得：
111005>，得2100410052009n n ⎛⎫> ⎪+⎝⎭
， 解得：21004n <，
∴210041-=1008015，
故答案为：1008015．
【点睛】
本题考查了解不等式和绝对值的性质，解题的关键是求出n 值的取值范围．
2【解析】
解：如图，作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M 、N ，
∵长方形纸条的宽为2cm ，
∴AM=BN=2cm，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB 是等边三角形，
在Rt△ABN 中，AB===cm ．
本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO ，有一定难度．
3、19a ≤≤
【分析】
根据题意得到2=87bc a a -+，()=1b c a +±-，结合两式可知b ，c 为方程()22187=0x a x a a ±-+-+的
两个实数根，可知△≥0，即可求出a 的取值范围.
【详解】
解：由2870a bc a --+=得：2=87bc a a -+①，
把①代入22660b c bc a ++-+=得：
()2=66b c a bc +-+
=26687a a a -+-+
=()2
1a -， ∴()=1b c a +±-②，
由①②可得：b ，c 为方程()22187=0x a x a a ±-+-+的两个实数根，
∴△≥0，
∴()()2
214870a a a ---+≥， ∴21090a a -+≤，
∴19a ≤≤，
故答案为：19a ≤≤.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，利用根的判别式求出a 的取值范围是解题的关键.
4、413
a b <+<
【分析】
根据题意及立方差公式的展开形式可得出22a ab b a b ++=+，然后可求出ab 与a +b 的关系式，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：∵3322a b a b -=-，
∴()()()()22=a b a ab b a b a b -++-+， ∵a ，b 为不相等的两正数，
∴()()2
a b a b ab +-+=， 又()204a b ab +<<，
∴()()()2204a b a b a b +<+-+<， 解得，413
a b <+<， 故答案为：413a b <+<
. 【点睛】
本题考查基本不等式、立方公式的应用，难度不大，注意掌握立方公式的特点，结合完全平方式是解决本题的关键.
5、12
【分析】
从图1，可见甲的速度为120602=，从图2可以看出，当x=67 时，二人相遇，即：6607V +⨯乙（） =120，解得：乙的速度V 乙=80，已的速度快，从图2看出已用了b 分钟走完全程，甲用了a 分钟走完全程，即可求解．
【详解】
解：从图1，可见甲的速度为120602
=， 从图2可以看出，当67x =时，二人相遇，即：6601207
V +⨯=乙，解得： 乙的速度：80V =乙，
∵乙的速度快，从图2看出已用了b 分钟走完全程，甲用了a 分钟走完全程，
120120160802
a b -=-=. 故答案为12．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．
三、解答题
1、2
1PQ PC t = 【分析】
将圆O 的半径记为r ，连接OB ，OC ，根据圆幂定理得到PC ·PB =PO 2-r 2，证明△OQC∽△QPO ，得到
QO 2
=QC·QP ，所以可得22
2QC PO PA PC PA -=，根据PA t PO =可得结果. 【详解】
解：将圆O 的半径记为r ，连接OB ，OC ，由圆幂定理得：
PC ·PB =PA 2=PO 2-r 2①，
QC ·QB =(r +QO )(r -QO )=r 2-QO 2②，
由条件知：∠OCQ=90°-1
2∠BOC=90°-∠BAC=∠POQ ，
所以△OQC∽△PQO ，
得：QO 2=QC·QP ③，
根据②③得，
222222QC PB QC QB QC QP r QO QO r PO PA =+=-+==-， 再结合①，可知，
22
2
QC QC PB PO PA PC PC PB PA -==， 注意到PA t PO
=，从而 2222222
11PQ QC PC PO PA PO PO PC PC PA PA PA t +-⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题考查了圆幂定理和相似三角形的判定和性质，有一定难度，解题的关键是根据题意得到22
2
QC PO PA PC PA -=. 2、（1） M （12，0） ，P （6，6）；
（2）21
26
y x x =-+； （3）当m=3时，AD+DC+CB 有最大值为15米.
【分析】
（1）根据所建坐标系易求M 、P 的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O 点（或M 点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A 点坐标为（m ，0），用含m 的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．
【详解】
(1)易知底部宽度为12米所以OM=12.则M(12，0)，最大高度为6米，所以P(6，6).
(2)设此函数关系式为：2(6)6y a x =-+.
∵函数2(6)6y a x =-+经过点(0，0)， ∴20(06)6a =-+，即1
6a =-.
∴此函数解析式为：
2211(6)6266
y x x x =--+=-+. (3)设A(m ，0)，则
B(12-m ，0)，C 26112,2m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,212m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB =221
12(122)266m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=21
3
212m m -++. 21(3)153
m =--+ ∵此二次函数的图象开口向下.
∴当m=3米时，AD+DC+CB 有最大值为15米．
点评：
本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．
3、（1）()150********y x x =-≤≤.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.
【分析】
（1）设y=kx+b ，运用待定系数法求解即可；
（2）把y=1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n 班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【详解】
（1）解：由题意得，可设函数表达式为：()0y kx b k =+≠.
把()20,0，()38,2700代入y kx b =+，得020270038k b k b
=+⎧⎨=+⎩， 解得1503000
k b =⎧⎨=-⎩. ∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达式为()150********y x x =-≤≤.
（2）解：把1500y =代入1503000y x =-，解得30x =，
302010（分）．
∴第一班车到塔林所需时间10分钟.
（3）解：设小聪坐上第n 班车.
()302510140n -+-≥，解得 4.5n ≥，
∴小聪最早坐上第5班车.
等班车时间为5分钟，
坐班车所需时间：12001508÷=（分），
∴步行所需时间：()120015002520÷÷=（分），
()20857-+=（分）．
∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
4、（1）见解析；（2）5km A B '=
【分析】
（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交CD 于点E ，点E 即为所求；
（2）过A '作A F BD '⊥的延长线于F ，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交CD 于点E ，点E 即为所求，如下图， 理由：由题意可得，CD 垂直平分AA '
∴AE A E '=，
∴AE BE A E BE '+=+，
根据两点之间，线段最短，可得A B E '、、共线时AE BE +最短；
（2）由作图可得最短路程为A B '的距离，过A '作A F BD '⊥的延长线于F ，
则1km DF AC
AC ='==，3km A F CD '==，134km BF =+=，
根据勾股定理可得，5km A B '=．
【点睛】
本题考查了线路最短的问题，涉及了轴对称变换的性质和勾股定理，确定动点为何位置并综合运用勾股定理的知识是解题的关键．
5、347
-元 【分析】
根据平均收益等于各种情况的概率与其收益的乘积的和解答即可．
【详解】
解：根据题意，这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益为：
1163616134
⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=-（元）．
5020302050
70707070707
【点睛】
本题考查概率的意义，理解“平均收益”的意义，熟知平均收益等于各种情况的概率与其收益的乘积的和是解答的关键．。