二次函数y=ax2+c的图象与性质PPT课件(北师大版)
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画出的二次函数图象及点 A，B 如图①所示．
探究培优
(2)求△AOB的面积． 解：在△AOB 中，∵AB＝2－(－2)＝4， AB 边上的高是 3，∴S△AOB＝12×4×3＝6. (3)在这个函数图象上是否存在一点P，使△APB的
面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
整合方法
13．抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口 方向与抛物线 y＝－12x2 相同． (1)确定 a，c 的值； 解：由题意易知 a＝－12，把点(0，2)的坐标代入 y＝－12x2＋c，得 c＝2. (2)画出抛物线y＝ax2＋c. 略.
整合方法
14．【中考•衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直 线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B 的横坐标为2，连接AM，BM. (1)求抛物线对应的函数表达式； 解：∵A 点为直线 y＝x＋1 与 x 轴的 交点，∴A(－1，0)．又 B 点的横坐标为 2， 代入 y＝x＋1 可求得 y＝3，∴B(2，3)．
夯实基础
10．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D ) A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
夯实基础
11．如图，两条抛物线 y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1 与 分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条 平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A．8 B．6 C．10 D．4
A．第一象限
B．第二象限
C．x轴上
D．y轴上
夯实基础
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点 的个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0
夯实基础
3．在二次函数：①y＝3x2 ; ②y＝12x2＋1；③y＝－ 43x2－3 中，图象开口大小顺序用序号表示为( C )
A．①>②>③ C．②>③>①
探究培优
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二 次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O 为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的 函数表达式，并求W的最小值．
解：由(1)得二次函数表达式为 y＝－2x2＋4，令 y＝m， 得 2x2＋m－4＝0，∴x＝± 4－2 m(0＜m＜4)．
夯实基础
12．能否通过上下平移二次函数 y＝13x2 的图象，使得到的 新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和 距离；若不能，说明理由． 【点拨】二次函数平移的规律：上加下减；左加右 减．本题易因对平．设平移后的图象对应的二次函数表达式为 y＝ 13x2＋b, 将点(3，－3)的坐标代入表达式，得 b＝－6. 所以平移的方向是向下，平移的距离是 6 个单位长度．
夯实基础
8．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝
(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系
是( A )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
夯实基础
9．抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 ( C )得到的． A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
探究培优
当 x＝－1 时，y＝12×(－1)2＋1＝32；
当 x＝ 7时，y＝12×( 7)2＋1＝92；
当 x＝－ 7时，y＝12×(－ 7)2＋1＝92.
∴符合条件的点 P 有四个，分别是 P1，32或 P－1，32或
P
7，92或
P－
7，92.
探究培优
16．【202X•安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交 点是该二次函数图象的顶点． (1)求k，a，c的值； 解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.∵y＝ax2＋c图象的 顶点为(0，4)，∴c＝4.把(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4， 得a＋4＝2，解得a＝－2.
探究培优
解：点 P 存在． 理由如下：如图②所示，设点 Px，12x2＋1，则在△APB 中，AB 边上的高为12x2＋1－3＝12x2－2. ∵S△APB＝12S△AOB，∴12x2－2＝12×3， 解得 x1＝1，x2＝－1，x3＝ 7，x4＝－ 7. 当 x＝1 时，y＝12×12＋1＝32；
B．①>③>② D．②>①>③
夯实基础
4．【中考•泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能 是( D )
夯实基础
5．【202X•宜宾】已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A， 与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下 列结论不正确的是( D ) A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形 B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为 30°和60° C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形 D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
BS版 九年级下
第2章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
习题链接
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1D 2B 3C 4D
5D 6C 7D 8A
9C 10 D
答案显示
13 见习题 14 见习题
11 A
15 见习题
12 见习题 16 见习题
夯实基础
1．抛物线y＝2x2－3的顶点在( D )
探究培优
设 B，C 两点的坐标分别为(x1，m)，(x2，m)，
则 BC＝|x1|＋|x2|＝2
4－m 2.
∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4·4－2 m＝m2－2m＋8＝
(m－1)2＋7(0＜m＜4)．
∴当 m＝1 时，W 取得最小值 7.
整合方法
∵抛物线顶点在 y 轴上， ∴可设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋c， 把 A，B 两点的坐标代入可得a4＋a＋c＝c＝0，3. 解得ac＝＝－1，1. ∴抛物线对应的函数表达式为 y＝x2－1.
整合方法
(2)判断△ABM的形状，并说明理由． 解：△ABM 为直角三角形，理由如下：由(1)中求得的抛 物线对应的函数表达式为 y＝x2－1 可知 M 点的坐 标为(0，－1)， ∴ AM ＝ 2 ， AB ＝ 32＋32 ＝ 18 ＝ 3 2 ， BM ＝
22＋[3－（－1）]2＝2 5. ∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2.∴△ABM 为直角三角形．
探究培优
15．已知二次函数 y＝12x2＋1，A(2，m)是这个二次函数图 象上的一点，点 B 与点 A 关于该函数图象的对称轴
对称．
(1)画出这个二次函数的图象及点 A，B. 解：当 x＝2 时，y＝12×22＋1＝3，∴点 A(2，3)． ∵这个二次函数的图象关于 y 轴对称，∴点 B(－2，3)．
夯实基础
6．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( C ) A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是y轴
夯实基础
7．【中考•绍兴】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线 y＝x2－1上，下列说法正确的是( D ) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0<x1<x2，则y1>y2 D．若x1<x2<0，则y1>y2
探究培优
(2)求△AOB的面积． 解：在△AOB 中，∵AB＝2－(－2)＝4， AB 边上的高是 3，∴S△AOB＝12×4×3＝6. (3)在这个函数图象上是否存在一点P，使△APB的
面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
整合方法
13．抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口 方向与抛物线 y＝－12x2 相同． (1)确定 a，c 的值； 解：由题意易知 a＝－12，把点(0，2)的坐标代入 y＝－12x2＋c，得 c＝2. (2)画出抛物线y＝ax2＋c. 略.
整合方法
14．【中考•衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直 线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B 的横坐标为2，连接AM，BM. (1)求抛物线对应的函数表达式； 解：∵A 点为直线 y＝x＋1 与 x 轴的 交点，∴A(－1，0)．又 B 点的横坐标为 2， 代入 y＝x＋1 可求得 y＝3，∴B(2，3)．
夯实基础
10．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D ) A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
夯实基础
11．如图，两条抛物线 y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1 与 分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条 平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A．8 B．6 C．10 D．4
A．第一象限
B．第二象限
C．x轴上
D．y轴上
夯实基础
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点 的个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0
夯实基础
3．在二次函数：①y＝3x2 ; ②y＝12x2＋1；③y＝－ 43x2－3 中，图象开口大小顺序用序号表示为( C )
A．①>②>③ C．②>③>①
探究培优
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二 次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O 为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的 函数表达式，并求W的最小值．
解：由(1)得二次函数表达式为 y＝－2x2＋4，令 y＝m， 得 2x2＋m－4＝0，∴x＝± 4－2 m(0＜m＜4)．
夯实基础
12．能否通过上下平移二次函数 y＝13x2 的图象，使得到的 新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和 距离；若不能，说明理由． 【点拨】二次函数平移的规律：上加下减；左加右 减．本题易因对平．设平移后的图象对应的二次函数表达式为 y＝ 13x2＋b, 将点(3，－3)的坐标代入表达式，得 b＝－6. 所以平移的方向是向下，平移的距离是 6 个单位长度．
夯实基础
8．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝
(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系
是( A )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
夯实基础
9．抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 ( C )得到的． A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
探究培优
当 x＝－1 时，y＝12×(－1)2＋1＝32；
当 x＝ 7时，y＝12×( 7)2＋1＝92；
当 x＝－ 7时，y＝12×(－ 7)2＋1＝92.
∴符合条件的点 P 有四个，分别是 P1，32或 P－1，32或
P
7，92或
P－
7，92.
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16．【202X•安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交 点是该二次函数图象的顶点． (1)求k，a，c的值； 解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.∵y＝ax2＋c图象的 顶点为(0，4)，∴c＝4.把(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4， 得a＋4＝2，解得a＝－2.
探究培优
解：点 P 存在． 理由如下：如图②所示，设点 Px，12x2＋1，则在△APB 中，AB 边上的高为12x2＋1－3＝12x2－2. ∵S△APB＝12S△AOB，∴12x2－2＝12×3， 解得 x1＝1，x2＝－1，x3＝ 7，x4＝－ 7. 当 x＝1 时，y＝12×12＋1＝32；
B．①>③>② D．②>①>③
夯实基础
4．【中考•泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能 是( D )
夯实基础
5．【202X•宜宾】已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A， 与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下 列结论不正确的是( D ) A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形 B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为 30°和60° C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形 D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
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第2章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
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5D 6C 7D 8A
9C 10 D
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11 A
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12 见习题 16 见习题
夯实基础
1．抛物线y＝2x2－3的顶点在( D )
探究培优
设 B，C 两点的坐标分别为(x1，m)，(x2，m)，
则 BC＝|x1|＋|x2|＝2
4－m 2.
∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4·4－2 m＝m2－2m＋8＝
(m－1)2＋7(0＜m＜4)．
∴当 m＝1 时，W 取得最小值 7.
整合方法
∵抛物线顶点在 y 轴上， ∴可设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋c， 把 A，B 两点的坐标代入可得a4＋a＋c＝c＝0，3. 解得ac＝＝－1，1. ∴抛物线对应的函数表达式为 y＝x2－1.
整合方法
(2)判断△ABM的形状，并说明理由． 解：△ABM 为直角三角形，理由如下：由(1)中求得的抛 物线对应的函数表达式为 y＝x2－1 可知 M 点的坐 标为(0，－1)， ∴ AM ＝ 2 ， AB ＝ 32＋32 ＝ 18 ＝ 3 2 ， BM ＝
22＋[3－（－1）]2＝2 5. ∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2.∴△ABM 为直角三角形．
探究培优
15．已知二次函数 y＝12x2＋1，A(2，m)是这个二次函数图 象上的一点，点 B 与点 A 关于该函数图象的对称轴
对称．
(1)画出这个二次函数的图象及点 A，B. 解：当 x＝2 时，y＝12×22＋1＝3，∴点 A(2，3)． ∵这个二次函数的图象关于 y 轴对称，∴点 B(－2，3)．
夯实基础
6．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( C ) A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是y轴
夯实基础
7．【中考•绍兴】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线 y＝x2－1上，下列说法正确的是( D ) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0<x1<x2，则y1>y2 D．若x1<x2<0，则y1>y2