西昌市第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

西昌市第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 曲线y=x 3﹣3x 2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A ．y=3x ﹣4
B ．y=﹣3x+2
C ．y=﹣4x+3
D ．y=4x ﹣5
2． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ）
A ．2bsinA
B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
3． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
4． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 5． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 7． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）
A ．（1）与（2）
B ．（1）与（3）
C ．（2）与（4）
D ．（3）与（4）
8． 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且
1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，3
4
125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.
A. ]210,1(
B. ]537,1(
C. ]2
10,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
9． 二项式(1)(N )n x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力． 10．若函数1,0,
()(2),0,
x x f x f x x +≥⎧=⎨
+<⎩则(3)f -的值为（ ）
A ．5
B ．1-
C ．7-
D ．2 11．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如下：
由2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．
关”； 3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
12．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥
二、填空题
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函
数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
14．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．
15．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ． 16．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
17．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中： ①f （x ）是周期函数；
②f （x ） 的图象关于x=1对称； ③f （x ）在[0，1]上是增函数； ④f （x ）在[1，2]上为减函数； ⑤f （2）=f （0）．
正确命题的个数是 ．
18．已知A （1，0），
P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则+的最大值为 ．
三、解答题
19．若已知，求sinx 的值．
20．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ． （1）求证：A ′C ∥平面BDE ；
（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．
21．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
22．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *
∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
23．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
24．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．
西昌市第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y ′=3x 2
﹣6x ，
∴y ′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3． ∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x ﹣1），即y=﹣3x+2．
故选B ．
【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．
2． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，
∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ， ∴sinA=2sinBcosB ，
根据正弦定理==2R 得：
sinA=
，sinB=
，
代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ． 故选D
3． 【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲得分的众数为a=85， 乙得分的中位数是b=85； 所以a=b ． 故选：C ．
4． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则
sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．
5． 【答案】B
【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，
若“非p ”为真，则p 为假，
∴p 假q 真， 故选：B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．
6． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 7． 【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊥平面α，α∥β，∴l ⊥平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l ⊥m ，故（1）正确； ∵直线l ⊥平面α，α⊥β，∴l ∥平面β，或l ⊂平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l 与m 可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l ⊥平面α，l ∥m ，∴m ⊥α，∵直线m ⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l ⊥平面α，l ⊥m ，∴m ∥α或m ⊂α，又∵直线m ⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误； 故选B ．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．
8． 【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，a PF PF 2||||21=-，a QF QF 2||||21=-，两式相加得
a PQ QF PF 4||||||11=-+，又
||||1PF PQ λ=，1PF PQ ⊥， ||1||12
1PF QF λ+=∴， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||12
11=-++=-+∴λλ，
λλ-++=21114||a
PF ①，
λ
λλλ-+++-+=
∴22211)11(2||a PF ②，在
12
PF F ∆中，2
212221||||||F F PF PF =+，将①②代入得
+-++2
2
)114(λ
λa
2
2224)11)
11(2(
c a =-+++-+λλλλ，化简得：+
-++2
2
)
11(4
λλ
2
2
2
2
2)
11()11(e =-+++-+λλλλ，令t =-++λλ2
11，易知λλ-++=2
11y 在]
34
,125[
上单调递减，故
]35,34[∈t ，2
22222
84)2(4t t t t t t e +-=-+=∴]25,2537[21)411(82∈+-=t ，]210,537[∈e ，故答案 选
C.
9． 【答案】B
【解析】因为(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得5n =，故选A ．
10．【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值． 11．【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 12．【答案】D 【解析】
试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ． 考点：集合的包含关系．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由题意，函数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件
．
∵第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，
∴a 取1时，b 可取2，3，4，5，6；a 取2时，b 可取4，5，6；a 取3时，b 可取6，共9种 ∵（a ，b ）的取值共36种情况
∴所求概率为=
．
故答案为：．
14．【答案】34
5
【解析】
考
点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
15．【答案】 （﹣1，﹣1） ．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f （﹣1）=2﹣3=﹣1， 即函数f （x ）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）．
16．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 17．【答案】 3个 ．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ），∴f （x ）=f （﹣x ）；
∵f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ），f （﹣x+1）=﹣f （x ） 即f （x+2）=f （x ），f （﹣x+1）=f （x+1），周期为2，对称轴为x=1 所以①②⑤正确， 故答案为：3个
18．【答案】 ．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵，∴＜＜2π，
∴sin（）=﹣=﹣．
∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin
=﹣﹣=﹣．
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．
20．【答案】
【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0， 解得：
a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x ）=3x 2
+4x+1，
令f'（x ）=0得x=
﹣或x=﹣1， 又∵f （﹣2）=﹣2，f
（﹣）=
﹣，f （﹣1）=0，f
（﹣）=
﹣
，
∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．
22．【答案】
【解析】（1）∵211
()2x f x x x
+=
=+，∴11()2n n n a f a a +==+.
即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++===+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =
++++ 11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-
+1
n
n =+. （12分） 23．【答案】（1）320x y ++=；（2）()22
28x y -+=．
【解析】
试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线
AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求
得矩形ABCD 外接圆的方程.
（2）由360
320
x y x y --=⎧⎨
++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,
所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM =
=从而距形ABCD 外接圆的方程为()2
2
28x y -+=.1 考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 24．【答案】
【解析】解：设点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标为（m ，n ），
则线段A ′A 的中点B （
，
），
由题意得B 在直线l ：2x ﹣y ﹣1=0上，故 2×
﹣
﹣1=0 ①．
再由线段A ′A 和直线l 垂直，斜率之积等于﹣1得 ×=﹣1 ②，
解①②做成的方程组可得：
m=﹣
，n=，
故点A ′的坐标为（﹣
，）．
【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．。