山西省朔州市先进中学2020年高二数学理月考试卷含解析

山西省朔州市先进中学2020年高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数(其中＞0，＜)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
参考答案：
D
略
2. 下列值等于1的积分是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：因,,,故应选C．考点：定积分及运算．
3. 已知数列是公比为2的等比数列，满足.设等差数列的前项和为，若
，则（）
A．34 B．39 C.51 D．68
参考答案：
D 分析：由题意求得等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的求和公式求解．
详解：在等比数列中，由可得
，
解得．
∴，
∴．
故选D．
4. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 在两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（）A．相关指数R2为0.95的模型B．相关指数R2为0.81的模型
C．相关指数R2为0.50的模型D．相关指数R2为0.32的模型
参考答案：
A
【考点】BG：变量间的相关关系．
【分析】相关指数R2越大，拟合效果越好．
【解答】解：相关指数R2越大，拟合效果越好．
∵R2=0.95在四个选项中最大，∴其拟合效果最好，
故选：A．
【点评】本题考查了拟合效果的判断，相关指数R2越大，拟合效果越好；属于基础题．
6. 若曲线C上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C的标准方程为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
D
7. 函数的导数（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
8. 已知直线,平面,若，则与的位置关系是 ( )
A.一定平行
B.不平行
C.平行或相交
D.平行或在平面内
参考答案：
D
略
9. 已知a=21.2，b=()-0.9，c=2log52，则a，b，c的大小关系为
A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a
参考答案：
A
10. 正方体ABCD – A1B1C1D1中，E，F分别是AB、CC1的中点，直线EF与AC1所成角的余弦值是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线的焦点到准线的距离是
．
参考答案：
12. 过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为__________．
参考答案：
略
13. 已知，若，则的取值范围是．
参考答案：
略
14. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．
参考答案：
2
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，
∴，
解得：，
∴=2，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．15. 已知函数f（x）=，则f（5）= ．
参考答案：
4
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】由已知中函数f（x）=，将x=5代入可得答案；
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（5）=f（f（5+5））=f（7）=4，
故答案为：4
16. 已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是．
参考答案：
120°
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．
【分析】先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，
从而求出与
的夹角θ．
【解答】解： =（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣
2
），
cos ＜，＞===﹣，
∴θ=＜，＞=120°．
故答案为120°
【点评】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，考查空间想象能力，属于基础题．17. = ；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列，其前项和为. 经计算得：
.
（Ⅰ）观察上述结果，猜想计算的公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明所提猜想.
参考答案：
（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析
（Ⅰ）猜想：. ….…….. 2分
（Ⅱ）证明：（1）当时，左，右，猜想成立.….…….. 3分
（2）假设当时猜想成立，即. ….…….. 4分
那么….…….. 5分
. ….…….. 7分
即当时猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对都成
立.….…….. 8分
19. 如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．
（1）求m的值；
（2）过椭圆C1的左顶点A作直线l，交椭圆C1于另一点B，交椭圆C2于P，Q两点（点P在A，Q 之间）．①求面积的最大值（O为坐标原点）；②设PQ的中点为M，椭圆C1的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为R，试探究点R是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
参考答案：
（1）1；（2）①；②点R在定直线上
【分析】
（1）利用两个椭圆离心率相同可构造出方程，解方程求得结果；（2）①当与轴重合时，可知不符合题意，则可设直线的方程：且；设，，联立直线
与椭圆方程可求得，则可将所求面积表示为：，利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解，从而求得所求的最大值；②利用中点坐标公式求得，则可得直线的方程；联立直线与椭圆方程，从而可求解出点坐标，进而得到直线方程，与直线联立解得坐标，从而可得定直线.
【详解】(1) 由椭圆方程知：，
离心率：
又椭圆中，，
，又，解得：（2）①当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意故设直线的方程为：且
设，
由（1）知椭圆的方程为：
联立方程消去得：
即：
解得：，，
又
令
，此时面积的最大值为：
②由①知：
直线的斜率：
则直线的方程为：
联立方程消去得：，解得：则直线的方程为：
联立直线和的方程，解得：
点在定直线上运动
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的三角形面积最值的求解、椭圆中的定直线问题；解决定直线问题的关键是能够通过已知条件求得所求点坐标中的定值，从而确定定直线；本题计算量较大，对于学生的运算与求解能力有较高的要求.
20. 在如图所示的五面体中，面为直角梯形，,平面平面，
，是边长为2的正三角形.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
（1）取的中点，连接，依题意易知，
平面平面平面.
又，所以平面，所以.
在和中，.
因为，平面，所以平面.
（2）分別以直线为轴和轴，点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 依题意有：，
设平面的一个法向量，由，得，
由，得，令，可得.
又平面的一个法向量，所以.
所以二面角的余弦值为.
21. 已知等比数列满足:,.
(I)求数列的通项公式;
(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.参考答案：
解:(I)由已知条件得:,又,,
所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数.
略
22. 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆周上的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；(6分)
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，
求三棱锥的体积．（6分）
参考答案：
(1)证明由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC. （6分）
（2）由，得，所以，三棱锥的高是，所以(12分)。