江苏省清江中学高一数学上学期期末考试试题

江苏省清江中学2015—2016学年度第一学期期末考试
高 一 数 学
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1. 设集合{}0,1,2M =，{}
2
|320N x x x =-+≤，则=N M .
2. 计算：
01)22()2
1
(60sin 627--+-- = ．
3. 函数()
sin sin 3
y x x π=+-
的最小正周期为 .
4．设扇形的半径长为cm 4，面积为2
4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________. 5. 若1sin sin 2=+αα，则αα24cos cos += ——.
6. 已知3=a ，5=b ，且12⋅=a b ，则向量a 在b 方向上的投影为 .
7. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 . 8．当02x π≤≤时，则不等式：sin cos 0x x -≥的解集是 .
9. 已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f (其中 R ∈x ,0>ω,（πϕπ<<-)的部分图象如图所示,则函数()f x 的解析式是 .
10. 设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →
＝0，则△AOC 的面积为________.
11.将函数)4
3sin()(π
+=x x f 图像向左平移m （0m >）个单位后所对应的函数是偶函数，则m 的最小值
是 .
12.若关于x 的一元二次方程030112
=++-a x x 的两根均大于5，则实数a 的取值范围是 ． 13.已知函数ln(1)29y x x =-+-存在唯一零点0x ,则大于0x 最小整数为 .
14.设函数()⎩⎨⎧++=c bx x x f 22 0
≤>x x ，若f(－4)＝f (0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解
的个数为________个．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）
已知{}|25M x x =-≤≤, {}|121N x a x a =+≤≤-. （Ⅰ）若M N ⊆，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若M N ⊇，求实数a 的取值范围.
16. （本小题满分14分） 求值：(1)2cos10°－sin20°cos20°
.
(2) 已知α，β为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝21
29，求cos β的值．
17. （本小题满分14分）
已知：a 、b 、c 同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若5
||2
b =，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.
18. （本小题满分16分）
已知函数4()sin(2)cos(
2),6
3
g x x x x R π
π
=+
--∈ （1）求函数()g x 的最小正周期及单减区间; （2）若将函数()g x 先左平移
76
π
个单位，再将其纵坐标伸长到原来的2倍得到函数()f x ，当3,8x πλ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()f x
的值域恰好为4⎡⎤-⎣⎦，求λ的取值范围;
19. （本小题满分16分）
某医药研究所研发了一种新药，如果成年人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （时）之间近似满足如图所示的曲线。

（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式)(t f y =；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。

试求服药一次治疗疾病的有效时间。

20. （本小题满分16分） 已知函数2
)
)(1()(x a x x x f ++=
为偶函数．
（1）求实数a 的值；
)
y(微克)
a t -
（2）记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，2
1
lg 2lg 2lg 5lg 54
λ=+⋅+-，判断λ与E 的关系； （3）当x ∈]1
,1[
n
m ()0,0>>n m 时，若函数()f x 值域为]32,32[n m --，求n m ,的值.
江苏省清江中学2015—2016学年度第一学期期末考试
高 一 数 学(答案)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.{}2,1 2． 1 3. 2π 4．
2
1 5. 1 6. 512
7. [0,)+∞
8． 5,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ 9.
)322sin(2)(π+=x x f 10. 1 11. 12π 12. ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛4
1,0 13. 4 14. 1
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．
解：（Ⅰ）由于M N ⊆，则21
521211a a a a -≥+⎧⎪
≤-⎨⎪-≥+⎩
，解得a ∈∅.……………………4分
（Ⅱ）①当N =∅时，即121a a +>-，有2a <；………………………………7分
②当N ≠∅，则21521211a a a a -≤+⎧⎪
≥-⎨⎪-≥+⎩
，解得23a ≤≤，………………………11分
综合①②得a 的取值范围为3a ≤.…………………………………………14分 16.解：
(1)原式＝2cos （30°－20°）－sin20°
cos20°
＝2cos30°cos20°＋2sin 30°sin20°－sin20°cos20°
＝2cos30°cos20°cos20°＝ 3. ………………6分
(2)∵sin α＝817<12，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π6.
∵cos ()α－β＝2129<32，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，0＜β＜π2，∴－π2<α－β<0. ∴cos α＝1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝15
17
. ………………9分 sin(α－β)＝－1－cos 2
（α－β）＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫21292
＝－2029. ………………12分 ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155
493.
………………14分 17.
解：⑴设
20
,52,52),,(2222=+∴=+∴==y x y x y x c ...............................2分
x
y y x a a c 2,02),2,1(,//==-∴=
由⎩⎨⎧=+=0222
2y x x y ∴⎩⎨⎧==42y x 或 ⎩
⎨⎧-=-=42
y x ∴)4,2(),4,2(--==或 ...............................6分 ⑵ 0)2()2(),2()2(=-⊥+∴-⊥+b a b a b a b a
0||23||2,02322
22
2
=-⋅+∴=-⋅+b b a a b b a a ……（※）
,4
5
)25(
52===代入（※）中, 2
5
,0452352-=⋅∴=⨯
-⋅+⨯∴...............................10分
,
12
5525cos ,2
5,5-=⋅-=
=
∴=
=θ
[]πθπθ=∴∈,0 ...............................14分
18. 解：（1）由43(2)(
2)6
32
x x π
ππ
+
+-= 34()sin(2)cos((2))
623
2sin(2)6g x x x x πππ
π
=+---=+……………………………………4分
2T π
πω
∴=
= ……………………………………6分
由3
222,262k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+∈
即2
,63
k x k k Z ππππ+≤≤+∈
∴函数()g x 单减区间2,,63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦………………………8分 （2）由题意得()4cos 2f x x =………………………10分
即当3224x πλ-
≤≤
时，cos 21x ≤≤ 当324x π=-
和324x π=
时，cos 2x =;20x =时，cos 21x = 3024πλ∴≤≤
故308
πλ≤≤………………………16分 19.
解：（1）当01t ≤<时，4y t =；当1t ≥时，12t y α
-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，此时M(1,4)在曲线上，
∴114,32α
α-⎛⎫=∴= ⎪
⎝⎭
，
∴3
12t y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
， ………………………6分
∴()()()34 01 1 12t t t y f t t -⎧≤<⎪
==⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩………………………10分
（2）由()0.25f t ≥，解得
1
516
t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病的有效时间为()17951616h -=
……16分 20.解:
………………………4分………………………9分
………………13分………………………16分。