2023年海南省东方市高考数学质检试卷+答案解析(附后)

2023年海南省东方市高考数学质检试卷
1. 集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设，则“”成立是“”成立的条件( )
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
3. 平面向量与的夹角为，，，则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. 若，，且，则
5. 宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之
一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上下层正棱柱的
底面周长均为60cm，高为6cm，中间一层角宫灯，三层均为正六棱柱，
其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm，高为6cm，中间一层的正棱
柱高为设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的
表面积至少为( )
A. B. C. D.
6. 函数的零点个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A. 315
B. 640
C. 840
D. 5040
8. 已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的有( )
A. 对任意的事件A，都有
B. 随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D. 若事件事件B，则
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且
，则不可能为( )
A. 等腰直角三角形
B. 等边三角形
C. 锐角三角形
D. 钝角三角形
11. 已知函数，则下列说法中正确的有( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数图象的一条对称轴是
C. 若，则函数的最小值为
D.
若，，则的最小值为
12. 下列各式中，最小值是2的有( )
A. B.
C. D.
13. 焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则m的值为______.
14. 在棱长为2的正方体中，那么点D到平面的距离为______.
15. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述
比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，问勾
中容方几何？“其意思为：今有直角三角形ABC，勾短直角边长3
步，股长直角边长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形
分别在边CB，BA，AC上边长为多少？在求得正
方形CDEF的边长后，可进一步求得的正切值为______ .
16. 在等比数列中，若，
______ .
17. 已知数列满足，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
求；
再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求
条件①：，；
条件②：；
19. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点．
当M为PD的中点时，求证：平面
当平面AMN，求出点M的位置，说明理由．
20. 已知某区A、B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9：11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在A、B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
在抽取的100名学生中，A、B两所学校各抽取的人数是多少？
该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中的20人来自A 中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“做作业时间超过3小时”与
“学校”有关？
做作业时间超过3小时做作业时间不超过3小时
合计A 校_______________B 校_______________合计_____
_____
_____
附表：
k 附：
21. 已知动点Q 到点
的距离与到直线：的距离之比为，Q 点
的轨迹为曲线
求曲线C
的方程；
已知
，
，
A
，
B 为曲线
C
上异于M ，N 的两点，直线AM ，BN 相交于点T ，点T 在直线上，问直线AB 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定
点，请说明理由．
22. 已知函数
求函数的单调区间；在区间
上，
是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若
不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
利用集合交集的定义进行求解即可．
【解答】
解：因为，，
所以
故选：
2.【答案】A
【解析】解：，
成立是成立的充分不必要条件，
故选：
利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：与的夹角为，；
；
；
故选：
根据条件可求出，进行数量积的运算即可求出，从而得出
的值．
考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的运算及计算公式．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．在A 中，m与n相交、平行或异面；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D 中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得
【解答】
解：由m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：
在A中，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若，，且，，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得，故D正确．故选
5.【答案】B
【解析】解：由题意，将该宫灯看成一个高为、底面边长为的正六棱柱，
而正六棱柱的外接球球形盒子的直径2R是其对角线的长，
则，得，
故外接球球形盒子的表面积至少为
故选：
根据正六棱柱的外接球的直径2R是其对角线的长，从而可得外接球的半径，利用外接球表面积公式计算即可得到答案．
本题考查了正棱柱的外接球问题，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，
作图如图所示：
由图可知，两图象有两个交点，
函数的零点个数为
故选：
将问题转化为函数与的图象交点的个数，进而作图能求出函数
的零点个数．
本题考查函数的零点个数、图象的图象等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】A
【解析】解：有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有种放法，
剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有种放法，
所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为种，故选：
分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分步计数原理求解．
本题主要考查组合应用题以及分步计数原理，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设，则，
所以在R上单调递增，
又，则，
所以等价于，即，
所以，即不等式的解集为
故选：
构造函数，应用导数及已知条件判断的单调性，将转化为即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，
属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．
在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，
总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，
这个常数叫做这个事件的概率．
任意事件A发生的概率满足判断A错误，
随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．正确．
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，正确．
随机事件的样本空间一定时，事件事件B必然有，正确，
故选：
根据事件概率的范围的特点判断A错误，根据概率与频率的关系判断B正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断C正确，根据事件概率的求法判断D正确．
本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清．10.【答案】BCD
【解析】解：由余弦定理，
因为，
所以，又，所以，故为等腰直角三角形．
故选：
由余弦定理求出，然后可得角B，然后可选出答案．
本题考查的是利用余弦定理解三角形以及三角形形状的判断，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦型函数的图象和性质，属于中档题．
由已知结合正弦函数的图象及性质分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为，该函数不是中心对称图象，故A错误；
由于，，
故是该函数的对称轴，故B正确；
由，得，所以，
故的最小值，故C正确；
结合正弦函数的性质可知的最小正周期，
故的最小正周期，最大值为2，最小值为0，
若，，则的最小值为，故D正确．
故本题选
12.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意对应用条件的检验，属于基础题．
由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断
【解答】
解：，当且仅当，即时，等号成立，则A符合题意；
当时，，则B不符合题意；
，此时无解，即，则C不符
合题意；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则D符合题意．
故选：
13.【答案】4
【解析】解：焦点在y轴上的双曲线的离心率为，
可得，解得，
故答案为：
利用已知条件列出方程求解m即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，且，
若到平面的距离为h，则，可得，
由正方体的性质易知：面，
故D到平面的距离为
故答案为：
由等体积法求出到平面的距离，根据正方体的性质有面，即可求D到平面的距离．
本题考查了点到平面的距离，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为x，则，，
由∽，可得，
所以，解得，即正方形CDEF的边长为，
所以，，
所以
故答案为：；
利用三角形相似求出正方形的边长，再根据，并结合两角差的正切公式，即可得解．
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握三角形相似的性质定理，两角差的正切公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】31
【解析】解：，
，
解得
，，，，；
故答案为：
利用数列是等比数列，以及关系式，求出数列的公比，求出前5项，即可求解本题．
本题考查等比数列的基本公式的应用，常考题型，考查计算能力．
17.【答案】解：数列满足，
整理得：常数，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
且，，成等差数列．
所以，
整理得，
解得，
所以
由得：，
所以，
故①，
②，
①-②得：，
整理得：
【解析】直接利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：，
，
，
，
又，；
若选条件①：，
，
，则，
故c无解；
若选条件②：，，
，
，
，
，
又，
，，
，
【解析】根据已知条件代入二倍角的余弦公式，即可求解；
若选条件①：根据余弦定理得到，则，c无解；
若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得a，b后代入正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】证明：在四棱锥中，底面ABCD为平行四
边形，侧面PAD为正三角形，
取AP中点为E，连接EM，EB，
在中，M为PD的中点，E为AP中点，
，
在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，
，
，，
四边形BNME为平行四边形，
，面PAB，面PAB，
平面PAB；
解：连接AN，BD，相交于O，连接OM，
面AMN，面面，面PBD，
，
即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点．
【解析】取AP中点为E，连接EM，EB，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有
，，即BNME为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；
连接AN，BD，相交于O，连接OM，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断M的位置．
本题考查了线面平行的证明和应用，属于中档题．
20.【答案】解：
设A 、B 两校所抽取人数分别为x 、y ，
由已知可得
，解得
，
即A 、B 两校所抽取人数分别为45人和55人；
由直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为
小时，
由
，可知有
的学生做作业时长超过3小时，
综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为小时，该区有
的学生做作业时长超过3
小时；
由
可知，有
人做作业时间超过3小时，
故填表如下单位：人：
做作业时间超过3小时做作业时间不超过3小时合计A 校202545B 校104555合计30
70
100
，
所以有
的把握认为
“做作业时间超过3小时”与
“
学校”有关．
【解析】
设A 、
B 两校所抽取人数分别为
x 、y ，根据已知条件列出关于x 、y 的方程组，解出
这两个量的值，即可得解；
将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可得出该区学生做作业时间的平均时长，计算出频率直方图中后三个矩形的面积之和，可得出该地区做作业时长超过3小时的学生比例；
根据题中信息完善
列联表，计算出
的观测值，结合临界值表可得出结论．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
21.【答案】解：设，则，
化简得，
曲线C的方程为
设，，
则，
，，，，
①当直线AB垂直于轴时，由对称性可知，直线AM，BN交于y轴，不合题意，舍去；
②当直线AB不垂直于y轴时，设直线AB的方程为，
联立，得
依题意，，，
，，
又，，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
依题意，设
点T为直线AM，BN的交点，
，
，即，
，
又，，
化简，得，
又满足，直线AB的方程为，
直线AB过定点
【解析】设，根据已知条件列方程，化简求得曲线C的方程．
首先分析直线AB的斜率是否与y轴垂直，当直线AB不垂直与y轴时，设出直线AB的方程为，并与曲线C的方程联立，化简写出根与系数关系，根据T是直线AM，BN的交点求得m的值，从而确定直线AB过定点．
本题考查了动点的轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得函数的定义域为，分
则分
令，得
因为，所以，
当x在定义域上变化时，的变化情况如下表：
x
+0--0+
↗极大值↘↘极小值↗
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为分
令，得，
则a是函数的唯一零点．分
因为，
所以，所以
当时，；当时，分
由可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，分
所以在区间上的最大值为，最小值为，其中
分
【解析】求出函数的导函数，利用导数与函数的关系即可求解单调区间；
令，可得的唯一零点a，利用作差法可得出由函数的单调性即可求得的最值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查运算求解能力，属于中档题．。