吉利区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

吉利区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）
A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q
2．在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），则（+）
•的最小值是（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
3．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）
A．0 B．C．D．
4．下列4个命题：
①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；
②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；
③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；
④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；
其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）
A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
6．已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）
A．B． C．D．
7．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范
围是（）
A．（0，1） B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）
8．若,m n是两条不同的直线，,,
A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥
B ．若,//m m n α
γ=，则//αβ
C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥
D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥
9． 函数f （x ）=
，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
12．给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为
负的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
二、填空题
13．对任意实数x ，不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 14．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
15．= ．
16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2
()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为
17．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，则x ﹣y= ．
18．已知实数x，y满足约束条，则z=的最小值为．
三、解答题
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
20．已知函数f（x）=2x﹣，且f（2）=．
（1）求实数a的值；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2y
y
a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．
22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为
ρ（sin θ+cos θ）=1，曲线C 2的参数方程为
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C 1与C 2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
23．已知命题p ：不等式|x ﹣1|＞m ﹣1的解集为R ，命题q ：f （x ）=﹣（5﹣2m ）x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．
24．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）
（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．
吉利区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
2．【答案】C
【解析】解：∵=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），
且sin2θ+cos2θ=1，
∴=（1﹣cos2θ）+（cos2θ）=+cos2θ•（﹣），
即﹣=cos2θ•（﹣），
可得=cos2θ•，
又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OC上，
由于AB边上的中线CO=2，
因此（+）•=2•，设||=t，t∈[0，2]，
可得（+）•=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，
∴当t=1时，（+）•的最小值等于﹣2．
故选C．
【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
3．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
4．【答案】C
【解析】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；
②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；
③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，
由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；
④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．
∴正确的命题有3个．
故选：C．
5．【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，
可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），
代入点P（2，），可得
λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，
即为﹣=1．
故选：B．
6．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，
g′（x）=（x+1）e x，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K PA≤m＜K PB，
即≤m＜，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根，
故选：A
8．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
9．【答案】A
【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1
故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
10．【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，
这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为，
第二次不被抽到的概率为，
第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，
故选B．
11．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
二、填空题
13．【答案】（﹣4，0]．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，
则满足，
即，
∴
解得﹣4＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
14．【答案】②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．【答案】 2 ．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
16．【答案】2
22,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩
【解析】
试题分析：令0x <，则0x ->，所以()()()2
2
22f x x x x x -=---=+，又因为奇函数满足
()()f x f x -=-，所以()()2
20f x x x x =--<，所以()y f x =在R 上的解析式为22
2,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩。

考点：函数的奇偶性。

17．【答案】 ﹣12 ．
【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，
∴
==
，
解得x=﹣6，y=6，
x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．
18．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD，可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）（λ＞0）
∴，，
得，，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则，解之
得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）
设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，
由，，得到，
令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）
∴cos＜，
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣，且f（2）=，
∴4﹣=，
∴a=﹣1；（2分）
（2）由（1）得函数，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）
∵=，
∴函数为奇函数．…（6分）
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）
任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则
=
…（10分）
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数…（12分）
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，
根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．
（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，
故曲线C1与C2是相交于两个点．
解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
23．【答案】
【解析】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真命题，m＜1
f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2，
由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题
因此，1≤m＜2．
【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，
∴抛物线C的方程为x2=2y；
（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，
∴直线l的斜率存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，
联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，
此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，
由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，
∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|
=×2
=
=2（*）
又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），
又直线过点M（0，2），故k==﹣，
将上式代入（*）式，可得：
f（n）=2
=2
=2
=n+（n∈N*）；
（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．
理由如下：
设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），
使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，
化简得：m﹣n=﹣=，
又∵m≠n，即m﹣n≠0，
∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，
此时A点坐标为（1，），（4，8）．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。