2022年高考数学总复习 第五章第5课时 数列的综合应用课时闯关（含解析）

（江苏专用）2022年高考数学总复习第五章第5课时数列的
综合应用课时闯关（含解析）
[A级双基巩固]
一、填空题
1．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a5＝19，S5＝55，则过点
，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75% 1求第n年初M的价值a n的表达式；
2设A n＝错误!，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
解：1当n≤6时，数列{a n}是首项为120，公差为－10的等差数列，a n＝120－10n－1＝130－10n；
当n≥6时，数列{a n}是以a6为首项，公比为错误!的等比数列，
又a6＝70，所以a n＝70×错误!n－6
因此，第n年初，M的价值a n的表达式为
a n＝错误!
2证明：设S n表示数列{a n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，S n＝120n－5nn－1，A n＝120－5n－1＝125－5n；
当n≥7时，由于S6＝570，故
S n＝S6＋a7＋a8＋…＋a n＝570＋70×错误!×4×错误!＝780－210×错误!n－6，
A n＝错误!
因为{a n}是递减数列，所以{A n}是递减数列，
又A8＝错误!＝82错误!>80，
A9＝错误!＝76错误!<80，
所以须在第9年初对M更新．
6．如图，为了估计函数＝9－2在第一象限的图象与轴、轴围成的区域的面积S，把轴上的区间[0,3]分成n等份，从各分点作轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作轴的平行线，构成n－1个矩形．下面的程序用来计算这n－1个矩形的面积的和S n－1阅读程序，回答下列问题：
1程序中的a，S分别表示什么，为什么
2利用公式12＋22＋32＋…＋n2＝错误!，推导S的最后一个输出值S n－1的计算公式．错误!
解：
1当把轴上的区间[0,3]分成n等份时，各等份的长都是错误!，即矩形的底都是错误!显然分点的横坐标分别是错误!，错误!，…，错误!，从各分点作轴的平行线与＝9－2的图象相交，交点的纵坐标分别是9－错误!2,9－错误!2，…，9－错误!2，它们分别是相应矩形的高．这样，各个矩形的面积分别是错误!×错误!，错误!×错误!，…，
错误!×错误!所以，程序中的a表示第个矩形的面积，S表示前个矩形面积的和．2由1知，S的最后一个输出值S n－1就是这n－1个矩形的面积和，即
S n－1＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋…＋错误!×错误!＝
错误!错误!
＝错误!错误!
＝错误!－错误!×错误!
＝错误!。