浙教版七年级数学下册培优专题—第3讲 二元一次方程及方程组

第3讲二元一次方程模块一错解问题
例题1、甲乙两人解方程组
515
42
mx y
x ny
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
①
②
．由于甲看错了方程①中的m的值，得到方程组的解
为
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，试求mn
n
m+
+2
2值．解：将
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入②式，得n=10，将
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入①式得m=-1，
把n=10，m=-1代入得原式=91
模块二同解问题
例题2、（1）若方程组
7
25
x ay
x y b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
和
347
25
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解相同，求a、b的值．
解：解方程组
347
25
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，得
3
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
把
3
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入
7
25
x ay
x y b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得a=
（2）已知方程组
256
4
x y
ax by
+=-
⎧
⎨
-=-
⎩
与方程组
3516
8
x y
bx ay
-=
⎧
⎨
+=-
⎩
的解相同，求2012
()
2a b
＋的值．
解：重组方程组得
256
3516
x y
x y
+=-
⎧
⎨
-=
⎩
解得
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
把
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入重组方程组
8
4
bx ay
ax by
+=-
⎧
⎨
-=-
⎩
解得
1
3
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
把
1
3
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入2012
()
21
a b=
＋
（3）已知满足方程组234
345x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩
的解也满足方程8332-=+m y x ，求m 的值．
解：解方程组234345x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩ 得7117
2217m x m
y -⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
把71172217m x m y -⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
代入8332-=+m y x ，解得5m =
模块三 消元求值 例题3、（1）设⎩⎨
⎧=++=++36
5423
32z y x z y x ，则3x －2y ＋z ＝ ．
解：方程2x+y+3z=23两边都乘以2得：4x+2y+6z=46，
减去x+4y+5z=36得：3x-2y+z=46-36=10，
（2）若4360x y z --=，270x y z +-=()0xyz ≠，则代数式222
222
522310x y z x y z
+---的值 解：∵4360x y z --=，270x y z +-=()0xyz ≠ ∴4360270x y z x y z --=⎧⎨
+-=⎩ 解得32x z
y z =⎧⎨=⎩
把32x z y z =⎧⎨=⎩
代入222
2
22
52132310x y z x y z +-=---
模块四 解得关系
例题4、（1）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨
⎧+=-+=+3
4231
232k y x k y x 的解x ，y 的值的和为6，求k 的值．
解：解方程组⎩⎨⎧+=-+=+34231232k y x k y x 得161113
2313k x k y +⎧=
⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩
由题意可知x+y=6
把1611132313k x k y +⎧
=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩
代入x+y=6 的k =5
（2）已知关于x ，y 的方程组322
6
x y mx y +=⎧⎨
+=⎩的解x ，y 互为相反数，求m 的值．
解：∵x ，y 互为相反数 ∴0x y += 重组方程3220x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 解得2
2
x y =⎧⎨=-⎩
把2
2
x y =⎧⎨=-⎩代入6mx y += 得4m =
（3）若1
2x =
时，关于x ，y 的方程组212
ax y x by -=⎧⎨-=⎩的解x ，y 互为倒数，求2a b -的值． 解：∵1
2
x =时，x ，y 互为倒数 ∴2y =
把1
2x =，2y =代入212ax y x by -=⎧⎨-=⎩
得
10
34
a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩
把10
34
a b =⎧⎪
⎨=-⎪⎩ 代入2322a b -=
模块五 整数解问题
例题5、已知关于x ，y 的方程组26
47x ay x y -=⎧⎨+=⎩
的解是整数，a 是正整数，那么a 的值是多少？
解：①×2-②式，得 （2a+1）y=-5．
∵a 是正整数，y 为整数 ∴2a+1=5，y=-1， 解得：a=2．
模块六 换元法、整体法求解 例题6、（1）若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解为⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩
⎨⎧=-++=--+9.30)1(5)2(313
)1(3)2(2y x y x 的
解 ． 解：∵若方程组⎩⎨
⎧=+=-9.30531332b a b a 的解为⎩⎨⎧==2
.13
.8b a
∴方程组⎩⎨
⎧=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 中28.3
1 1.2
x y +=⎧⎨-=⎩
∴ 6.3
2.2
x y =⎧⎨=⎩
（2）若方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是3
4x y =⎧⎨=⎩,则方程组111222
325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是
解：∵若方程组⎩⎨
⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是3
4x y =⎧⎨=⎩ ∴111222
3434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩
把111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩变形得11
1222
32553255a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
∴方程组111222
32553255a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩中 3
35
245
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴510x y =⎧⎨=⎩
课后作业
模块一 错解问题 1、甲、乙两人解方程组⎩
⎨
⎧=+-=-51
4by ax by x ，甲因看错a ，解得⎩⎨⎧==32y x ，乙将其中一个方程的b 写成了
它的相反数，解得⎩⎨
⎧-=-=2
1
y x ，求a 、b 的值．
解：将x=2，y=3分别代入4x-by=-1得：8-3b=-1， 解得：b=3，
将x=-1，y=-1代入4x+3y=-1后，左右两边不相等， 故：ax-3y=5，将x=-1，y=-1代入后可得： -a+3=5， 解得：a=-2，
模块二 同解问题
2、（1）已知关于x ，y 的方程组253241
x y m x y m +=⎧⎨-=+⎩的解满足二元一次方程43x
y -=，求m 的
值．
解：解方程组253241x y m x y m +=⎧⎨
-=+⎩ 得2x m
y m =⎧⎨=⎩
把2x m y m
=⎧⎨=⎩代入43x
y -= 解得12m =-
（2）已知方程组2331x y ax by -=⎧⎨
+=⎩与方程组32113x y ax by +=⎧⎨-=⎩
的解相同，求2020
()2a b -的值．
解：由题意可得2333211x y x y -=⎧⎨
+=⎩ 解得3
1
x y =⎧⎨=⎩
把31x y =⎧⎨=⎩代入31ax by ax by -=⎧⎨+=⎩ 解得35
45a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
则2020
2020(2)2a b =-
模块三 消元求值
3、（1）设非零实数a ，b ，c 满足⎩
⎨
⎧=++=++0432032c b a c b a ，则2
22c b a ca
bc ab ++++的值为 ． 解：解方程组⎩⎨
⎧=++=++0
432032c b a c b a 得2b c
a c =-⎧⎨=⎩
把2b c a c =-⎧⎨=⎩
代入原式222
1
2ab bc ca a b c ++=-++
解：∵213390a b c ++
=，3972a b c ++= ∴182183a b
c b =-⎧⎨
=-⎩
把182183a b c b
=-⎧⎨=-⎩
模块四 解得关系
4、（1）已知关于x ，y 的方程组24014320
x y m x y --=⎧⎨
-=⎩的解y 的值x 值的3倍，求xy
x y +的值．
解：∵y 的值x 值的3倍 ∴3y x =
把3y x =代入14320x y -=，得4
12
x y =⎧⎨
=⎩
把412
x y =⎧⎨=⎩代入原式xy
x y +=3
（2）已知关于x ，y 的方程组35223x y m x y m
+=+⎧⎨
+=⎩的解x 与y 的和等于2，求2
44m m -+的值．
解：35223x y m x y m +=+⎧⎨
+=⎩①
②
由①-②得，x+2y=2 ③， ∵x ，y 的值的和等于2， ∴x+y=2 ④， 由③-④得， y=0，
把y=0代入④，得 x=2，
把x=2，y=0代入②得m=4， ∴m 2-4m+4=（m-2）2=（4-2）2=4．
（3）已知关于x ，y 的方程组322
218x y x y m +=⎧⎨+=-⎩
的解x ，y 互为相反数，求m 的值．
解：∵x ，y 互为相反数 ∴0x y += 则重组方程组3220x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 解得22
x y =⎧⎨=-⎩
把2
2
x y =⎧⎨=-⎩代入 218x y m +=- 得m=20
模块五 整数解问题
5、（1）若关于x ，y 的方程组⎩
⎨⎧=-=+0318
6y x my x 有自然数解，则整数m 可能的值是 ．
解：解方程组⎩⎨⎧=-=+03186y x my x 得62
18
2x m y m ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∵方程组解是自然数 ∴21m +=或2或3或6 ∴m=-1或0或1或4
（2）若关于x ，y 的方程组2
6x y mx y -=⎧⎨+=⎩
有负整数解，求满足条件m 整数值．
解：解方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩得81
82
1x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
∵方程组解是负整数 ∴1m +=-1或-2或-4或-8 ∴m=-2或-3或-5或-9
模块六 换元法、整体法求解
6、（1）若关于x ，y 方程组的111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩解为5
6x y =⎧⎨=⎩，求方程组
111
222
5(1)3(1)45(1)3(1)4a x b y c a x b y c -++=⎧⎨
-++=⎩的解。

解：∵方程组的111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩解为5
6x y =⎧⎨=⎩ ∴111222
5656a b c a b c +=⎧⎨+=⎩
（2）若关于x ，y 方程组的112224a x b y a x b y +=-⎧⎨-=⎩解为1
2x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222
24a x b y a a x b y a +=-+⎧⎨-=+⎩的
解。

解：∵方程组的112224a x b y a x b y +=-⎧⎨
-=⎩解为1
2x y =⎧⎨=⎩ ∴1122
2224a b a b +=-⎧⎨-=⎩
11122224a x b y a a x b y a +=-+⎧⎨-=+⎩变形得 1122
(1)2(1)4a x b y a x b y -+=-⎧⎨--=⎩ ∴112x y -=⎧⎨=⎩ ∴22x y =⎧⎨
=⎩。