广义系统的快速终端滑模控制(1)

件下，如果切换函数和控制律分别取为：
假设。
假 设 3 存 在 C1 ∈ Rm×(n1−m) ， 可 逆 矩 阵 C2 ∈ Rm×m 、 C3 ∈ Rm×(n1 −m) 使下列两个等式成立：
A11 = A12C2−1C1
(9)
A12C
C −1
23
=
−diag(di )
di > 0； i = 1, 2,", n1 − m
(10)
定理 1 对于广义系统式(1)，在假设1～3的条
(1)
式中，X = (x1, x2 ,", xn )T ∈ Rn 为状态变量；u ∈ Rm 为 输入控制；E、A、B均为常矩阵； E, A∈ Rn×n ；
B ∈ Rn×m ；E为奇异矩阵， rankE < n 。 定义 1[1] 称矩阵对 (E, A) 正则，如果存在 s0 ，
使得 det(s0 E − A) ≠ 0 。 引理 1[2] 如果 (E, A) 正则，则存在非奇异矩
然而，遗憾的是，尚未见利用TSM控制方法研 究的报道。本文把终端滑模控制方法引入广义线性 定常系统的研究之中，提出了一种新的指数型快速 终端滑模控制策略，保证系统状态在有限时间内到 达平衡点，对广义控制系统理论作了一些有益的补 充和发展。
1 预备知识
考虑如下广义系统：
EX (t) = AX (t) + Bu(t)
s = x + α (ek x −1)sgn( x) + k
β (1 − e−k x )q p ek x sgn( x) = 0
(6)
k
则在滑动模上，系统状态变量是渐进稳定的，并在
比 ts2 更快的有限时间 ts 内收敛到平衡点。 式(6)中， x ∈ R1 ； α > 0 ； β > 0 ； p 和 q 均为
首先选取一个线性滑动超平面然后使用一个不连续的高频切换控制器迫使闭环系统的运动到达预先选定的滑动面上或者其一个很小的邻域之内通过控制器结构的改变以使系统达到良好的动态性能保证系统状态在有限时间内到达滑动面
第 40 卷 第 1 期 2011年1月
电子科技大学学报 Journal of University of Electronic Science and Technology of China
A11、A12、A21、A22
都
是适当维数的矩阵。令 Y
=
⎛ ⎜ ⎝
Y1 Y2
⎞ ⎟ ⎠
=
HX1
，其中，
Y1 ∈ Rn1−m，Y2 ∈ Rm ，则系统式(2)变为：
⎧⎪⎨YY12
= =
A11Y1 + A12Y2 A21Y1 + A22Y2
+
B3u
(8)
⎪ ⎩
NX
2
=
X2
+
B2 u
因此，要考虑讨论系统式(7)的指数型快速有限 时间收敛问题等价于讨论广义系统式(1)的指数型快 速终端滑模控制问题，根据设计的需要，又作如下
假设 1 (E, A) 是正则的； 假设 2 rankE = n1 。 由假设2可知，存在可逆矩阵 H 使得
HB1
=
⎛ ⎜ ⎝
0 B3
⎞ ⎟ ⎠
，其中
B3 ∈ Rm×m
是可逆矩阵，记
第1期
梁家荣， 等: 广义系统的快速终端滑模控制
13
HA1H
−1
=
⎛ ⎜ ⎝
A11 A21
A12 A22
⎞ ⎟ ⎠
，其中，
；P −1 X
=
⎛ ⎜ ⎝
X1 X2
⎞ ⎟ ⎠
；N
∈ Rn2 ×n2
为幂零矩阵，
幂零指数为 h ， n1 = deg det(sE − A) ，且 n1 + n2 = n ；
X1 ∈ Rr ； X 2 ∈ Rn−r ； u ∈ Rm 。通常，式(2a)被称为
慢子系统，式(2b)被称为快子系统。
引理 2[2] 对于广义系统式(1)，如果取其受限
收稿日期： 2010 − 12− 15; 修回日期：2011 − 01 − 09 基金项目：国家自然科学基金(61064002)；国家教育部新世纪人才支持计划(NCEF-06-0756) 作者简介：梁家荣(1966 − )，男，教授，博士生导师，主要从事广义控制系统理论、人工智能与智能控制方面的研究.
奇数，且 0 < q < p < 2q ； 0 < k ≤1 ；
ts
=
p
α (1 − e−k
ln
α( p − q)
) x(0) ( p−q) β
p
+
β
(7)
2 主要结果
利用指数型快速终端滑模控制方法研究广义系
统式(1)的有限时间收敛问题可分为两步：1) 设计指
数型快速终端滑模超曲面 S = 0 ，使得系统在滑动模
Key words exponential fast terminal sliding mode control; finite-time convergence; Lyapunov function restricted equivalent; singular systems
广义系统又称奇异系统、微分代数系统以及描 述系统等，由于其广泛应用于电路系统、电力系统、 机器人、石油化工、经济管理、生物过程以及航空 航天等技术领域，引起了国内外众多数学界、控制 界学者的广泛兴趣[1-2]。滑模控制方法由于具有对系 统内外部干扰的自适应性和易于实现的优点[3]，因 而成为许多学者研究广义控制系统的重要方法，相 应的研究也已经取得了较为丰硕的成果[4-6]。经典的 滑模变结构控制的基本原理是：首先选取一个线性 滑动超平面，然后使用一个不连续的高频切换控制 器迫使闭环系统的运动到达预先选定的滑动面上或 者其一个很小的邻域之内，通过控制器结构的改变 以使系统达到良好的动态性能，保证系统状态在有 限时间内到达滑动面。在滑模面上，系统的运动渐 近稳定或者说系统状态的跟踪误差渐近地收敛到 零。但是，在线性滑模控制设计中是采用线性的超
中图分类号 TP13
文献标识码 A
doi:10.3969/j.issn.1001-0548.2011.01.002
Fast Terminal Sliding Mode Control for Singular Systems
LIANG Jia-rong1, TAN Hong-yan2, and FAN Zhong-guang1
12
电子科技大学学报
第 40 卷
模控制方法，并利用其研究了刚性机械手的控制问 题；文献[12]针对刚性机械手，利用TSM的方法提 出了一种连续的有限时间控制策略；文献[16]提出了 另一种非奇异的终端滑模控制方法，并研究了混沌 系统的有限时间控制问题；文献[17-18]针对一类非 线性系统的滑模变结构控制有限时间收敛问题，提 出了指数型的有限时间收敛的滑模超曲面及相应的 控制设计方案。
平面作为切换面，理论上，滑动模态的动只是渐近 稳定，无论如何，系统的状态不会在有限时间内收 敛到平衡点，而在实际的动力系统中，系统状态常 常要求在有限时间内到达平衡点。
基于有限时间的机理，人们提出了一种终端滑 模(terminal sliding mode，TSM)控制策略[7-8]。TSM 控制的基本思想是：在滑模面的设计中引入非线性 函数，采用非线性超曲面为切换面。非线性函数的 引入使得，在滑动面上系统状能在有限时间内收敛 到平衡点。终端滑模控制除了具有普通滑模控制所 具有的鲁棒性外，还能使系统状态在有限时间收敛 和具有较高的稳态跟踪精度。国内外众多学者在 TSM控制方面做了很多研究和应用工作[9-18]。文献[9] 研究了多输入多输出线性系统的TSM控制问题；文 献[10]研究了非线性动力系统的快速终端滑模控制 设计问题；文献[11]提出了一种新型的非奇异终端滑
Vol.40 No.1 Jan. 2011
广义系统的快速终端滑模控制
梁家荣1，谭红艳2，樊仲光1
(1. 广西大学计算机与电子信息学院 南宁 530004; 2. 中国科学院声学研究所高性能网络实验室 北京 海淀区 100190)
【摘要】研究了一类广义系统的快速终端滑模控制问题。通过非奇异线性变换把广义系统变换成受限等价形式,利用
(1. School of Computer and Electronic Information Science, Guangxi University Nanning 530004;
2. High Performance Network Laboratory, Institute of Acoustic, Chinese Academy of Sciences Haidian Beijing 100190)
本文中， x ∈ R ，α > 0 ， β > 0 ，0 < γ < 1 ，ts2 ＜ ts1 ，有限时间 ts1 、 ts2 分别由如下两式确定：
⎧⎪⎪ts1
=
1 β (1 − γ )
x0
1−γ
⎨ ⎪⎪⎩ts2
=
α
1 (1 −
γ
)
ln
α
x0 1−γ β
+β
(5)
引理 4[18] 对于一阶动力学系统，如果滑动模 取：
阵 Q 、 P ，使得广义系统式(1)受限等价于：
X 1(t) = A1 X1(t) + B1u(t)
(2a)
NX 2 (t) = X 2 (t) + B2u(t)
(2b)
式
中
，
QEP
=
⎛ ⎜
I n1
⎝0
0⎞ ⎟
N⎠
；
QAP
=
⎛ ⎜ ⎝
A1 0
0⎞
I n2
⎟ ⎠
；
QB
=
⎛ ⎜ ⎝
B1 B2
⎞ ⎟ ⎠
S = 0 上具有所希望的品质，相对于普通快速终端滑
模，系统的状态变量在更小的有限时间内收敛到零
点或其一较小的邻域内；2) 设计相应的指数型快速
终端滑模控制器，使系统在滑模面 S = 0 之外的轨线
在有限时间内到达滑动模上，实现滑动模运动。
为设计的需要，对于广义系统式(1)及其等价形
式式(2)，本文作如下假设。
Lyapunov函数的方法，提出了一种新的指数型快速终端滑模控制策略，给出了特殊的指数型终端滑模超曲面，设计了相应的
终端滑模控制器，使得闭环系统渐进稳定，实现了滑模运动，保证了系统状态变量以较快的收敛速度在有限时间内到达平衡
点。给出了数值算例，说明了设计的可行性和有效性。
关 键 词 指数型快速终端滑模控制; 有限时间收敛; Lyapunov函数; 受限等价; 广义系统
Abstract In this paper, the fast terminal sliding mode control for a class of singular systems is studied. The singular systems are transformed into restricted equivalent forms by a nonsingular linear transformation. By the method of Lyapunov function, a novel exponential fast terminal sliding mode control strategy is proposed. A special exponential terminal sliding mode hypersurface is given and a controller is designed correspondingly, such that the asymptotic stability of the closed-loop system is guaranteed, the motion of sliding mode is realized, and the system state variables can converge to the equilibrium point with a fast convergence rat in finite time. Finally, a numerical example is presented to illustrate the feasibility and effectiveness of the design.
等价形式为式(2)，并且允许初始状态满足：
h
∑ X 2 (0) = − N i B2u(i) (0)
(3)
i=0
则广义系统式(1)存在唯一解：
∫ ⎛
⎜
e
A1t
X
1
(0)
+
X (t) = P ⎜
h −1
t 0
e A1
(t −τ
)
B1u(τ
)dτ

⎞ ⎟ ⎟
(4)
⎜ ⎜⎝
∑ − N i B2u(i) (t) i=0
⎟ ⎟⎠
引理 3[12] 对于一阶动力学系统，如果其终端 滑模或快速终端滑模分别取为：
s = x + β x γ sgn( x) = 0
s = x + α x + β x γ sgn( x) = 0
则其控制是非奇异的，并且对于任意给定的初始状 态 x(0) = x0 ，系统状态将分别在有限时间 ts1 、 ts2 内 到达零点。