高中数学人教A版选修2-2同步单元双基双测“AB”卷：专题02 推理与证明(B卷)(含答案解析)

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选修2-2第二章推理与证明能力提升卷
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共12个小题,每题5分,共60分） 1．下列说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C
2.定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (n ＋1)*1＝n*1＋1,则n*1＝ ( )． A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2 【答案】
【解析】由(n ＋1)*1＝n*1＋1,得n*1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝n. 3.【2015山东省曲阜期中】观察下列各式：
211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,
,可以得出的一般结论
是（ ）
A ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=
B ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-
C ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=
D ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-
【答案】B
【解析】观察题中所给式子可知,任意式子中的和等于其中间数的平方,选项中,只有B 项n 到
32n -的中间数为21n -是正确的,即等式成立.
4.【2015河北省保定期末】有一段“三段论”,推理是这样的：对于可导函数()f x ,如果
0()0f x '=,那么0x x = 是函数()f x 的极值点．因为3()f x x =在0x =处的导数值
(0)0f '=,所以0x =是函数3()f x x =的极值点．以上推理中 （ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确 【答案】A
【解析】因为对于可导函数()f x ,如果()00f x '=,那么0x x = 不一定是函数()f x 的极值点,所以大前提错误,选A ． 考点：三段论
5.【2015河北保定期末】*x N ∈（）,猜想(f x ）的表达式
为 （ ）
A B C D 【答案】B
【解析】f （1）=1排除C,D,取x=1,得2(2)3
f =
,取2x =得()1
32f =,排除A,故选B.
6.用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时,反证假设时正确的是（ ） A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1 B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1 C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1 D.以上都不对 【答案】B
7.【2015河北省临漳期中】用数学归纳法证明
“n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- ”时,由k n =的假设证明1+=k n 时,如
果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ ） A ．121
2111++
+++k k k B ．
2
21
1212111++
+++++k k k k C ．1212121+++++k k k D ．
2
21
12121++
++++k k k 【答案】D
【解析】当1n k =+时,右边应为
()()
()()
11
111
111
1112112322122
k k k k k k k k k ++
+
=++
+
++
+++++++++++．故D 正确．
8.【2015河南省南阳期末】观察下面关于循环小数化分数的等式：
.
(3118235215959)
0.3,1.18,0.352,0.0005993991199910009999000======⨯=,据此推测循环
小数,.
0.23可化成分数（） A ．
2390 B ．9923 C ．815 D ．730
【答案】D
【解析】∵.
310.393==,..1821.189911==,..352
0.352999
=,
..159590.0005910009999000=⨯=…
∴..113617
0.230.20.10.35109303030
=+⨯=+⨯=
+=,故选D 9.【原创】设a,b 是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是( )
A. 11a b
> B. 22
a b >
C.
11
a b b
>- D.
22
11a b ab > 【答案】D
【解析】可以用赋值法,令a ＝－1,b ＝2,排除A,B,C,故选D.
10.【2015届福建省宁德质检】某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4
天．
甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日 【答案】C
11.【2015年辽宁五校期末】如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ）,此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ）,若
k a a a a ====43214321,则k
S h h h h 24324321=+++．类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ）,此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i
H （4,3,2,1=i ）,若K S S S S ====4
3214
321,则4321432H H H H +++等于 A ．2V K B ．2V K C ．3V K D ．3V K
【答案】C
12.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时．．成立．．
,则正整数n 的最大值是（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B
【解析】由[]1t =,2[]2t =,…5[]5t =,得21t <…①,232t <…②,343t <…③,
454t <…④,565t <…⑤,由②③得56t …,与⑤矛盾,所以正整数n 的最大值是4.
故选B.
二、填空题（共4个小题,每题5分,共20分）
13.【2016广东省惠州市高三第一次调研考试】如下面数表为一组等式：
123451,235,45615,7891034,111213141565,
s s s s s ==+==++==+++==++++
=
某学生猜测221(21)()n S n an bn c -=-++,若该学生回答正确,则3a b += ． 【答案】4
【解析】可由待定系数法求得⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++13395241c b a c b a c b a ,解得1,2,2=-==c b a ,所以43=+b a
14.【2015
陕西省西安】已知：()0,x ∈+∞,观察下列式子：
3类比有则a 的值为
． 【答案】n n
【解析】根据题意,
x +222x
∴n
a n =． 15.【2015浙江台州中期中】如图,正方形ABCD 边长为1,分别作边,,,AB BC CD DA 上的三等分点1111,,,A B C D ,得正方形1111A B C D ,再分别取边1111,,A B B C 1111,C D D A 上的三等分点2222,,,A B C D ,得正方形2222A B C D ,如此继续下去,得正方形3333A B C D ,……,则正方形n n n n
A B C D 的面积为 ．
16.若a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0； ②a>b 与a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立． 其中判断正确的是_______． 【答案】①②
【解析】①②正确；③中a≠c,b≠c,a≠b 可能同时成立,如a ＝1,b ＝2,c ＝3.选C. 三、解答题（共6个小题,共70分）
17.【2015江苏盐城期末】（本小题满分10分）设,x y 都是正数,且2x y +>,试用反证法证明：
12x y +<和12y
x
+<中至少有一个成立． 【答案】详见解析
【解析】假设12x y +<和12y
x
+<都不成立,即12x
y
+≥, 12y
x +≥．
又
,x y 都是正数,∴12x y +≥,12y x +≥
两式相加得到 2()2()x y x y ++≥+,
2x y ∴+≤．与已知2x y +>矛盾,所以假设不成立,
所以
12x y +<和12y
x
+<中至少有一个成立． 18.（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常
数：
①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论．
19.【改编】（本小题满分12分）已知a>0,1b －1a >1.
(1)求证01b <<； (2)求证：1＋a>
1
1－b
. （1）证明由a>0,1b －1
a >1可得1111
b a
=+>,所以0<b<1.
（2）证明：因为a>0,0<b<1,要证1＋a>
1
1－b
, 只需证1＋a·1－b>1, 只需证1＋a －b －ab>1, 只需证a －b －ab>0即a －b
ab
>1,
即1b －1
a
>1,这是已知条件,所以原不等式得证． 20.【2015广东珠海期末】(本小题满分12分)已知数列
{}
n a 满足
11a =,121()n n a a n N ++=+∈
（1）求2a ,3a ,4a ,5a ；
（2）归纳猜想出通项公式n a ,并且用数学归纳法证明； （3）求证100a 能被15整除．
【答案】（1）23a =,37a =,415a =,531a =；（2）21n n a =-,证明略；（3）略；
21.（本小题满分12分）将各项均为正数的数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的
规则排成数表,
如图所示．记表中各行的第一个数a1,a2,a4,a7,…,构成数列{b n},各行的最后一个数a1,a3,a6,a10,…,
构成数列{c n},第n行所有数的和为S n(n＝1,2,3,4,…)．已知数列{b n}是公差为d的等差数列,从第二行起,
每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q,且a1＝a13＝1,a31
＝5 3.
(1)求数列{c n},{S n}的通项公式；
(2)求数列{c n}的前n项和T n的表达式．
22.（本小题满分12分）设a ,b ,c ,d 均为正数,且a b c d +=+.证明：
(1)若ab cd >,>
>
a b c d -<-的充要条件.
【证明】（1）因为
2
a b =++2
c d =++由题设
a b c d +=+,ab cd >,得
22
>,（2）( i)若a b c d -<-,则()()2
2
a b c d -<-,即()()2
2
44a b ab c d cd +-<+-.
因为a b c d +=+,所以ab cd >,>
( ii)>则
2
2
>,
即a b ++c d >++.因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是
()
()()()2
222
44a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-,因此a b c d -<-.
综上>a b c d -<-的充要条件.。