探索思考永无止境

探索思考永无止境
李海儿
【摘要】文章从一道中考模拟题的常规解法出发,深入探究,不断挖掘,最终得到基本模型,从而更好地帮助学生探究动点的运动路径,明确方向,有效节省时间,攻克中考压轴难题.
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2018(000)001
【总页数】2页(P12-13)
【关键词】动点;路径;最值
【作者】李海儿
【作者单位】蛟川书院,浙江宁波 315200
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
近日，笔者在解读《浙江省宁波市2016年初中毕业生学业考试说明》时，遇到了一道求线段最值的题目，许多师生都无从下手.现将原题呈现如下：
例1 如图1，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A,B在⊙O上，∠B=90°，点C在⊙O内，且当点A在圆上运动时，OC的最小值是______．
图1 图2
开始笔者也毫无头绪，不知该如何下手，于是只能借助几何画板，探究到点C的
运动轨迹是一个圆，进而去思考为什么点C的运动路径是一个圆呢？延长AC交⊙O于点D(如图2)，发现∠BCD是一个定角，联结DB，联结DO并延长交⊙O 于点E，联结BE，发现BD的长也是一个定值，于是想到定线定张角,得到点C的运动轨迹是在过点B，C,D的外接圆上，知道运动路径后可将求OC的最小值转化为求点到圆上一点的最大值与最小值问题，接下来关键是要求出线段OG的长以及⊙G的半径.易得OG∥EB,从而∠DOG=∠DEB=∠CAB.如果能证明∠ODG=90°，那么就能顺利求得OG和DG的长了.在⊙G上任意取一点H，由四点共圆可得∠H=∠ACB=∠EDB,
而
∠H=∠DGO,
从而
∠EDB=∠DGO.
又
∠DGO+∠BDG=90°,
得
∠EDB+∠BDG=90°,
即
∠ODG=90°,
于是
即
故OC的最小值为
做完此题后笔者很是激动，这么难的一道题目在一步步地思考中被解决.但同时也
引发了笔者深刻的思考，求线段的最值问题是近几年宁波市中考考纲中的重要题型之一，也是各地中考试卷中一道亮丽的风景.解决此类问题的关键是要结合题意，
借助相关的概念及图形的性质，将最值问题转化为相应的数学模型，这些数学模型主要包括将最值问题转化为点到直线的距离，利用垂线段最短解决，还可以转化为点到圆上一点的最大值与最小值模型解决，但是对于学生而言难度最大的是如何确定点的运动路径，找不到运动路径根本无法谈解题策略.如果按照上述的解题思路
来解决问题，几乎所有的学生都做不到，也就是说这个题目的得分率将会非常低，那么这样的题目放在考试中又有何意义呢？无独有偶，在中考模拟试卷中笔者又遇到了一个类似的问题：
例2 如图3，⊙O半径为4，Rt△ABC的顶点A,B在⊙O上，∠B=90°，AB=BC,
点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值是______．
图3 图4 图5
当看到等腰Rt△ABC时，顿觉惊喜，能否将线段OC进行转化，于是试着将△OBC 绕着点B顺时针旋转90°(如图4)，得到AD=OC，发现可以将求OC的最小值转
化成求AD的最小值.又因为点D在⊙O外，点A在⊙O上，喜出望外，可以顺利将此题转化为求圆外一点到圆上各点连线的最小值，最小值即为
有了这个题目的经验，忽然觉得在解决例1时思路太狭隘了：一味地借助几何画
板来探究路径，而忽略了可将线段OC的长进行转化；看到相等想到了旋转，但是看到两边成比例的时候却丝毫没有想到位似旋转变换，其实通过位似旋转变换也能让点C与点A重合，进而顺利转化.如图5，将△OBC绕着点B顺时针旋转90°，
再将边长放大到原来的此时点C与点A重合，即那么求OC的最小值就是求AD
的最小值，又转化到了圆外一点到圆上各点连线的最小值问题.由题意可知BD=4，则OD=5，从而ADmin=OD-OA=5-3=2，故
这样将线段OC进行转化，比一开始就找动点的运动路径简单得多，由此笔者对例
2进行了深入探究，又得到了如下模型：
模型1 如图6，当∠A为一个定值α，∠A的两边AB,AC的比k(即为一个定值时，且点A是定点，点B,C是两个动点，如果点B的运动轨迹是一个圆，我们可以得
到点C的运动轨迹也必定是一个圆.
图6 图7
证明如图7，假设点B在⊙E上运动，联结BE,AE，将线段AE绕着点A逆时针旋转角度α，同时将线段AE的长变为原来的得到定点F,且满足于是通过两边对应成比例，且夹角相等得到△ABE∽△ACF.因为BE的长是一个定值，而k也是一个定值，于是得到CF也是定值，根据到定点的距离等于定长可以得到点C的运动路径就是⊙F.
通过这种通法通性的证明，我们还可以得到两个结论：1)两个圆的半径之比就是k；
2)联结顶点A与圆心E，再将AE逆时针旋转角度α，同时将线段AE的长变为原
来的得到的点F就是所求圆的圆心.
现在我们利用这个基本模型来解决例1.首先∠ABC=90°且点B为定点，点A,C是
两个动点，且为定值，满足基本模型，那么可以确定点C的运动路径与点A的运
动路径是一致的，都是圆.根据上述结论1)，能确定⊙O的半径与这个圆的半径r
的比为即从而
图8
再利用上述结论2)确定圆心，联结定点B与圆心O(如图8),将线段OB逆时针旋
转90°，同时将线段长变为原来的得到的点D即为所求圆的圆心，此时利用勾股
定理可以求得故OC的最小值为
做到这里，收获甚大，这样的一个题目从开始的迷茫到越做越精彩，还得到一个基本模型，并且能应用到以后的求最值问题中，让隐性的思想方法浮出水面，从懵懂
到熟悉到内化，从自觉提炼到自觉综合运用，使思维逐步深入和提升.笔者相信这也是数学能让广大的教师、学生去探究它的魅力所在，刚开始的愚钝并不可怕，可怕的是没有继续进行探究的信念，相信只要我们敢于探索，就会越走越精彩.这种思考、这种探索应当融入到我们的教学生活中，学需思辨，保持朴素，富有生命力……唯有如此，教师才能收获持久而深入的专业发展，学生才能收获有效而智慧的学习态度.。