河南示范性高中汤阴一中度上学期12月高三数学月考试题(理科)有答案

2008年度上学期12月高三月考试题
数学（必修+选修II ）08.12.11
命题人：杨焕庆
(祝同学们考试顺利)
一.选择题//(12560)⨯=
1.若i i m -+1是纯虚数，则实数m 的值为：
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2.已知p ：21
>x
，q ：x x <，则p ⌝是q ⌝的:
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3已知集合{}1,2,3,4M =，{}3,4,5N =，:f M N →，则能建立多少个定义域 为Ｍ，值域为Ｎ的函数: A ．81 B ．72 C ．36 D ．18
4.设点2
(,1)2t P t
+(0)t <是角α终边上一点，当||OP 最小时，cos α的值是:
A. 5.等比数列{}n a 前n 项的积为n T ，若3618a a a 是一个确定的常数，那么数列
10T ，13T ，17T ，25T 中也是常数的项是: A ．10T
B ．13T
C ．17T
D ．25T
6.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则
()99f =
A.13
B.2
C.
132 D.2
13 7.在长方体1111ABCD A BC D -中，P 为
BD 上任意一点，则一定有: A.1PC 与1AA 异面 B.1PC 与1AC 垂直 C.1PC 与平面11AB D 相交 D.1PC 与平面11AB D 平行
8.若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则
A ．9
B ．10
C ．－9
D ．－10
9.已知动点（x,y ）符合条件2123
y x y x >-⎧⎨>-+⎩，则y
x 范围为：
A.(,2)(1,)-∞-⋃+∞
B.(2,1)-
C.(2,2)-
D.(1,)+∞
10.设1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种向量12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=.
若1(2,),(,0)23
m n π
==,点(,)P x y 在sin y x =的图象上运动, 点Q 是()y f x =
的图象上运动,且满足OQ m OP n =⊗+ (其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为：
A ．2,π
B ．2,4π
C ．1,42π
D ．1
,2
π
11.三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，
PA ⊥底面ABC ，且PA = 2，则此三棱锥外接球的半径为:
A.2
B.5
C.2
D.3
21
12.已知点O 为ABC ∆的外心，且4,||2AC AB ==，则 AO BC ⋅= A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
二．填空题//(4520)⨯=
13.若函数()f x 的定义域(1,2]-，则函数1
()f x
的定义域是______________.
14.已知函数()()y f x x R =∈的反函数为1()y f x -=，且1()2
y f x =+是奇函数，若
1(0)f a -=，则23lim()n n a a a a →∞
+++⋅⋅⋅+=________.
15.若1F ,2F 是椭圆22
143
x y +
=的两焦点，P 是椭圆上的动点，则12PF PF ∙的取值范围是_____________．
16.给出下列结论：①若2sin sin 1θθ+=，则24cos cos 1θθ+=； ②在ABC ∆中，“B A cos sin >”是“2
π
>+B A ”成立的充分非必要条件；
③将函数()cos y f x x =的图象向右平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数22sin y x =的图象，则()f x 是最大值为2的奇函数；
④函数3sin 4cos y x x =-取最大值时，3
tan
4
x =-。

其中所有真命题的序号为__________________.
月考答题卷
为草当作兰，为木当作松。

兰秋香风远，松寒不改容.
二．填空题//(4520)⨯=
13.___________ 14.____________ 15.___________ 16._____________
三．解答题///////(10121212121270)+++++=
17.已知△ABC 的面积S 满足3S ≤≤且6,AB BC AB ⋅=与BC 的夹角为.θ （1）求θ的取值范围；
（2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(+⋅+=f 的最大值.
18.已知袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是
3
1
．现从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；
（Ⅱ）记5次之内摸到红球的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望．
19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、
F 分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，CD = （1）求证：//AF 平面PCE ；（2）求点F 到平面PCE 的距离； （3）求直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值．
20.已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．
（1）当a=1时，求函数()f x 极大值。

；
（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．
21.在面积为9的ABC ∆中，3
4
tan -=∠BAC ，且2=。

现建立以A 点为
坐标原点，以BAC ∠的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示。

（1）求以AB 、AC 所在的直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；
（2）过D 分别作AB 、AC 所在直线的垂线DF 、DE （E 、F 为垂足），求DF DE ∙的值。

22.在数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a n
n a *+=+∈N .
(1)试比较2n n a a +与21n a +的大小关系；
(2)证明：当n ≥3时，1
1
32n n n a -+>-.
参考答案
一选择题：CBCDC CDDAC DC
二填空题：13.1
(,1)[,)2
-∞-+∞ 14.1 15.[]2,3 16.①②③④
三解答题：
17.解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θBC AB BC AB ……………………1分
θθθθtan cos ||||21
sin ||||21)sin(||||21x S ==-=
.tan 3tan 621
ϑθ=⨯=………………………………………………………3分
333tan 1tan S θθ≤≤≤≤∴≤≤即
].3
,4[],,0[π
πθπθ∈∴∈ 又………………………………………………5分
（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f
).4
2sin(222cos 2sin 2π
θθθ++=++=…………………………7分
].1211,
43[42],3,4[π
ππθππθ∈+∈ …………9分 )(,4
,4342θπ
θππθf 时即当==+∴最大，其最大值为3.………………10分
18.解：（Ⅰ）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，
所以概率为：81
8
3132312
224
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C 4分
（Ⅱ）随机变量ξ的取值为0 , 1 , 2 , 3 .其中，当ξ= 3时，又分三种情况，则
()2433231105
5
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯==C P ξ ()243
80
3113114
15
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C P ξ
()243803113123
22
5=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛*==C P ξ ()81
17313113131311313113132
2
422
30333=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C C C P ξ
随机变量ξ的分布列是：
10分
ξ的数学期望为：
E ξ=24332× 0 + 24380× 1 +243
80
× 2 + 8117× 3 =81131 12分
19.解：解法一：（1）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，
则 F G //CD 2
1
. …1分
又由已知有.//,21
//AE FG CD AE ∴
∴四边形AEGF 是平行四边形.
.//EG AF ∴ AF 又 ⊄ 平面PCE ，EG .PCE 平面⊆PCE AF 平面//∴…4分 (注：也可取CD 中点O ，联结OE 、OF ，易证平面AFG ∥平面PCE) （2）,ABCD PA 平面⊥PA ⊂平面PAD
,
//.,.,,3..
.AF EG PCD AF D CD PD PD AF PD F AD PA CD
AF PAD CD AD CD ABCD ABCD PAD 由平面又的中点是又平面是矩形有由平面平面⊥∴=⋂⊥∴==⊥∴⊥∴⊥⊥∴………6分
.
24
3
21.30,.62,22
3
,23==∴=∠∴⊥==
=PF FH CPD PAD CD PC PF D P 平面由于由已知可得
24
3
的距离为到平面点PCE F ∴. …8分 （3）由（2）知.所成的角
与平面为直线PCE FC FCH ∠ 14
21
sin .242,
22
3
,6,22=
=∴=+=∴==∆FC FH FCH FD CD FC FD CD CDF Rt 中在
∴直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值为14
21. ……12分 解法二：如图建立空间直角坐标系xyz A -则A （0，0，0），P （0，0，3），D （0，3，0），
E （2
6
，0，0），F （0，23，23），C （6，3，0） ……1分
（1）取PC 的中点G ，连结EG ， 则G ).2
3,23,26(
= =
,
,.
//.//),
2
3
,23,0(),23,23,0(PCE EG PCE AF EG AF EG AF EG AF 平面平面又即⊆⊄∴==
.//PCE AF 平面∴…………4分
（2）设平面PCE 的法向量为).0,
3,2
6
(),3,0,26(),,,(=-
==EC z y x
).1,1,6(,1.032
6,0326
.
0,
0-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅y y x z x 得取即 …6分
的距离为
到平面故点又PCE F PF ),23
,23,0(-=.42322|2323|=--=
=d …8分 （3）),2
3
,23,6(-=FC
∴.14
21
2
22213|
||||,cos |=
⨯=
⋅=
><n FC n FC …10分 ∴直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值为
14
21
. …………12分 20.解：（1）当a=1时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，
2121()21x x f x x x x
--'∴=-+=- （1分）
令()0f x '=，即221
0x x x
---
=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，1
2
x ∴=-舍去．
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减4分）
∴当x=1时，函数()f x 取得极大值，其值为2(1)ln1110f =-+=．（6分） （2）法一：因为22()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞，
所以222
121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x
-++-+-'=-+== （7分）
①当a=0时，1
()0,()f x f x x
'=>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意（8分）
②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即1
x a
>．
此时()f x 的单调递减区间为1
(,)a
+∞．
依题意，得11,
0.
a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥． （10分）
③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即1
2x a
>·
此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，1
1,
0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得12a ≤-
综上，实数a 的取值范围是1
(,][1,)2
-∞-+∞U （12分）
法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q 2221
()a x ax f x x
-++'∴=
（7分）
由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得 22210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．
① 当0a =时，10≤不合题意
（9分）
② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4
210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4
112
a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1
(,][1,)2
a ∴∈-∞-+∞U （12分）
21.解：（1）设α=∠CAx
则由34
tan 1tan 22tan tan 2
-=-==∠α
ααBAC α为锐角，∴2tan =α，
∴AC 所在的直线方程为y=2x ,AB 所在的直线方程为y= -2x …….4分
设所求双曲线为()0,422≠=-λλy x
设()11,y x C ，()22,y x B ，()0,021>>x x ，
由DB CD 2=可得：⎪⎭
⎫
⎝⎛-+342,322121x x x x D
∴2
2
1212224433x x x x λ+-⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即λ=21932x x 由34tan -=∠BAC ，可得5
4
sin =∠BAC ，
又 15x AB =， 25x AC =，()021>x x
∴9254
521sin 212121==⋅⋅⋅=∠=
∆x x x x BAC AC AB S ABC ， 即2
9
21=x x ，代入（1）得16=λ，
双曲线方程为
116
42
2=-y x …………………………………………………8分 （3）由题设可知，BAC DF DE ∠->=<π,，
∴5
3
)cos(,cos =∠->=<BAC π
设点D 为()00,y x ，则116
420
20=-y x
又点D 到AB ，AC 所在直线距离
5200y x +=
5
20
0y x -=，
而⋅=∙DF DE ><DF DE ,cos =⨯-5200y x 2548
535
200=
⨯+y x …12分 22.解：(1)由题设知，对任意n *∈N ，都有0n a >
112n n n a n a +=+，1
21
1122
n n n n a n a ++++++∴= 22222111111(1)2(2)
n n n n n n n n
n n a a n
a a a a a a a n +++++++-∴-=⋅-=+≤0 2n n a a +∴≤21n a +（也可以用商比法） (4分)
(2)由已知得：11231391,,,11,242
n n n n n a n
a a a a a a ++=∴===+>∴>
又11,1(n a a n =∴>≥2)
当n ≥3时，111
1111
111
(
1)222n n n n n n n n n n n a a a a a ----------=+=+>+ 11
1
2n n n n a a ---∴->
(8分) 3435413419341
()()()4222
n n n n n a a a a a a a a ---∴=+-+-++->++++
设341341
,222n n S --=+++ ①
则451341
,2222
n n S -=+++② ①-②得34511113111131
162()12222228212
n n n n n n S --
--=+++-=+--
1112n n S -+∴=-，1119111
12134222
n n n n n n n a ---+++∴>+->+-=-
∴当n ≥3时，11
32
n n n a -+>-. (12分)
注：解答题若有其它解法，只要解答正确，请酌情给分。