广东省兴宁一中高二数学第二学期考试题 文 新人教A版

广东省兴宁一中2010-2011学年高二第二学期考试题数学（文科）
注意：本试卷共4页,20小题,满分150分.考试时间120分钟. 必须将正确答案填
写在答题卡规定的地方
一、选择题：（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）条件
A ．充分 B. 必要 C. 充要 D. 非充分非必要
2．设命题:p 2
,x x x ∀∈R ≥ 2
:,q x x x ∃∈R ≥，则下列判断正确的是（ ）
A ． p 真q 真
B ．p 假q 假
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
3. 如右图所示的程序框图输出的结果是（ ）
A.5
B.20
C.24
D.60
4．函数)(x f 的定义域为开区间(a,b)， 导函数)(x f '在(a,b)内的图象如图 所示，则函数)(x f 在开区间(a,b) 内有极小值点有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
5. 如图矩形O ＇A ＇B ＇C ＇是水平放置的一个平面图形的直观图， 其中O ＇A ＇=6，O ＇C ＇=2，则原图形是（ ）
A ．正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 6．点),(00y x P 在圆2
2
2
r y x =+内，则直线200r y y x x =+
和已知圆的公共点
的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C.2 D ．不能确定 7．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
8. 一个棱长都为a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上, 则此球的表
面积为（ ）
A.
2a 37π B. 2a 2π C. 2a 411π D. 2a 3
4
π 9．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线x y 3=无公共点，则离心率e 的取值
范围是（ ） A ．(
]
10,
1
B ．(
)
10,
1
C ．
()+∞,10
D ．(
)3,1 10．若点O 和点F 分别是抛物线x y 42=的顶点和焦点,点P 为抛物线上的任意一点,则
OP FP ⋅的取值范围为 （ ）
A ．]4
9
,(--∞ B ．]0,(-∞ C ．),0[+∞ D ． ),4
9
[+∞-
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 定义运算
a
b
ad bc c d =-，则对复数z ，符合条件
11
2zi z
=的 复数z 为 . 12．观察下图：
第一行：1
第二行：2 3 4
第三行：3 4 5 6 7
第四行：4 5 6 7 8 9 10
…………
则第____ ________行的各数之和等于2
2011. 13．已知,x y 的取值如下表所示：
从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95y
x a =+，则a = .
14．直线122()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答题应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分12分）
求证：(1)2
2
2
a b c ab ac bc ++≥++； (2) 6+7
>5
16. (本题满分12分） 已知,Z m ∈关于x 的一元二次方程：
044)1(2=+-m x x ； 05444)2(2
2=--+-m m mx x
（Ⅰ）求使方程（1）（2）都有实数根的充要条件； （Ⅱ）求使方程（1）（2）的根都是整数的充要条件.
17. (本题满分14分）
如图，是一个几何体的三视图， 若它的体积是33，求a 的值， 并求此几何体的表面积。

18．(本题满分14分）
如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ， PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．
（1）求证：EF ∥平面PAD ；
（2）求证：EF ⊥CD ；
（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小
19．(本题满分14分）已知函数()()3213
,032
f x x mx mx m =
-+>. 侧视图
正视图 俯视图
（1） 当2m =时，①求函数()y f x =的单调区间；
②求函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程；
（2） 若函数()f x 既有极大值，又有极小值，且当04x m ≤≤时， ()2
2
332
(3)23
f x mx m m x <+-+
恒成立，求m 的取值范围.
20．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，
P 是平面内一动点，直线PA 、PB 的斜率之积为3
4
-．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直
线MA 的斜率k 的取值范围．
广东省兴宁一中2010-2011学年高二第二学期考试题数学（文
科）参考答案 2011-07
一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分,共30分)
11. i +1 12. 1006 13. 6.2 14.
14
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
15．（1）证明： ∵ R b a ∈,
∴ ab b a
222
≥+ （当且仅当b a =时，取“=”号）…… 2分
同理 ac c a
222
≥+ bc c b 222≥+
以上三式相加得：bc ac ab c b a 222)(2222
++≥++
∴ bc ac ab c b a
++≥++222
（当且仅当c b a ==时，取“=”号 ）… 6分
（2）要证原不等式成立，只需证2)76(+2)522(+> …… 8分
即证：402422
> 即证：4042>等式成立
所以 原不等式成立 …… 12分
16．解：（Ⅰ）使方程（1）有实根01616≥-=∆⇔
m 即：1≤m 成立，
使方程（2）的根02016≥+=∆⇔m 得：4
5
-
≥m ∴ 14
5
≤≤-
m ∵ ,Z m ∈ ∴ 1,0,1-=m 所以 使方程（1）（2）的根都的充要条件是1,0,1-=m …… 6分
（Ⅱ）经检验：（1）当1-=m 时，方程（1）没有整数根
（2）当0=m 时，方程（2）没有整数根
（3）当1=m 时，方程（1）有相等的整数根2，方程（2）有整数根1-和5
所以 方程（1）（2）有整数根的充要条件是 1=m …… 12分 17．解：根据三视图可知：此几何体是正三棱柱，（作图略）
∴ 33322
1
=⨯⨯⨯==a Sh V
∴ 3=a …… 8分
∴ 表面积183********
1
+=⨯⨯+⨯⨯⨯=
S …… 14分 18. （1）证明：如图，过F 作FG 平行CD 交PD 于G ，连结AG
∵CD AE CD FG 2
1
//,21//
∴AE FG // ∴//EF 平面PAD …… 5分 （2）证明： ∵ 四边形ABCD 是矩形 ∴AD CD ⊥
又 ABCD PA 平面⊥ ∴CD PA ⊥ ∵A AD PA =
∴
PAD CD 平面⊥ ∵ PAD AG 在平面⊂
C
CD AG ⊥ ∵ EF AG // ∴EF CD ⊥ …… 10分
（3）解：过G 作GH 平行PA 交AD 于H ， ∵ABCD PA 平面⊥ ∴
ABCD GH 平面⊥ ∴GAH ∠为直线GA 与平面角ABCD 所成的角
∵045=∠PDA G 为PD 中点 ∴GD AG = ∴045=∠GAD
∵
EF AG // ∴ ABCD EF 与平面所成的角为045 …… 14分
19．解：（1）当2=m 时，x x x x f 323
1)(23
+-=
得：34)('2+-=x x x f 3,10)('===x x x f 得由
所以 函数)(x f 的单调增区间是：),3(),1,(+∞-∞递减区间是)3,1( …… 5分 ∵ 3)0(='f ∴ 函数)(x f y =的图象在点)0,0(处的切线方程为x y 3=… 8分
（2）因函数)(x f 既有极大值，又有极小值，则02
3
2)(2
=+
-='m mx x x f 有两个不同的根，∴0642
>-=∆m m
又0>m ∴
2
3>
m 令x m mx x m m mx x f x g 22322
323
1
)323(
)()(+-=---= 则=
')(x g )3422m mx x +- m x m x x g 3,0)('===得由
∴ m x m x x g 30)('><>或得由 m x m x g 30)('<<<得由
∴ 函数)(x g 在),0[m ，]4,3(m m 上为增函数，在)3,(m m 上为减函数
∴334)(m m g =
，0)3(=m g 为)(x g 的极值， 又0)0(=g 是33
4)4(m m g = ∴ 334)(m x g 的最大值为 ∴ 3
32
343<m 解得：2<m
所以 m 的取值范围为)2,2
3
(
…… 14分 20. 解：(Ⅰ)根据题意：)2(4
3
22±≠-=+⋅-=
⋅x x y x y K K PB PA 化简得：)2(13
42
2±≠=+x y x 所以 动点P 的轨迹C 的方程为)2(13
42
2±≠=+x y x …… 5分 （Ⅱ）设),(),,(),,(2211y x M y x F y x E 则：1342121=+y x 13
42
2
22=+y x 两式相减得：
+-+4))((2121x x x x 03
)
)((2121=-+y y y y
又 ),(y x M 是中点 ∴ y y y x x x 2,22221=+=+ ∵ 2
12
12
1-=
--=
x y x x y y k 化简得：)0(08362
2≠=+-x y x x
即：点),(y x M 的轨迹为)0(08362
2≠=+-x y x x …… 10分 ∵)0,2(A ∴能性 可设直线MA 的方程为)2(-=x k y 代入上式得：032)332()86(2
2
2
2
=++-+k x k x k 由 032)86(4)332(2
2
2
2
≥⨯+⨯-+=∆k k k 解得：8
181≤≤-k 所以 直线MA 的斜率k 的取值范围是]8
1
,81[- …… 14分。