4.5.3 函数模型的应用高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

(2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的 函数模型，并求出函数解析式． (3)2019 年(即 x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量 减少 30% ，试根据所建立的函数模型，确定 2019 年的年产量为多少？ 解：(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 y(单位：万元)随年产值 x(单位：万元) 的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同时奖金不超过年产值的 15% .
(1)若某企业年产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数 y＝lg x＋kx＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知 lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)．
x
答案：y＝0.9 50 ·m
2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤 过程中，废气中的污染物含量 p(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位： 小时)之间的关系为 p(t)＝p0e－kt(式中的 e 为自然对数的底数，p0 为污 染物的初始含量)．过滤 1 小时后，检测发现污染物的含量减少了15. (1)求函数关系式 p(t)； (2)要使污染物的含量不超过初始值的1 0100，至少还需过滤几个小 时？(参考数据：lg 2≈0.3)
(3)根据所建的函数模型，预计 2019 年的年产量为 f(5)＝1.5×5＋2.5
＝10 万件，又年产量减少 30%，即 10×70%＝7 万件，即 2019 年的
年产量为 7 万件．
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．[好题共享——选自苏教版新教材]在经济学中，函数 f(x)的边际函数
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度 y 与燃料质量 x 之间的函数关系式； (2)已知“长征”四号火箭的起飞质量 M 是 479.8 吨，则应装载多少吨燃料才能使火 箭的最大飞行速度达到 8 km/s？(结果精确到 0.1 吨( e－1)m]－ln( 2m)}＋4ln 2，
(3)设从今年开始，n 年后森林面积为 2a·(1－p% )n， 2
令 2a(1－p% )n≥1a，即(1－p% )n≥ 2，
2
4
4
1 2
n
10 ≥
1 2
3 2
，得 n
≤3，解得
n≤15，故今后最多还能砍伐
15
年．
10 2
[方法技巧] 在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为 y＝ N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．有关人口增 长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．
[方法技巧] 对数函数应用题的基本类型和求解策略
基本 有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然
类型 后根据实际问题求解
求解 策略
首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具 体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据 数值回答其实际意义
[ 变式训练] 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行 速度可以表示为函数 v＝12log310x0－lg x0，单位是 km/min，其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量 的单位数，x0 代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差 (参考数据：lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)． (1)当 x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为 8 100 个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当 x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为 2.5 km/ m i n ，同类雌鸟的飞行速度为 1.5 k m / min，则此时雄鸟 每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
题型一 指数函数模型
[学透用活]
[典例 1] 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且使森林
面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为a2.为保护生态环境，所
剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为
2 2 a.
(1)求 p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
3．某工厂 2018 年生产某产品 2 万件，计划从 2019 年开始每年比上一年
增产 20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过 6 万件的起始年份
是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
()
A．2022 年
B．2023 年
C．2024 年
D．2025 年
解析：设从 2018 年起，再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产量超
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[ 解]
(1)由题意得
a(1－p%
)10＝a，即(1－p% 2
)10＝1，解得 2
p%
＝1－
1 2
1 10
.
(2)设经过 m 年森林面积为
2a，则 a(1－p% )m＝
2a，即
1 2
m 10
＝
1 2
1 2
，得 m ＝1，
2
2
10 2
解得 m＝5.故到今年为止，已砍伐了 5 年．
解：(1)根据题意，得45p0＝p0e－k， ∴e－k＝45，∴p(t)＝p045t. (2)由 p(t)＝p045t≤1 0100p0，得45t≤10－3，两边取对数并整理得 t(1－ 3lg 2)≥3，∴t≥30. 因此，至少还需过滤 30 个小时．
题型二 对数函数模型 [ 学透用活]
[ 典例 2] 2018 年 12 月 8 日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器， 这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量 M 是箭体(包括搭载 的飞行器)的质量 m(吨)和燃料质量 x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的 最 大 速 度 y(km/s) 关 于 x( 吨 ) 的 函 数 关 系 式 为 y＝ k[ln(m ＋ x) － ln( 2 m)] ＋ 4ln 2( 其 中 k≠0)．当燃料质量为( e－1)m 吨时，该火箭的最大速度为 4 km/s.
[ 变式训练]
某企业常年生产一种出口产品，自 2015 年以来，每年在正常情况下， 该产品产量平稳增长．已知 2015 年为第 1 年，前 4 年年产量 f(x)(万
件)如下表所示：
x
12 3
4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出 2015～2018 年该企业年产量的散点图．（转下页）
[ 变式训练]
1．据报道，青海湖的湖水在最近 50 年内减少了 10% ，如果按此规律， 设 2000 年的湖水量为 m，从 2000 年起，过 x 年后湖水量 y 与 x 的函
数关系式为________． 解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝
1
x
0.9 50 ，即x年后的湖水量为0.9 50 ·m.
条件 a＞0 且 a≠1，
b≠0 a＞0 且 a≠1，
m≠0
a≠0，n≠1
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)在一次函数模型中，系数 k 的取值会影响函数的性质． ( )
(2)在幂函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调性．( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存
[方法技巧] 函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数． (5)利用选取的拟合函数进行预测． (6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策 和管理提供依据．
Mf(x)定义为 Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产 100 台报警
系统装置，生产 x 台(x∈N *)的收入函数为 R(x)＝3 000x－20x2(单位：
元)，其成本函数为 C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成 本之差． (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)； (2)利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值？
(2)对于函数模型 f(x)＝15xx＋－8a＝15－12x0＋＋8a， a 为正整数，函数在[50,500]上递增． 由 f(x)min＝f(50)≥7，解得 a≤344； 要使 f(x)≤0.15x 对 x∈[50,500]恒成立，即 a≥－0.15x2＋13.8x 对 x ∈[50,500]恒成立， 所以 a≥315.综上所述，315≤a≤344， 所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 315.
解得 k＝8，
所以 y＝8[ln(m＋x)－ln(
2m)]＋4ln 2＝8ln
m＋x m.
(2)由已知得 M＝m＋x＝479.8，
则 m＝479.8－x，又 y＝8，
则 8＝8ln47497.98.－8 x，解得 x≈303.3.
故应装载大约 303.3 吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s.
过 6 万件，根据题意，得 2(1＋20%)n>6，即 1.2n>3，两边取对数，得
nlg
1.2>lg
3，∴n>lglg13.2＝lg
lg 3 3－1＋2lg
2≈6.03，又
n
为整数，∴n
的
最小值为 7，又 2 018＋7＝2 025，∴从 2025 年开始这家工厂生产这
种产品的年产量超过 6 万件．故选 D. 答案：D
在意义了． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
()
2．某商场在销售空调旺季的 4 天内的利润如下表所示.
时间
12 3
4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的 (
)
A．y＝log2x C．y＝x2
B．y＝2x D．y＝2x
解析：逐个检验可得答案为 B. 答案：B
解：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得 v＝12log38110000－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度为 1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是 0， 可得 0＝12log31x00－lg 5， 即 log31x00＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得 x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为 466 个单位．
4.5.3 函数模型的应用 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学
语言和工具． 2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化
规律． 3．通过现实世界不同变化规律的数学化研究，提升学生数学建
模、数据分析的核心素养．
(一)教材梳理填空 名称
解析式
一次函 数模型
_y_＝__k_x_＋__b__
反比例函 数模型
__y_＝__kx_＋__b___
二次函 数模型
一般式： _y＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_ 顶点式：y＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2
条件 _k_≠__0__ __k_≠__0_
__a_≠__0_
名称 指数函 数模型 对数函 数模型 幂函数
模型 分段函数
模型
解析式 y＝b·ax＋c y＝mlogax＋n y＝axn＋b y＝fgxx，，xx<≥mm，
设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由已知得
a＋b＝4， 3a＋b＝7，
解得
a＝1.5， b＝2.5，
所以 f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
所以一次函数模型 f(x)＝1.5x＋2.5 能基本反映年产量的变化．
(3)设雄鸟的耗氧量为 x1，雌鸟的耗氧量为 x2， 由题意得，2.5＝12log31x010－lg x0，
1.5＝12log31x020－lg x0， 两式相减可得 1＝12log3xx12，解得xx12＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量 是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
题型三 建立拟合函数模型解决实际问题 [ 典例 3] 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元的新增
(2)若采用函数 f(x)＝15xx＋－8a作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值．
[解] (1)对于函数模型 y＝lg x＋kx＋5(k 为常数)， x＝100 时，y＝9，代入解得 k＝510， 所以 y＝lg x＋5x0＋5. 当 x∈[50,500]时，y＝lg x＋5x0＋5 是增函数，但 x＝50 时，y＝lg 50 ＋6>7.5，即奖金不超过年产值的 15%不成立，故该函数模型不符合要求．