2.1等式与不等式的性质课件

2 为根的一元二次方程可以是
− =
．
− = ，∴ = ，
又 + = ，
∴以 , 为根的一元二次方程可以是： − + = .
故答案为： − + = （答案不唯一，只需满足韦达定理的结论即可）.





5．已知一元二次方程 − − = ( > )的两个实根为 、 ，则 + =
=
−
2
�� − 2=
− × （ − ）= 13
+
2
−
题型四 不等式的性质
例4
(1)给出下列命题：
1 1
①若 ab>0，a>b，则a<b；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
a a＋m
③对于正数 a，b，m，若 a<b，则b<
.
b＋m
①③
其中真命题的序号是________.
题型五 比大小
例5 已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，


1
3 3
2
2
∵x －x＋1＝x－2 ＋4≥4＞0，


∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，即 x3－1＞2x2－2x；
提示
①最低限速50 km/h，v≥50；
②限制质量10 t,0<ω≤10；
③限制高度3.5 m,0<h≤3.5；
④限制宽度3 m,0<x≤3；
⑤时间范围7：30－10：00,7.5≤t≤10.
知识梳理
等式及其性质
最常见的相等关系是数量之间的相等，例如 sin30°与 相等，并可表示为
sin30°= .用等号“=”把两个表达式连接起来，所得的式子成为等式.
<
1
1
(3)如果 a>b>0，那么a2_____
< b2；
c
c
(4)如果 a>b>c>0，那么a_____
< b.
2．如果 <
A．
2
>
< 0，那么下列式子中一定成立的是（
）
1
1
B．
2
<
2
C． < 1
D． <
【解】由 < < ，得 > > ，A 正确；
由 < < ，得− >− > ，则 > ，B 错误；
当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即 x3－1＝2x2－2x；
当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即 x3－1＜2x2－2x.
题型六 不等式的证明
a
b
例 6 已知 c>a>b>0，求证：
>
.
c－a c－b
ac－b－bc－a
a
b
证明
－
＝
c－a c－b
c－ac－b
( + ) + ( − )，则
+
−
=1
，
=3
=2
，
=− 1
−4 <− ( − ) < 2 ，
因为 2 < 2( + ) < 8 ，
故 + 3 ∈ −2,10 .
解得
故答案为： −2,10
.
7．已知关于 x 的方程
+ 4 = 3 − （m、 ∈ ）.
(1)求方程的解集 A.
(2)若 = 4 ，关于上述方程仅有正整数解，求 m 的所有取值组成的集合 B.
【解】（1）解：由题意，可得 3 −
4+
=4+ ，
①当
≠ 3 时，解集为 =
②当
= 3 ， =− 4 时，解集为 = ；
③当
= 3， ≠− 4 时，解集为 = ∅.
3−
；
（2）解：由题意及（1）问结论知，
所以 3 −
≠ 3，且 =
8
3−
= 1 或 2 或 4 或 8，所以 = 2,1, − 1, − 5 .
1 1
B.若 a>b>0，则a>b
b a
C.若 a<b<0，则a>b
1 1
D.若 a>b，a>b，则 a>0，b<0
√
题型二 方程（组）的解（解集）
例2 对于实数a，b，c，求关于x的方程ax=b的解集.
解：当a≠0时，解集为


;
当a=0，b=0时，解集为R;
当a=0，b≠0时，解集为空集∅.
题型三 韦达定理
【解】
(1)因为－1<x<4，2<y<3，
所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.
（2）由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，
4<2y<6，所以 1<3x＋2y<18.
课堂练习
1.用不等号“>”或“<”填空：
(1)如果a>b，c<d，那么a－c____b－d；
>
(2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac____bd；
【解】因为一元二次方程 − − = ( > )的两个实根为 、 ，
所以 + = , =− .




故 + =
+

故答案为：−

= − =−
6．若 1 <
+
< 4，−2 <
【解】令 + 3 =
− < 4，则 + 3 的取值范围是
a＋c＞b＋d
4：同向可加性 如果a＞b，c＞d，那么____________________.
5：同向可乘性 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么________________.
ac＞bd
n＞ bn(n∈N，n≥2)
a
6：可乘方性 如果a＞b＞0，那么________________________.
例3 已知方程x2+x-3=0的两个根为x1、x2，求下列各式的值：
（1） + ;
(2) − .
解：由韦达定理， + = −，�� = −. 于是
（1） + = （ + ）=-3× （ − 1）=3.
（2） − =
等式有以下性质：
设 a、b、c 均为实数
(1)传递性：
，如果 a＝b，且 b＝c，那么 a＝c.
(2)加法性质：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
(3）乘法性质：如果 a＝b，那么 ac＝bc；
a b
如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
含有未知数的等式成为方程.使得方程两端相等
的未知数的值，称为方程的解或者方程的根.
不等式的性质
设a、b、c均为实数


＞ (n∈N，n≥2)
7：可开方性如果a＞b＞0，那么________________________.
8:
1
如果a＞b＞0，那么__

>
1
_>0________

重要定理
题型总结
题型一 等式的性质
例1
对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是
A.若a>b，则ac2>bc2
∈
∗
，
8．已知 、 ∈ ，比较
解：∵ −

3
−
3
2
与
பைடு நூலகம்
− −
−

的大小.
= −
当 > 时， −
> ， +

当 = 时， −
= ，则 −
当 < 时， −
< ， +



+
+
= −
综上所述，当 > 时， −
2

> ，则 −

= −
ac－ab－bc＋ab
ca－b
＝
＝
，
c－ac－b
c－ac－b
∵c>a>b>0，
∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，
a
b
∴
>
.
c－a c－b
题型七 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例 7 已知－1<x<4，2<y<3.
(1)求 x－y 的取值范围；
(2)求 3x＋2y 的取值范围．
第2章 等式与不等式
1
学
习
任
务
2
回顾等式与等式的性质，会求解方程的解.
回顾一元二次方程的解集，理解根与系数的关系，
会使用根与系数的关系求代数式的值.
3
了解不等式与不等式的性质，会比较数或式子
的大小、会使用不等式的性质证明不等式或
解决范围问题.
新课导入
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中

由 < < ，得 > ，C 错误；




由 < < ，得 < ，即 < ，D 错误.
故选：A
3． ， ， ， ∈ ，且 > ，则“ > ”是“ + >
+ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解】充分性：因为 > 且 > ，由不等式的性质可得 +
最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：
同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多
少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快
与慢的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不
同”.
新课导入
问题 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用
一个数学式子表示下列关系吗？
韦达定理
不等式的性质
设a、b、c均为实数
a＞ c
1：传递性 如果a＞b，b＞c，那么____________.
a＋c＞b＋c.
2：加法性质 如果a＞b，那么___________
3：乘法性质 如果a＞b，c＞0，那么_______；
ac＞bc
如果a＞b，c＜0，那么_________.
ac＜bc
− −
− −

− +


+
−
+


−
< ，∴ −

−
< ， > ，
> −

+
> −

+
．
课堂小结
1.知识清单：
(1)等式的性质.
(2)不等式的性质及其应用.
(3)韦达定理.
(4)比较大小.
(5)重要不等式.
2.方法归纳：作差法.
3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.
> + ，充分性
成立；
必要性：取 = ， = ， = ， = . ，则 + > + 成立，且 > ，
但 > ”不成立，必要性不成立.
因此，“ > ” 是“ +
故选：A.
> + ” 的充分不必要条件.
4．若
1+
2
= 3，
2
1
+
2
2
= 5，则以 1,
【解】∵ + = +
当 = 时， −

= −

当 < 时， −

< −

；
.


> −


< −
.
；

> ，则 −
> −
−
；
9．设 <
< ，试用比较法证明 +
证明： +
= +

= −
∴ +
−
−
+
= −
∵<