高中数学数列与数学文化

1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有()
A.98项
B.97项
C.96项
D.95项
解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n －20，由1≤a n≤2 018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项.
答案 B
2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，
a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017是斐波那契数列的第________项.
解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a6＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a8＋a9＋…＋a2 017＝…＝a2 016＋a2 017＝a2 018，即为第2 018项.
答案 2 018
3.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A.174斤
B.184斤
C.191斤
D.201斤
解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65.
∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.
答案 B
4.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
12
2.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音
的频率为( ) A.32f B.322f C.12
25f D.
12
27f 解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为
122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝
12
27f ，即第八个单音的频率为1227f .
答案 D
5.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔
七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7
＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2
＝381，解得a 1＝3. 答案 B
6. 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？
解 设该学生工作n 天，每天领工资a n 元，共领工资S n 元，则第一种方案a n (1)＝38，S n (1)＝38n ；
第二种方案a n (2)＝4n ，S n (2)＝4(1＋2＋3＋…＋n )＝2n 2＋2n ；
第三种方案a n (3)＝0.4×2n －1，S n (3)＝0.4（1－2n ）1－2
＝0.4(2n －1). 令S n (1)≥S n (2)，即38n ≥2n 2＋2n ，解得n ≤18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).
令S n (1)≥S n (3)，即38n ≥0.4×(2n －1)，
利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，
所以少于10天时，选择第一种方案.
比较第二、第三种方案，S 10(2)＝220，S 10(3)＝409.2，S 10(3)>S 10(2)，…，S n (3)>S n (2). 所以等于或多于10天时，选择第三种方案.
7.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐
月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N的大小关系是()
A.ω>N
B.ω<N
C.ω＝N
D.不确定
解析投入资金逐月值构成等比数列{b n}，利润逐月值构成等差数列{a n}，等比数列{b n}可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列{a n}可以看成关于n的一次式函数.由于a1＝b1，a12＝b12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a1＋a2＋…＋a12比总投资N＝b1＋b2＋…＋b12大，故选A.
答案 A
8．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯() A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，
公比q＝2，依题意，得S7＝a1(1－27)
1－2
＝381，解得a1＝3.
9．[数学建模]一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n}，且a1＝2，q＝2，∴a n＝2n，∵2n＝64×210＝216，∴n＝16，即病毒共复制了16次．
∴所需时间为16×3＝48(分钟)．
答案：48
10.(1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不
为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )
A ．60里
B ．48里
C ．36里
D ．24里
(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为12
的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝⎛⎭
⎫1－1261－12＝378，
解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12
＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里．
(2)2022年1月1日可取出钱的总数为
a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p )
＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p )
＝a p
[(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p
[(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p
[(1＋p )5－1－p ]。