2024-2025学年高中创新设计物理粤教版选修3-1学案：第一章 第7讲 习题课电场能的性质

[目标定位] 1.会分析带电粒子在电场中的运动特点.2.能求解电场力做的功和电场中的电势、电势能的改变.3.会用等分法确定等势点，从而确定电场强度的方向．
一、电场线、等势线和运动轨迹
例1如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知()
图1
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
解析依据牛顿其次定律可得qE＝ma，又依据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为E R>E Q，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为a R>a Q，故D 项错误；由于带电粒子在运动过程中只
受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；依据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．
答案 A
(1)速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧.
(2)电势能大小的推断方法,①电场力做功：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加.
②利用公式法：由E p A＝qφA知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大.
例2如图2所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在电场力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处．由此可知()
图2
A．O为负电荷
B．在整个过程中q的电势能先变小后变大
C．在整个过程中q的加速度先变大后变小
D．在整个过程中，电场力做功为零
解析由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正电荷，A错；从a到b的过程q受到渐渐变
大的库仑斥力，速度渐渐减小，加速度渐渐增大，电势能渐渐增大；而从b到c的过程q受到渐渐减小的库仑斥力，速度渐渐增大，加速度渐渐减小，电势能渐渐减小，B错，C对；由于a、c两点在同一等势面上，整个过程中，电场力不做功，D对．
答案CD
已知等势面的形态分布，依据电场线和等势面相互垂直绘制电场线，再依据轨迹弯曲方向找电荷的受力方向，结合运动轨迹或路径，推断功的正负；由电场力做功正负确定动能及电势能的改变.
二、对电场强度和电势的理解
例3如图3所示，在等量异种点电荷形成的电场中有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上距A点距离为d的一点，C点为连线中垂线上距A点距离也为d的一点，则下面关于三点电场强度E的大小、电势φ凹凸的比较，正确的是()
图3
A．E A＝E C＞E B，φA＝φC＞φB
B．E B＞E A＞E C，φA＝φC＞φB
C．E A＜E B，E A＜E C，φA＞φB，φA＞φC
D．E A＞E B，E A＞E C，φA＞φB，φA＞φC
解析等量异种点电荷四周的电场线如图所示，依据电场线的疏密分
布知，A点的电场线比C点密，B点的电场线比A点密，则E B＞E A＞
E C；等量异种点电荷的中垂线为等势线，则A点的电势与C点的电势相等，沿着电场线方向电势渐渐降低，则A点的电势大于B点电势．所以φA＝φC＞φB，故B正确，A、C、D错误．答案 B
(1)电场强度与电势没有干脆关系.电场强度为零，电势不确定为零.电势为零，电场强度也不确定为零.电场强度大的地方，电势不确定高.
(2)比较电势的凹凸，应主要把握沿电场线方向电势降低，若两点不在同一电场线上，应通过
等势面，转化为同一电场线上的两点电势的比较.
三、等分法确定等势点
例4如图4所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12V，φB＝6V，φC＝－6V，试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的协助线.
图4
解析要画电场线，先找等势面(线)．
因为U AC＝18V、U AB＝6V，U AC
U AB＝3，将线段AC等分成三份，即使AH
＝HF＝FC，则φH＝6V，φF＝0V，故B、H等电势．连接BH即为等势
线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示．
答案见解析图
(1)在匀强电场中，沿随意一个方向，电势着陆都是匀称的，故在同始终线上相同间距的两点间电势差相等，如图5甲AB＝BC，则U AB＝U BC.
图5
(2)在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等．如图乙AB綊CD，则U AB ＝U CD.
(3)确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后依据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)．
四、电场力做功与电势差、电势能的综合
例5如图6所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止起先沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2gR.求：
图6
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为参考点(零电势点)，试确定A点的电势．
解析(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC 的竖直高度h BC ＝3R 2
依据动能定理有mg ·3R 2＝m v 2C 2－m v 2B 2
解得v C ＝7gR .
(2)小球从A 到C ，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg ·3R ＋W 电＝m v 2C 2
，又依据电场力做功与电势能的关系：W 电＝E p A －E p C ＝－qφA －(－qφC )．
又因为φC ＝0，
可得φA ＝－mgR 2q
. 答案 (1)7gR (2)－mgR 2q
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：W AB ＝E p A －E p B .
(2)利用W ＝Fd 求解，此公式只适用于匀强电场.
(3)利用公式W AB ＝qU AB 求解.
(4)利用动能定理求解.
1．(电场线、等势线和运动轨迹)(多选)如图7所示，虚线a 、b 、c 代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P 、Q 是这条轨迹上的两点，据此可知( )
图7
A ．三个等势面中，Q 点的电势最高
B ．带电质点通过P 点时电势能较大
C ．带电质点通过P 点时动能较大
D ．带电质点通过P 点时加速度较大
答案 BD
解析 由三个等势面可以确定电场线方向，由轨迹QP 可以确定质点的受力方向，由于该质点带正电，所以可以推断P 点电势高．由Q 到P ，静电力做负功，电势能增加，故P 点电势能较大．由于P 处等势面密集，所以带电质点通过P 点时加速度较大．
2．(电场线、等势线和运动轨迹)一个电子只在电场力作用下从a 点运动到b 点的轨迹如图8中虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面，下列说法中正确的是( )
图8
A．假如实线是电场线，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大
B．假如实线是等势面，则a点的电势比b点的电势低
C．假如实线是电场线，则a点的电势比b点的电势高
D．假如实线是等势面，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大
答案 A
解析若题图中实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场线方向水平向左，则a点的电势比b点低，C错误；由于从a点运动到b点电场力做正功，所以电子的电势能减小，所以电子在a点的电势能比在b点的电势能大，所以A正确；若实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受电场力方向向下，则电场线方向向上，则a点的电势比b点高，从a到b电场力对电子做负功，所以电势能增加，则电子在a点的电势能比在b点的电势能小，故B、D错误．
3．(对电场强度和电势的理解)下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是() 答案 D
解析匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.
4．(用等分法画电场线)如图9所示，A、B、C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15V，φB＝3V，φC＝－3V，试确定场强的方向，并画出电场线．
图9
答案见解析
解析依据A、B、C三点电势的特点，在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，
尽管AC不确定是场强方向，但可以确定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，由
U AB ＝Ed 可知，U AM ＝U MN ＝U NC ＝φA －φC 3＝15－(－3)3
V ＝6V ．由此可知，φN ＝3V ，φM ＝9V ，B 、N 两点等电势，BN 的连线即为等势线，那么电场线与BN 垂直．电场强度的方向为电势降低最快的方向．
5．(电场力做功、电势差等的综合应用)如图10所示，A 、B 、C 为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－
8C 的正点电荷从A 点移到B 点，电场力做功为3×10－6J ，将另一电荷量为10－8C 的负点电荷从A 点移到C 点，克服电场力做功3×10－6J ．若AB 边长为23cm ，则电场强度的大小为多大？方向如何？
图10
答案 1×104V/m 为垂直B 、C 连线，由A 指向BC
解析 正点电荷从A 点移到B 点时，电场力做正功，故A 点电势高于B 点，可求得：U AB ＝W AB q
＝3×10－6
10－8
V ＝300V. 负点电荷从A 点移到C 点，克服电场力做功，同理可推断A 点电势高于C 点，可求得：
U AC ＝W AC q ＝－3×10－
6－10－8
V ＝300V . 因此B 、C 两点电势相等，U BC ＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC 为一等势线，故电场线方向垂直BC .设D 为直线BC 的中点，则电场方向为由A 指向D .直线AB 在电场方向的距离d 等于线段AD 的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：
E ＝U AB d ＝30023×10－2×cos30°V /m ＝1×104V/m. 题组一 电场线、等势面与运动轨迹
1．(多选)某静电场中的电场线如图1所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M 运动到N ，以下说法正确的是( )
图1
A ．粒子必定带正电
B ．由于M 点没有电场线，粒子在M 点不受静电力的作用
C ．粒子在M 点的加速度小于它在N 点的加速度
D ．粒子在M 点的动能小于在N 点的动能
答案 ACD
解析依据粒子运动轨迹弯曲的状况，可以确定粒子受静电力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，A选项正确．由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的静电力就越大，依据牛顿其次定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点的加速度大，B选项错误，C选项正确．粒子从M点运动到N点，静电力做正功，依据动能定理得此粒子在N点的动能大，故D选项正确．
2．一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满意φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则()
图2
A．粒子确定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案 B
解析由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，依据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．
3.如图3，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则()
图3
A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM＞φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
答案 B
解析电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有W MN＝W MP＜0，而W MN＝qU MN，W MP＝qU MP，q＜0，所以有U MN＝U MP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，W MQ＝q(φM－φQ)＝0，电子由P点到Q点过程中，W PQ＝q(φP－φQ)＞0，故C、D错误．
4．(多选)图4中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以确定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子()
图4
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能改变大于由b点到c点的动能改变
答案CD
解析依据轨迹弯曲方向推断出，粒子在a→b→c的过程中，始终受静电斥力作用，依据同性电荷相互排斥，故粒子带正电，A错误；点电荷的电场强度的特点是离开场源电荷的距离越大，场强越小，粒子在c点受到的电场力最小，故B错误；依据动能定理，粒子由b到c，电场力做正功，动能增加，故粒子在b点电势能确定大于在c点的电势能，故C正确；a点到b点与b点到c点相比，由于点电荷的电场强度的特点是离开场源电荷距离越大，场强越小，故a到b电场力做功较多，动能改变也较大，故D正确．
题组二对电场强度和电势的理解
5．在静电场中，关于场强和电势的说法正确的是()
A．电场强度大的地方电势确定高
B．电势为零的地方场强也确定为零
C．场强为零的地方电势也确定为零
D．场强大小相同的点电势不确定相同
答案 D
解析沿着电场线的方向电势渐渐降低，电场线密的地方，电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，电势高的地方电场强度不确定大，电场强度大的地方，电势不确定高，故A错误．电势为零是人为选取的，则电势为零的地方场强可以不为零，故B错误．场强为零的地方电势不确定为零，电势为零是人为选取的，故C错误．在匀强电场中，场强到处相等，但沿着电场线的方向电势渐渐降低，所以场强大小相同的点电势不确定相同，故D正确．
6．(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷旁边的电场线分布如图5所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则()
图5
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
答案ACD
解析由题图知，a点处的电场线比b点处的电场线密集，c点处电场线比d点处电场线密集，所以A、C正确；过a点画等势线，与b点所在电场线的交点与b点位置比较知b点的电势高于a点的电势，故B错误；同理分析可得d点电势高于c点电势，故D正确．
7．两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，下列正确描述电势φ随位置x改变规律的图象是()
答案 A
解析等量异种点电荷电场线如图所示，因为沿着电场线方向电势降低，
所以以正电荷为参考点，左、右两侧电势都是降低的；因为逆着电场线
方向电势上升，所以，以负电荷为参考点，左、右两侧电势都是上升的．可
见，在整个电场中，正电荷所在位置电势最高，负电荷所在位置电势最低，符合这种电势改变的状况只有A选项．
题组三等分法确定等势点
8．下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10V，φb＝2V，φc＝6V，a、b、c三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是()
答案 D
解析直线ab的中点的电势为6V，与c点等电势．电场的方向则由电势高处指向电势低处．故D图正确．
9．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为4V，如图6所示．由此可知c点的电势为()
图6
A．4VB．8VC．12VD．24V
答案 B
解析方法一：连接bd，因U bd＝20 V，可将bd等分为5份，找到4个等
分点e 、f 、g 、h ，由图可知φe ＝20 V ，则a 、e 等电势，由对称关系可知h 点与c 点电势相等，即φc ＝8 V.
方法二：因为bc 与ad 平行且相等，由匀强电场特点可得：φb －φc ＝φa －φd ，解得φc ＝8 V . 题组四 电场力做功与电势差、电势能的综合
10．如图7所示，光滑绝缘半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E .在与环心等高处放有一质量为m 、电荷量为＋q 的小球，由静止起先沿轨道运动，下列说法正确的是( )
图7
A ．小球在运动过程中机械能守恒
B ．小球经过环的最低点时速度最大
C ．小球电势能增加qER
D ．小球由静止释放到达最低点，动能的增量等于mgR
答案 B
解析 小球在运动过程中除重力做功外，还有电场力做功，所以机械能不守恒，A 错误；小球运动到环的最低点的过程中，重力与电场力均做正功，重力势能削减mgR ，电势能削减qER ，而动能增加mgR ＋qER ，到达最低点时动能最大，所以速度最大，因此B 正确，C 、D 错误．
11．一长为L 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一质量为m 、带电荷量为q 的小球，处于如图8所示的水平向右的匀强电场中．起先时，将线与小球拉成水平，小球静止在A 点，释放后小球由静止起先向下摇摆，当细线转过60°角时，小球到达B 点速度恰好为零．试求：
图8
(1)A 、B 两点的电势差U AB ；
(2)匀强电场的场强大小．
答案 (1)3mgL 2q (2)3mg q
解析 (1)小球由A 到B 过程中，由动能定理得
mgL sin60°－qU AB ＝0，所以U AB ＝
3mgL 2q
(2)E ＝U AB L －L cos60°＝3mg q。