江西初三初中数学月考试卷带答案解析

江西初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.（2015•曲靖二模）下列事件：
①在足球赛中，弱队战胜强队；
②抛掷一枚硬币，落地正面朝上；
③任取两个负数，其积大于0；
④长分别为3、5、9厘米的三条线段不能围成一个三角形．
其中确定事件的个数是（）个．
A．1B．2C．3D．4
2.（2015•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票
股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）
A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=
3.（2008•大庆）已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣1B．m＜﹣2C．m≥0D．m＜0
4.（2008•陕西）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，
则EF的长度为（）
A．2B．2C．D．2
5.（2005•吉林）图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）
A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm
6.（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）
A．只能是x=﹣1
B．可能是y轴
C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧
D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧
二、填空题
1.（2015秋•信丰县月考）记“太阳从东方升起”为事件A，则P（A）= ．
2.（2015秋•信丰县月考）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为．
3.（2015秋•信丰县月考）△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，
则点C 在圆A ，点B 在圆A ．
4.（2012•长沙模拟）等腰三角形的其中两条边的长是方程x 2﹣6x+8=0的根，则此等腰三角形的周长是 ．
5.（2011•虹口区二模）如图，△ABC 中，∠B=35°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使点B 落在BC
的延长线上的D 点处，则∠BDE 的度数是 度．
6.（2013秋•巴彦淖尔期末）已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（R+r ）x+
=0有两个相等的实数根，其中R 、r
分别是⊙O 1⊙O 2的半径，d 为两圆的圆心距，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 ．
7.（2015秋•信丰县月考）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图，则方程ax 2+bx+c=m 有实
数根的条件是 ．
8.（2015•蓬溪县模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣
b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0，其中正确的是 （填编号）
三、解答题
1.（2015秋•信丰县月考）（1）解方程：x 2+4x ﹣1=0； （2）求抛物线y=﹣x 2+4x+3的顶点坐标．
2.（2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．
3.（2015•南昌）⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，
使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC ；
（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ．
4.（2015秋•信丰县月考）直线y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 都经过点A （1，0），B （3，2）． （1）求m 的值和抛物线的解析式；
（2）求方程x 2+bx+c=x+m 的解．（直接写出答案）
5.（2007•呼伦贝尔）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
6.（2014•苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF=CB ，连接CD ，将线段
CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
7.（2015•丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
8.（2012•庆阳）甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少．（如下表）
甲超市：
球两红一红一白两白
乙超市：
（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．
9.（2015秋•信丰县月考）已知函数的关系式是L
：y=kx2+（k﹣2）x﹣2
1
（1）下列说法中正确的序号有：
①当k=1时，其顶点坐标为（，）；
②当k=2时，二次函数的图象关于y轴对称；
③无论k为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2）；
（2）求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
（3）已知二次函数L
的图象与x轴相交于点A、B，顶点为P，若k＞0，且△ABP为等边三角形，求k的值．
1
10.（2015秋•信丰县月考）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB为直径的⊙O过点D，点M是BC边上一点（点M不与B，C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N．
（1）求AD的长；
（2）当点N在⊙O上时，求证：直线MN是⊙O的切线；
（3）以CN为直径作⊙P，设BM=x，⊙P的直径为y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当BM为何值时，⊙P与⊙O相切．
江西初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.（2015•曲靖二模）下列事件：
①在足球赛中，弱队战胜强队；
②抛掷一枚硬币，落地正面朝上；
③任取两个负数，其积大于0；
④长分别为3、5、9厘米的三条线段不能围成一个三角形．
其中确定事件的个数是（）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】确定事件就是必然事件或不可能事件，依据定义即可判断．
解：①在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，命题错误；
②抛掷一枚硬币，落地正面朝上是随机事件，命题错误；
③任取两个负数，其积大于0是必然事件，是确定事件，命题正确；
④长分别为3、5、9厘米的三条线段不能围成一个三角形．是确定事件，命题正确；
故选B．
【考点】随机事件．
2.（2015•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）
A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=
【答案】B
【解析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1，
即（1+x）2=，
故选B．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
3.（2008•大庆）已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣1B．m＜﹣2C．m≥0D．m＜0
【答案】A
【解析】因为关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，所以△=4+4m＞0，解此不等式即可求出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，
∴△=4+4m＞0，
即m＞﹣1．
故选A．
【考点】根的判别式．
4.（2008•陕西）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，
则EF的长度为（）
A．2B．2C．D．2
【答案】B
【解析】作辅助线，连接OC与OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF∥AB，可知OC⊥EF，最后由勾股定理可将EF的长求出．
解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，
∴∠COE=60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=×2=，
∵EF=2EM，
∴EF=．
故选B．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理．
5.（2005•吉林）图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）
A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm
【答案】D
【解析】游泳池的周长即两段弧的弧长，每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则可知短弧所对的圆心角是120度，所以根据弧长公式就可得．
解：．
故选：D．
【考点】弧长的计算．
6.（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）
A．只能是x=﹣1
B．可能是y轴
C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧
D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧
【答案】D
【解析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x
2满足：﹣2＜x
2
＜2，从而得出﹣2＜＜0，
即可判定抛物线对称轴的位置．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，
∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x
2满足：﹣2＜x
2
＜2，
∴﹣2＜＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．
故选：D．
【考点】二次函数的性质．
二、填空题
1.（2015秋•信丰县月考）记“太阳从东方升起”为事件A，则P（A）= ．
【答案】1
【解析】根据相应事件的类型判断出概率即可．
解：“太阳从东方升起”为必然事件．则P（A）=1．
【考点】概率的意义．
2.（2015秋•信丰县月考）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为．
【答案】15πcm2
【解析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
解：因为圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，
所以圆锥的母线长==5（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积=•2π•3•5=15π（cm2）．
故答案为15πcm2．
【考点】圆锥的计算．
3.（2015秋•信丰县月考）△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，则点C在圆A ，点B在圆A ．
【答案】内部，外部
【解析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：如图：根据勾股定理得：AC=，
以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，
＜3.5，则点C在圆A内部，
点B到圆心A的距离AB=4＞3.5，
所以点B在圆A外部．
故答案为：内部，外部．
【考点】点与圆的位置关系．
4.（2012•长沙模拟）等腰三角形的其中两条边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则此等腰三角形的周长是．
【答案】10
【解析】解方程得到三角形两边的长，再分两种情况进行分析，从而求得其周长．
解：解方程x2﹣6x+8=0得其中两条边的长是2，4．
当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；
当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周长是4+4+2=10．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
5.（2011•虹口区二模）如图，△ABC中，∠B=35°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC
的延长线上的D 点处，则∠BDE 的度数是 度．
【答案】70°
【解析】根据旋转的性质得∠B=∠ADE ，AB=AD ，则∠BDA=∠B ，从而得出∠BDE=2∠B ． 解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处， ∴∠B=∠ADE ，∠B=35°，AB=AD ， ∵点B 落在BC 的延长线上的D 点处， ∴∠BDA=∠B ， ∵∠B=35°， ∴∠B=35°，
∴∠BDA=∠ADE=∠B=35°， ∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=70°， 故答案为：70°．
【考点】旋转的性质．
6.（2013秋•巴彦淖尔期末）已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（R+r ）x+
=0有两个相等的实数根，其中R 、
r 分别是⊙O 1⊙O 2的半径，d 为两圆的圆心距，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 ． 【答案】外切
【解析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则△=0，从而得到R 、r 、d 之间的数量关系，进而判断两圆的位置关系． 解：∵一元二次方程
有两个相等的实数根，
∴（R+r ）2﹣d 2=0，
即（R+r+d ）（R+r ﹣d ）=0， 又R+r+d≠0，
∴R+r ﹣d=0，即R+r=d ， ∴两圆外切． 故答案为外切．
【考点】圆与圆的位置关系；根的判别式．
7.（2015秋•信丰县月考）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图，则方程ax 2+bx+c=m 有实
数根的条件是 ．
【答案】m≥﹣2
【解析】由于抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有交点时，方程ax 2+bx+c=m 有实数根，观察函数图象得到当m≥﹣2时，抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有交点，从而得到方程ax 2+bx+c=m 有实数根的条件． 解：当抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有交点时，方程ax 2+bx+c=m 有实数根， 因为直线y=﹣2与抛物线y=ax 2+bx+c 只有一个公共点， 所以当m≥﹣2时，抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有交点， 即方程ax 2+bx+c=m 有实数根的条件是m≥﹣2． 故答案为m≥﹣2．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
8.（2015•蓬溪县模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣
b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0，其中正确的是 （填编号）
【答案】②③
【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛
物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：根据图象知道
当x=1时，y=a+b+c ＞0，故①错误； 当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故②正确； ∵抛物线开口朝下， ∴a ＜0， ∵对称轴x=﹣
（0＜x ＜1），
∴2a ＜﹣b ，
∴b+2a ＜0，故③正确； ∵对称轴x=﹣
（0＜x ＜1），
∴b ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，
∴abc ＜0，故④错误． 故答案为：②③．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
三、解答题
1.（2015秋•信丰县月考）（1）解方程：x 2+4x ﹣1=0； （2）求抛物线y=﹣x 2+4x+3的顶点坐标．
【答案】（1）x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣；（2）（2，7）．
【解析】（1）首先进行移项，得到x 2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解；
（2）已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：（1）∵x 2+4x ﹣1=0， ∴x 2+4x=1，
∴x 2+4x+4=1+4， ∴（x+2）2=5， ∴x=﹣2±，
∴x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣；
（2）∵y=﹣x 2+4x+3=﹣x 2+4x ﹣4+4+3=﹣（x ﹣2）2+7， ∴抛物线y=﹣x 2+4x+3的顶点坐标是（2，7）．
【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-配方法．
2.（2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率． 【答案】．
【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率． 解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有8种， 则P （选出的两名主持人“恰好为一男一女”）==．
【考点】列表法与树状图法．
3.（2015•南昌）⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，
使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC ；
（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ． 【答案】见解析
【解析】（1）过点C 作直径CD ，由于AC=BC ，=，根据垂径定理的推理得CD 垂直平分AB ，所以CD 将△ABC 分成面积相等的两部分；
（2）连结PO 并延长交BC 于E ，过点A 、E 作弦AD ，由于直线l 与⊙O 相切于点P ，根据切线的性质得OP ⊥l ，而l ∥BC ，则PE ⊥BC ，根据垂径定理得BE=CE ，所以弦AE 将△ABC 分成面积相等的两部分． 解：（1）如图1， 直径CD 为所求； （2）如图2，
弦AD 为所求．
【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．
4.（2015秋•信丰县月考）直线y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 都经过点A （1，0），B （3，2）． （1）求m 的值和抛物线的解析式；
（2）求方程x 2+bx+c=x+m 的解．（直接写出答案）
【答案】（1）m=﹣1，y=x 2﹣3x+2；（2）x 1=1，x 2=3．
【解析】（1）先把A 点坐标代入y=x+m 可求出m 的值，然后把A 点和B 点坐标代入y=x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，再解方程方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式
（2）方程x 2+bx+c=x+m 的解就是直线y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 的交点的横坐标． 解：（1）把A （1，0）代入y=x+m 得1+m=0，解得m=﹣1， 把A （1，0），B （3，2）代入y=x 2+bx+c 得
，解得
，
所以抛物线解析式为y=x 2﹣3x+2；
（2）方程x 2+bx+c=x+m 的解为x 1=1，x 2=3．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
5.（2007•呼伦贝尔）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【答案】0.3元
【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x ）元，由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x 元，则每天售出数量为：（200+）千克．本题的等量关系
为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200． 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元． 根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+
）﹣24=200．
方程可化为：50x 2﹣25x+3=0， 解这个方程，得x 1=0.2，x 2=0.3．
因为为了促销故x=0.2不符合题意，舍去， ∴x=0.3．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 【考点】一元二次方程的应用．
6.（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）90°
【解析】（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．
（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
7.（2015•丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4π﹣8．
【解析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S
扇形AOE =4π，S
△AOE="8"
，
∴S
阴影
=4π﹣8．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
8.（2012•庆阳）甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少．（如下表）
甲超市：
乙超市：
（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．
【答案】（1）一共有6种情况；（2）我选择到甲商场购物．
【解析】（1）让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；
（2）算出相应的平均收益，比较即可．
解：（1）树状图为：
∴一共有6种情况；
（2）方法1：∵去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（甲）=，
去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（乙）=，
∴我选择去甲超市购物；
方法2：∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P==，
∴在甲商场获礼金券的平均收益是：×5+×10+×5=；
在乙商场获礼金券的平均收益是：×10+×5+×10=．
∴我选择到甲商场购物．
说明：树状图表示为如下形式且按此求解第（2）问的，也正确．
【考点】列表法与树状图法．
9.（2015秋•信丰县月考）已知函数的关系式是L 1：y=kx 2+（k ﹣2）x ﹣2
（1）下列说法中正确的序号有 ： ①当k=1时，其顶点坐标为（，）； ②当k=2时，二次函数的图象关于y 轴对称； ③无论k 为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2）；
（2）求证：无论k 为何值时，函数图象与x 轴总有交点；
（3）已知二次函数L 1的图象与x 轴相交于点A 、B ，顶点为P ，若k ＞0，且△ABP 为等边三角形，求k 的值．
【答案】（1）②③；（2）见解析；（3）2﹣2．
【解析】（1）当k=1时，把y=x 2﹣x ﹣2配成顶点式即可对①解析判断；当k=2时，y=2x 2﹣2，抛物线的对称轴为y 轴，则可对②解析判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对③解析判断；
（2）分类讨论：当k=0时，原函数为一次函数y=﹣2x ﹣2，则图象一定与x 轴有一个交点；当k≠0时，利用判别式的意义可判断二次函数图象与x 轴有交点，所以无论k 为何值时，函数图象与x 轴总有交点；
（3）利用抛物线与x 轴的交点问题，解方程kx 2+（k ﹣2）x ﹣2=0可得A （，0），B （﹣1，0），顶点P 的坐标为（
，﹣），当k ＞0时，AB=，如图1，作DE ⊥x 轴于E ，根据等边三角形的性质得DE=AB ，即 =×，解得k 1=﹣2（舍去），k 2=2
﹣2，所以k 的值为2﹣2． （1）解：当k=1时，y=x 2﹣x ﹣2=（x ﹣）2﹣，此时顶点坐标为（，﹣），所以①错误；
当k=2时，y=2x 2﹣2，则抛物线的对称轴为y 轴，所以②正确；
当x=﹣1时，y=kx 2+（k ﹣2）x ﹣2=k ﹣k+2﹣2=0；当x=0时，y=kx 2+（k ﹣2）x ﹣2=﹣2，所以无论k 为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2），所以③正确；
故答案为：②③；
（2）证明：当k=0时，一次函数y=﹣2x ﹣2与x 轴有一个交点（﹣1，0）；
当k≠0时，△=（k ﹣2）2﹣4k•（﹣2）=（k+2）2≥0，此二次函数图象与x 轴有交点，
所以无论k 为何值时，函数图象与x 轴总有交点；
（3）解：当y=0时，kx 2+（k ﹣2）x ﹣2=0，解得x 1=﹣1，x 2=，
设A （，0），B （﹣1，0），顶点P 的坐标为（，﹣），
AB=+1，如图1，作DE ⊥x 轴于E ．
∵△ABP 为等边三角形，
∴DE=AB ，即 =×，
解得k 1=﹣2（舍去），k 2=2﹣2，
∴k 的值为2﹣2．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
10.（2015秋•信丰县月考）如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，∠A=60°，以AB 为直径的⊙O 过点D ，点M 是BC 边上一点（点M 不与B ，C 重合），过点M 作BC 的垂线MN ，交CD 边于点N ．
（1）求AD 的长；
（2）当点N 在⊙O 上时，求证：直线MN 是⊙O 的切线；
（3）以CN 为直径作⊙P ，设BM=x ，⊙P 的直径为y ，
①求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当BM 为何值时，⊙P 与⊙O 相切．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①y=2﹣2x （0＜x ＜1）；②BM 为1时，⊙P 与⊙O 相切．
【解析】（1）连接OD，由题意证出△AOD是等边三角形，得出AD=OA=1即可；
（2）连接ON，由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，证出△DON是等边三角形，得出∠DNO=60°，求出∠CNM=30°，因此∠ONM=90°即可；
（3）①由含30°角的直角三角形的性质得出CN=2CM，即可得出结果；
②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，则∠BCN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BN=BC=，得出
PE=CN=，由相切两圆的圆心距=两圆半径之和，得出OP=OB+PC=2﹣x，因此OE=OB+BN﹣EN=+x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
（1）解：连接OD，如图1所示：
根据题意得：OA=OB=1，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=1，∠AOD=60°；
（2）证明：连接ON，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，
∴∠ODN=∠AOD=60°，
∵OD=ON，
∴△DON是等边三角形，
∴∠DNO=60°，
∵MN⊥BC，
∴∠CNM=90°﹣60°=30°，
∴∠ONM=180°﹣30°﹣60°=90°，
即MN⊥ON，
∴直线MN是⊙O的切线；
（3）解：①∵∠CNM=30°，MN⊥BC，
∴CN=2CM，即y=2（1﹣x），
∴y=2﹣2x，
即y关于x的函数关系式为y=2﹣2x（0＜x＜1）；
②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，如图3所示：
则∠BCN=30°，
∴BN=BC=，PE=CN=，
∵⊙P与⊙O相切，
∴OP=OB+PC=1+1﹣x=2﹣x，OE=OB+BN﹣EN=1+﹣（1﹣x）=+x，
由勾股定理得：OE2+PE2=OP2，
即（+x）2+（）2=（2﹣x）2，
解得：x=1，
即BM为1时，⊙P与⊙O相切．
【考点】圆的综合题．。