【高考速递】误区3.1 三角函数图象变换失误-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品(Word版含解析)

2018届高三数学成功在我 专题三 三角函数与解三角形
误区一：三角函数图象变换失误
一、易错提醒
三角函数的图象变换,是三角函数考查热点之一,也是易错点之一,虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类,但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是,究其原因,是对函数性质及其图象特征认识不够深入,因此在变换中,对变换的数据无法完全把握,从而造成失误. 二、典例精析 (一) 伸缩变换
伸缩变换是容易出现错误的一个类型,是因为这类变换体现在横坐标和纵坐标上的变化似乎不一样,比如：将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝2f (x )的图象,需要将y ＝f (x )图象上每一点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍；而将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝f (2x )的图象,则需要将y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的
1
2
.之所以出现这个差异(一个是扩大,一个是缩小),原因很简单,注意到后一个关于横坐标的变化中,系数2就是x 的系数,而前一个关于纵坐标的变换,系数2并不是y 的系数,如果要将这个系数写到y 身上,则是
1
2
y ＝f (x ),这样以来,变换的“拉伸”和“压缩”与系数的关系就统一起来了. 【例1】【山西省运城市2017届高三上学期期中】把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6
π
个单位,这是对应于这个图象的解析式为（ ） A ．sin(2)3y x π
=- B ．sin(2)6y x π
=-
C ．sin()23
x y π
=-
D ．sin()26
x y π
=-
【分析】本题的第一步变换容易出现失误,题目要求“把所得各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)”,不少考生将x 的系数由1变为
1
2
,导致解题错误
【小试牛刀】【2018届辽宁省5校高三上学期期末考试】已知函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，现将()y f x =的图象向左平移
12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12
倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []
1,0- 【答案】A
(二) 平移变换
相对来说,平移变换似乎问题少一些,因为大家都记住了一个口诀：左加右减,上加下减.却很少有人追问：为什么向y 轴正方向(上方)平移就是加,而向x 轴正方向(右方)平移却是减？其实,理由与伸缩变换的理由很类似,y ＝f (x )变换为y ＝f (x )＋1,确实是纵坐标增大了一个单位,所以向上平移；而将y ＝f (x )变换为y ＝f (x ＋1),对应的x 应该减小1个单位,函数式才能保持等量关系,所以需要向左(负方向)平移1个单位.
【例2】【2017湖北省荆州市高三上学期第一次质检】将函数sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移()0m m >个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为( )
A ．
12π B ．3
π C. 512π D ．712π 【分析】先得到平移后的解析式y sin 223x m π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
,再根据所得函数的图象关于y 轴对称,写出m 的表达式,找出最小值. 【解析】将函数sin 23
()y x π
=+
的图象向右平移()0m m >个单位长度,可得
()sin 23y x m π=-+⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
sin 223x m π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图象,根据所得函数的图象关于y 轴对称,可得
232m k k Z π
ππ-+
=+∈，,即212
k m k Z ππ=-∈，．又0m > ,所以则m 的最小值为512
π
,故选：C ． 【答案】C
【点评】(1)平移变换中,记住“左加右减,上加下减”的口诀是没有错,但这只能确定平移方向,还需要注意平移的幅度,否则也是很容易出现差错的.
(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x ,±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴．
【小试牛刀】【2018届福建高三上学期三校联考】要得到函数()πsin 23f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象,只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象 A. 向左平移
π2个单位长度 B. 向右平移π
2个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π
4
个单位长度
【答案】D
(三) 平移与伸缩综合问题
现在的试题中,三角函数图象变换通常是平移与伸缩变换同时进行,即将y ＝sinx 变换为y ＝
Asin (ωx ＋Φ)的形式,此类问题有两条路线可走：一是先平移,平移量为Φ个单位,然后横
向伸缩变化,伸缩量为1
ω
倍,最后做纵向伸缩变换,伸缩量为A 倍.二是先横向伸缩,伸缩量
为
1
ω
倍,然后横向平移,此时要特别小心,平移量为
ϕ
ω
个单位(这往往也是命题者考查学生的关键点),最后做纵向伸缩变换,伸缩量为A 倍.
【例3】【天津六校2017届高三上学期期中联考】将函数()3sin(4)6f x x π
=+图象上所有点
的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移
6
π
个单位长度,得到函数()y g x =的图象．则()y g x =图象一条对称轴是（ ）
A ．12
x π
=
B ．6
x π
=
C ．3
x π
=
D ．23
x π=
【分析】先确定()3sin(2)6g x x π=-,再由2(),62x k k Z ππ
π-=+∈确定对称轴.
【解析】函数()3sin(4)6
f x x π
=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得
3sin(2)6y x π=+,再向右平移6π个单位长度,得3sin(2())3sin(2)666y x x πππ
=-+=-,对称轴
为2(),(),6232
k x k k Z x k Z ππππ
π-=+∈=+
∈,所以选C. 【答案】C
【点评】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来．
【小试牛刀】【2017河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛】若将函数sin(6)
4
y x π
=+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,再将所得图象沿x 轴向右平移
8
π
个
单位长度,则所得图象的一个对称中心是（ ） A ．(
,0)16π B ．(,0)9π C. (,0)4π D ．(,0)2
π
【答案】D
三、迁移运用
1.【2017福建厦门一中上学期期中】将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2
π
个单位,若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 【答案】B
（Z k ∈）,A,C,D 正确．故选B ．
2.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】为了得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数
sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象（ ）
A ．向左平移8π个单位
B ．向右平移8π个单位
C ．向左平移4
π
个单位 D ．向右平移
4
π
个单位 【答案】A
【解析】因为sin 2sin 248y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
,所以sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后可得sin 2sin 28
8y x x π
π⎛
⎫
=-
+
= ⎪⎝
⎭
的图象,所以为了得到函数sin 2y x =的图象,只需把sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移8π个单位,故选A.
3.【2017山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知函数()()cos 0f x x ωω=>,将
()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值为（ ）
A ．3
B ．6 C. 9 D ．12 【答案】B
【解析】将()y f x =的图象向右平移
3
π个单位长度,得cos ()cos()33y x x ωωωππ
=-=-
,又因为所得的图象与原图象重合,所以23
k ωπ
-
=π,即6k ω=()k Z ∈,所以ω=6
4.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】已知函数()3sin(2)3
f x x π
=-,则下列结论正确的是
（ ）
A ．导函数为'()3cos(2)3
f x x π
=-
B ．函数()f x 的图象关于直线2
x π
=对称
C ．函数()f x 在区间5(,)1212
ππ
-
上是增函数
D ．函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移3
π
个单位长度得到 【答案】C
()f x 的图象关于直线x =
递增函数,故C 正确；D ．函数3sin 2y x =
5.【2017湖北孝感高三上学期第一次联考】将函数()()1sin 22f x x ϕ=+的图象向左平移6
π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于3
x =π
对
称,则ϕ的最小值为（ ）
A ．12π
B ．6π C. 3π
D ．56
π
【答案】B
6．【2018届贵州省贵阳市高三12月月考】将函数2sin 43y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴为（ ）
A. 12
x π
=
B. 3
x π
=
C. 512x π=
D. 23
x π= 【答案】C
【解析】根据题意得到
()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭，对称轴为
5
22,3
2
12
x k x k k z π
π
πππ-
=
+⇒=
+∈ 得到512
x π
=
.故答案为：C. 7．【2018届江西省赣州市高三上学期期末】若将函数()22f x sin x cos x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.
8π B. 4π C. 38π D. 34
π
【答案】C
【解析】函数()22f x sin x cos x =+24x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图
象是函数224y x πϕ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭ 的图象，因为224y x πϕ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
图象关于y 轴
对称，所以24
2
k π
π
ϕπ-=+
，即28k ππϕ=-
-，当1k =-时， ϕ的最小正值是38
π，故选D.
8．【2018届辽宁省凌源市高三上学期期末考试】将函数cos2y x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
12，得到函数()g x 的图象，再将函数()g x 的图象向右平移8
π
个单位，得到函数()f x 的图象，则()f x =（ ） A. cos 8x π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
B. sin 8x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
C. sin2x
D. sin4x 【答案】D
【解析】 把函数cos2y x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
2
，得()cos4g x x =，
将
()cos2g x x
=的图象向右平移
8
π个单位，得到
()cos 4cos 4sin482f x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故选D.
9．【2018届黑龙江省大庆市高三年级第一次教学质量检测】函数()()2sin f x x ωφ=+的图象过点29π⎛⎫
⎪⎝⎭
，，相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是（ ）
A. ()f x 的最小正周期为23π
B. ()f x 的一条对称轴为49
x π
= C. ()f x 的图像向左平移9π个单位所得图像关于y 轴对称 D. ()f x 在,99ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是减函数 【答案】D
【解析】∵函数()f x 的图象相邻两个对称中心的距离是3π，∴23T π=，故23T
π
ω=
=，又∵函数()()2s i n
f
x x ωφ=+的图象过点29π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，，∴2sin 329πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 2,6k k Z π
ϕπ=
+∈，则()2sin 36f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最小正周期为23T π=，故A 正确；
442sin 329
96f πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即()f x 的一条对称轴为49x π=，故B 正确；向左平移
9π个单位得2sin 32cos396y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦为偶函数，即关于y 轴对称，故C 正确；当,99x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时， 3662x πππ-≤+≤，由三角函数的性质可得在该区间内有增有减，故
D 错误，故选D.
10．【2018届江西省抚州市高三上学期教学质量检测】将函数
()()
212sin cos cos 2sin 2f x x x πϕϕ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
的图象向右平移3π个单位后，
所得函数图象关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ） A.
56π B. 3π- C. 2π D. 6
π
【答案】D
11．【2018届河北衡水金卷高三高考模拟一】已知函数
()
2sin cos f x x x x ωωω=0ω>）的相邻两个零点差的绝对值为4π，则函
数()f x 的图象（ ）
A. 可由函数()cos4g x x =的图象向左平移524π
个单位而得 B. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移524π
个单位而得
C. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移724π
个单位而得
D. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移56
π
个单位而得
【答案】B
【解析】
()
2cos f x sin x x x ωωω==12223sin x x sin x πωωω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，
因为
函数()2sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）的相邻两个零点差的绝对值为4π，
所以函数()f x 的最小正周期为
()2,2,442
312T f x sin x sin x π
π
ππωω⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=
=
∴==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，而()cos44428g x x sin x sin x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 512824x x πππ⎛⎫--+=-
⎪⎝⎭，故()f x 的图象可看作是()cos4g x x =的图象向右平移
524
π
个单位而得，故选B. 12．【2018届吉林省实验中学高三上学期第五次月考】若将函数2sin2y x =的图像向左平
移12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. ()26k x k Z ππ=
-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=
-∈ D. ()212
k x k Z ππ=+∈ 【答案】B
【解析】函数2sin2y x =的图像向左平移
12
π
个单位长度得2sin22sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以()()26
2
6
2
k x k k Z x k Z π
π
π
π
π+
=
+∈∴=
+
∈ ，选B. 13．【2018届安徽省淮南市宿城高三第四次考试】把函数22sin cos 66y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=+
-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位就得到了一个奇函数的图像，则ϕ的最小值是（ ） A.
12π B. 6π C. 3π D. 512
π
【答案】D
14.【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】将函数5()sin()6
f x x π
=+图象上各点的横坐标缩短到原来的
12倍（纵坐标不变）,再把得到的图象向右平移3
π
个单位,得到的新图像的函数解析式为()g x =,()g x 的单调递减区间是． 【答案】sin(2)6
x π
+
；2(,)6
3
k k π
π
ππ+
+
,k Z ∈ 【解析】将函数5()sin()6f x x π=+
图象上各点横坐标缩短到原来的1
2
倍,得5sin(2)6y x π=+
,再把得图象向右平移3
π
个单位,得5()sin[2()]sin(2)366g x x x πππ=-+=+；由222262
k x k ππ3π
π+≤+≤π+,即
6
3k x k π
2ππ+
≤≤π+
()k Z ∈,所以()g x 的单调递减区间是2(,)63
k k ππ
ππ++
()k Z ∈． 15.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】如图所示函数
()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,||2
π
ϕ<
）的部分图像,现将函数()y f x =的图象向
右平移
6
π
个单位后,得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为．
【答案】sin(2)6
x π
-
【解析】由题设中提供的图象可得πππ43612114
3,1=-==T A ,即πω
π==2T ,故2=ω；又6361)612sin(πππϕϕπ-=-=⇒=-⨯,所以6
321)612sin(π
ππϕϕπ=-=⇒=+⨯,
故)6
2sin()(π
+
=x x f ,)6
2sin(]6
)6
(2sin[)(π
π
π
-
=+
-
=x x x g .故应填答案
sin(2)6
x π
-.
16.【2017
广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考】函数
()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛
⎫=+>-<< ⎪⎝
⎭，的部分图
象如图3所示,则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移个单位得到．
【答案】
6
π
【解析】由图象可得,354123T ππ⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭,解得T π=,由2T π
πω
==得2ω=. 因为图象过点5 212π⎛⎫
⎪⎝⎭，,所以52sin 2212πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
, 则
5262k ππϕπ+=+,得()=23k k Z πϕπ-+∈,由22ππϕ-<<,得3
π
ϕ=-, ()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数
()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
17.【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知函数
()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）将函数()f x 的图象向右平移
3π个单位长度,,得到函数()g x 的图像,求当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,函数()g x 的值域.
【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦；（2）⎣⎦. 【解析】依题意,()2332cos 2sin cos 2
32f x x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=-+
-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
2
111cos 22cos cos cos 2cos cos 22
2x x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭
1cos 213
cos 22cos 222222223x x x x x x π+⎛
⎫=+
+-=+=+ ⎪⎝
⎭. （1）令
()32222
3
2k x k k Z π
π
πππ+≤+
≤
+∈,解得()71212
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈, 即函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
.
（2）将函数()f x 的图像向右平移
3π个单位长度,得到函数23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象,
,得到()23g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
的图象.
因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以sin 23x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,所以
()g x ∈⎣⎦
即函数()g x 的值域为3,22⎣⎦
. 18.【2018届湖南师大附中高三上学期月考】函数()()(0,)2
f x sin x π
ωϕωϕ=+><的部
分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移
4
π
个单位长度后得到函数()y g x =的图象．
（Ⅰ）求函数()y g x =的解析式；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
1
sin cos sin cos 3
a A C c A A c +=，
D 是AC 的中点，且cos 5
B =
， BD =，求ABC ∆的最短边的边长． 【解析】（1）由图知
24126π
ππω⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，解得2ω=， ∵sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2212
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
， k Z ∈，即23
k π
ϕπ=+
， k Z ∈，
由于2
π
ϕ<
，因此3
π
ϕ=
∴()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ∴sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-
=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， 即函数()y g x =的解析式为()sin 26g x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
． （2）由正弦定理可知：
2sin sin sin a b c R A B C
===， 则2sin a R A =， 2sin b R B =， 2sin c R C =， 1
sin sin cos sinCsinAcosA sin 3
A A C C +=， 则()1sin sin sin 3A A C C +=
，∴1
sinAsinB sin 3
C =，
由cos B =
，可得sin B =
∵BD = ()
12BD BA BC =+ ， ()221
262cos 4
c a ac B =++
∴221042c a ac =++
∵1
sin sin 3
A C =，
∴a =
，∴解得： a = 6c =．
又1c sin =232b A R R ⨯
⨯，∴1sin 3
b A
c =， b =
的最短边的边长为∴ABC。