大学数学实验一 零件的参数设计

零件的参数设计
摘要
零件的参数设计是工业生产中经常遇到的一个问题。

本文通过题中具体例子给出一般零件参数设计的原则与方法。

模型一：蒙特卡罗模型。

在确定各个参数标定值与容差的情况下，利用蒙特卡罗方法，尽可能模拟真实零件的生产状况。

根据各个参数的分布，每个零件随机产生1000个实际值，代入公式算出每一个产品的Y值，根据其与目标值的关系判断损失费用。

模型二：概率模型。

此问题是一个关于概率的非线性规划模型。

首先，将产品参数Y关于零件参数
x的复杂的函数关系式运用泰勒级数展开成线性函数。

一
i
方面，在已知
x概率密度的情况下，易求出Y的概率密度，进而求出次品及废品
i
的概率。

另一方面，本文引入选择矩阵与等级矩阵，统一零件损失费用，而不需讨论108种分配情况。

以工厂损失总费用最小为目标，建立关于积分方程的非线性规划模型。

并用lingo编程得到表1-1的结果：
表1-1
S1：在误差范围内，线性化产品参数关于零件参数的函数（可运用泰勒公式）；
S2：确定产品参数的密度函数；
S3：计算不同等级产品出现的概率；
S4：确定产品的质量损失费用函数（可利用期望求解）；
S5：设计零件成本矩阵，计算总成本函数；
S6：确保总费用最小，求解零件参数的组合（可运用非线性规划求解）。

一、 问题重述
1、背景知识
机械零件作为组成机械和机器的不可拆分的基本单元，在制造业中至关重要。

机械零件是从机械构造学和力学分离出来的。

随着机械工业的发展，新的设计理论和方法、新材料、新工艺的出现，机械零件进入了新的发展阶段。

对零件也有了更加严格的要求。

有限元法、断裂力学、弹性流体动压润滑、优化设计、可靠性设计、计算机辅助设计（CAD ）、实体建模（Pro 、Ug 、Solidworks 等）、系统分析和设计方法学等理论，已逐渐用于机械零件的研究和设计。

更好地实现多种学科的综合，实现宏观与微观相结合，探求新的原理和结构，更多地采用动态设计和精确设计，更有效地利用电子计算机，才能进一步发展设计理论和方法。

2、问题重述
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。

零件参数包括标定值和容差两部分。

进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。

若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。

零件参数的设计，就是要确定其标定值和容差。

这时要考虑两方面因素： 一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；
二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：
7
616
.1242
3
56
.02485
.01235136.0162.2142.174x x x x x x x x x x x Y ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--⨯
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-
y 的目标值（记作y 0）为1.50。

当y 偏离y 0±0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离y 0±0.3时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。

7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）
（标定值为：x 1=0.1,x 2=0.3,x 3=0.1,x 4=0.1,x 5=1.5,x 6=16,x 7=0.75;容差均取最便宜
的等级。

试求该种情况下的总费用。

（2）请综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？
二、基本假设
1.在生产加工过程中产品质量不受零件规格之外的其他因素的影响；
2.假设零件参数只受标定值和容差两部分影响；
3.在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍；
4.生产产品的费用只包括质量损失和产品成本两个部分；
5.各产品零件函数符合正态分布；且参数之间是相互独立的
6.生产一件产品所需要的各种零件数是相等且固定的，为1；
7.同种零件的选取等级是相同的。

三、参数说明
1．i x ：表示零件i 的参数； 2．i μ：参数i x 的标定值（期望）； 3．i σ：参数i x 的均方差（标准差）； 4．y ∆：参数y 与目标值的偏差； 5．0y ：参数y 的目标值； 6．i x ∆：参数i x 的容差； 7．W ：产品质量损失； 8．C ：产品的总成本； 9．Q ：表示总费用；
10．()i x f ：参数i x 的概率密度函数； 11．()y f ：Y 的密度函数； 12．1p ：产品为次品的概率； 13．2p ：产品为废品的概率；
14．m ：表示在N 件零件中次品的个数； 15．n ：表示在N 件零件中废品的个数； 16．B ：等级数值选取矩阵； 17．F ：零件的成本矩阵； 18．μ：参数Y 的期望；
19． ：参数Y的均方差
四、问题分析
首先明确“零件参数”与“产品参数”是两个不同的概念，它们之间存在相应的函数关系式。

“零件参数”的误差通过该函数传递到产品参数，由此影响产品的质量。

产生损失费用。

而产品的总费用主要包含两方面：产品的质量损失和产品成本。

对于产品成本来说，容差决定成本大小，容差越大，成本低；容差越小，成本越高。

而容差的界定对零件残次品有一定的影响，成本低时，对产品规格要求较低，残次品出现的概率就大大曾加，从而产品质量不高，损失费用大；另一方面，成本高时，对产品规格要求较高，残次品出现的概率就相对减少，产品整体质量较高，损失费用减少。

所以产品成本费用和产品质量损失费用是呈相反方向延伸的，要想确保整体费用最小，则两种费用合理搭配至关重要。

对于问题一：当各零件参数的标志值和容差都已知的情况下，零件参数
x的
i
范围就已经确定；若Y已知则产品质量损失就已知。

本题将生产成本确定为最小生产成本，则在A、B、C三种规格确定的情况下，我们就可以确定各种零件参数的容差取值。

此题的主要工作就是对产品质量损失的确定：产品的质量损失是关于产品参数Y的函数，如果我们知道
x的具体值，则Y确定，质量损失确定。

而
i
Y关于i x的函数关系不是单纯的多项式分布。

Array
0.2850.290.2950.30.3050.310.315
产生的正态随机数与理论值的对比
图4-1
为了方便计算，在
x的范围确定和正态分布条件下，利用蒙特卡洛[1]方法随机
i
产生数据（图4-1），以模拟一次加工中各种零件参数可能取值，将这些数值带入公式，求得平均值，则近似看做产品质量损失费用。

随机选取数据越多，则结果越接近真实值。

对于问题二：在问题一的启发下，如果i x 的范围固定，就可以运用随机数计算出损失的具体费用，但是在标志值和容差没有给定的情况下，采取这种方法计算量过大，利用计算机不能短时间内得到具体数据，所以对于问题二需要采用不同的思路解答。

本文采用概率作理论计算。

为了保证生产、加工流水线统一运行，零件的规格有一定的标准，由于机器设备不能精确生产出高精准的零件，必须给零件设置一个误差范围，在这个范围内，零件都可以被利用。

题干中所选取的参数目标值50.10=y ，当y 偏离1.00±y 时，产品为次品，质量损失为1000元；当y 偏离3.00±y 时，产品为废品，损失为9000元。

本文将质量损失费用函数看为分段函数，当1.0≤∆y 时，产品为合格产品，无质量损失；当3.01.0<∆<y 时，产品为次品，每件产品质量损失1000元；当3.0≤∆y 时，产品为废品，每件产品质量损失9000元。

而生产一批零件，不能完全保证零件都为合格品、次品或废品，必定各种规格的零件都存在一定的数量。

而当零件容差确定的情况下，合格品、次品、废品的出现概率就确定。

而要确定合格品、次品、废品的概率，就必须知道Y 的概率密度。

求解Y 的概率密度是关键。

题干中Y 相对于i x 复杂的模型使密度函数的求解过于复杂化，所以应先将Y 函数简化。

本文的目标是将Y 简化为i x 的线性函数，首先联想到了泰勒公式，将),(71x x f 在)75.0,16,5.1,1.0,1.0,3.0,1.0(点处运用泰勒展开，舍去i x 的二次
及以上次方项，只保留一次项和常数项，将函数简化为：c
x k
Y i i i
+=
∑=7
1
，在此
过程中要考虑误差的产生导致结果的偏差，所以对于误差的讨论也有一定的必要。

将),(71x x f y =展开成线性函数后，根据假设5，),(~i i i N x σμ，可知y 也服从正态分布，进而可以求出y 的概率密度，有了y 的概率密度，可以用积分的形式表达出次品、废品的概率。

进而可以算出总的零件成本。

对于产品成本的求解：本文引入0-1变量的选择矩阵，等级矩阵与费用矩阵。

统一产品成本的表达式。

针对有些参数无法取到某个等级，在费用矩阵中，相应等级的费用取某个比较大的数。

在求解过程中，就会避过该等级。

这样总费用W 就是关于各个产品标定值i μ与选择矩阵ij c 的函数。

以总目标最小，建立非线性规划模型。

五、模型建立和求解
问题一模型
蒙特卡罗方法是一种数值计算方法，它以概率统计理论为主要理论基础，以随机抽样为主要手段。

首先建立一个与所求解相关的概率模型，使所求问题的解正好是所建立模型的数学期望或者其他有关特征量；然后通过多次模拟一个统计试验，统计出某事件发生的概率；利用建立的概率模型，求出要估计的参数；再次对模拟结果进行分析总结，验证该系统的某些特征。

当各零件参数的标志值和容差都已知的情况下，零件参数i x 的范围就已经确定；若Y 已知则产品质量损失就已知。

本题将生产成本确定为最小生产成本，则在A 、B 、C 三种规格确定的情况下，我们就可以确定各种零件参数的容差取值。

第一题的主要工作就是对产品质量损失的确定：产品的质量损失是关于产品参数Y 的函数，如果我们知道一个零件中某个参数i x 的具体值，则可以确定Y ，进而确定质量损失。

而Y 关于
i x 的函数关系不是单纯的多项式分布，
为了方便计算，在i x 的范围确定和服从
图5-1 正态分布条件下，利用蒙特卡洛方法
随机产生1000个实际零件数据，可以模拟一次加工中各种零件参数可能取值，
将这些数值带入公式，可求出1000个产品Y 值。

随机选取数据越多，则结果越接近真实值。

图5-1是此法的流程图。

当产生1000个随机数时，得到的结果是：每个产品的损失费用为3145.7元，对于1000个零件来说，则总的损失费用为314.57万元。

问题二模型 定理：[]2
一般，若Y 和X 相互独立，且：
(
)(
).
,,~Y ,
,~X 22
22
11σ
μσμN N
则：
(
)2
2
2121,~σσμμ+++=N Y X Z
证明：
设二维随机变量()Y X ,服从二维正态分布()1,0;1,0N ，且Y X ,相互独立，则他们的密度函数分别为
(),,
212
2
+∞<<∞-=
-
x e
x f x
X π
(),,
212
2
+∞<<∞-=
-
y e
y f y
Y π
设Y X Z +=，则Z 的密度函数为
()()()()()()
.2,
0~,2/,
,
2
21212121212
22
4
4
24
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=+∞<<∞-=
==
==
-=-
-
∞
+∞
---
∞
+∞
-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
---
∞
+∞
---
-
∞
+∞
-⎰
⎰
⎰
⎰
N Z z x u x e
e
du
e
e
dx e
e
dx
e
e
dx x z f x f z f z
z
u
z
z x z x z x
Y X Z 可见其中π
ππ
π
ππ
推广： 若
(
)2
,~σ
i i x N X ，∑+=c x k
Y i i
则
(
)2
,~σ
μN Y
其中
c k
i i
+=∑μμ
∑
=
2
2
2
i i k σσ
因此若题中的Y 是严格关于X 的线性函数，则根据假设5，易知，Y 服从正态分布。

而对于题中非线性函数关系，本文一方面： 采取泰勒公式[]
3将函数简化成c
x k
Y i i i
+=
∑=7
1
形式：
()()()M x x
x f
x x x x x x x f x x x x x x x f i i
i i
+-∂∂+
=∑=07
1
706050403020107654321,,,,,,,,,,,,
其中M 为误差项。

本文将最终的结果预测在()7.0,16,5.1,1.0,1.0,3.0,1.0附近，即保证：
()2
000,1i i i i i i x x x x x x ->>-<-且
则在此预测下，误差M 对Y 函数的影响很小，则可以忽视。

取)7.016
5
.11.01
.03
.01
.0()(7060
50
40
30
20
10
=x x x x x x x
通过MATLAB 程序求解得：
765432115.105.015.103.467.1499.559.2445.3x x x x x x x y ----+-+=
零件的参数函数是相互独立且符合正态分布()2
,~i
i i X σμ，i
X
的密度函数为
()()2
2
221i
i i x i
i e
x f σμσπ--
=。

简化后的Y 函数是关于X 的一次函数，若i x 符合
正态分布，由正态分布的可加性可知Y 函数也是正态分布函数。

另一方面，根据问题一中的已知数据，利用准确的产品参数计算公式，模拟出1000个实际产品参数：
图5-2
图5-2（右）是运用MATLAB 进行总体分布检验，显示数据矩阵x 的正态概率图.如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态.而其它概率分布函数显示出曲线形态.此图近似呈现直线性形态，则Y 的分布近似于正态分布。

图5-2（左）为Y 的频数分布直方图，则可以看出Y 近似符合正态分布。

由以上证明及其统计图可得 Y 的密度函数[4]为：
()()2
2
221σ
μσ
π--
=
y e
y f （其中c k
i i
+=
∑μμ，∑=
2
22
i i
k
σσ
）
则次品率()()⎰
⎰
+
=
8
.16
.14
.12
.11dx x f dx x f p
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμσμσμ6.18.12.14.1；
废品率()()⎰
⎰
+∞
∞
-+
=
8
.12
.12dx x f dx x f p
⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ+=σμσμ8.12.11
在N 个产品零件中： 次品数1Np m =；
废品数2Np n =； 得产品质量损失费：
n m W 90001000+=
产品成本的大小只与容差有关，且题干中已经给定三种固定容差等级
⎪
⎩⎪
⎨⎧=)
C (10
.0)B (05
.0)A (01
.0等容差选为等容差选为等容差选为B 建立等级选取矩阵，保证一种零件只能选取一种等级，则选取矩阵左乘容差选值矩阵可得到零件参数的容差：
)71(3
1
==
∆∑=i b c
x j j
ij
i
题干中有些零件的容差选取等级是不存在的，若不考虑这些数据，则不可能创建合理的成本矩阵。

为了建立标准矩阵且保证最终选取结果尽量避免这些不存在等级的选取，本文将这些特殊等级赋予一个很大的成本10000元，这样在程序运行中就可以避免选择这些等级。

给成本矩阵F [4]赋值：
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=10025
10000100251010000100005050010050
200502010000
5020100002510000F 定义B A *：
若B A 和是同维矩阵，都为n 行m 列，则
∑∑===
n i m
j ij ij
b a
B A 1
1
*
即：B A 和每行元素对应相乘相加
由定义可知，产品的总成本费用：
F
NB C *=（其中是费用矩阵是等级矩阵，是产品总数，F B N ）
而总费用C W Q += 所以目标函数 ：
Q
min
t s . ()6~11
331
=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤≤==∆∑=i vlb X vab c x j ij i i σ
其中：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡=7654321;935.020875.1125
.0125.0375.0125.0;5625.012125.1075
.0075.0225.0075.0x x x x x x x X vlb vab
通过lingo 程序求解的最终结果：
[][]
848.0,089.18,125.1,075.0,075.0,225.0,075.0,,,,,,7654321=x x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡=010********
1010010010C 相应的零件参数容差选取等级为[]BBBCCBB ；
如表5-1所示
表5-1：零件标定值与容差等级
考虑到线性化后结果的误差，本文仍用模型一的方法，利用上述数据，算出总费用为
128
.40=Q 万元
结果显示：比原来的总费用314.57万元相比，节省了274.442万元。

结果准确性分析（误差分析）：
在将Y 函数线性化的过程中，本文将零件参数的最优组合预测在
()75.0,16,5.1,1.0,1.0,3.0,1.0
附近，求得的最终结果为
()848.0,089.18,125.1,075.0,075.0,225.0,075.0，
()2
0i i
x x -在7,5,4,3,2,1=i 时结果都是小于1，且对Y 的影响程度远不如
()0i i
x x -，则其对应零件参数误差可忽视；而在求解的线性函数中，6
x 的系数为
0.05表明6x 对Y 的影响程度较小，所以在单个误差分析中，6x 的误差范围相对于其他参数相比，可以适当放宽。

本文结果和预测比较，余项所造成的误差可以忽视。

由此可见，本文求得的最终结果准确性较强。

六、模型的评价与改进
问题一模型 优点：
（1） 利用随机数的选取确定变量值，使计算更加简便； （2） 按照正态分布选取随机数避免讨论零件层次问题； （3） 随机数的产生符合零件参数生产随机性的现实意义。

缺点：
（1） 利用随机数模拟零件参数误差较大；
（2） 对模拟次数要求较高，需要产生大量数据。

问题二模型 优点：
（1）对于图表的运用是模型更加形象化；
（2）运用泰勒公式将Y 函数简化，使计算更加简便； （3）该模型人为假设少，与实际情况吻合程度较高；
（4）零件参数正态分布的确定不仅具有现实意义而且更能推进整体模型迅速求
解；
（5）对于不存在的容差等级，选取较大成本，不仅利于建立成本矩阵更避免结果对这些层级的选取；
（6）矩阵、积分和求导等知识相结合，使计算结果更具准确性。

缺点：
（1）将Y函数化简的过程中，舍去的部分可能会对最终结果有一定的影响；（2）将产品参数模型线性化，忽视产品参数对不同零件敏感度不同的分析。

七、模型的推广
本文的概率模型可以广泛的应用于实际生活中的各个领域，包括金融，建筑，汽车制造等。

参数设计方法成本小，问题解决性强，带来的经济效益却是相当大的。

环境的复杂性和综合性决定了很多实际问题的解决要考虑多方面因素的影响。

该模型非线性规划的运用正是现实种很多最优化问题的一般解决方法，实用性教强。

本文以简单的程序来解决复杂的工程问题思想，为此及以后解决此类问题的带来了很好案例。

机床换刀具
一、问题的重述
一道工序用自动化车床连续加工某种零件, 由于刀具损坏等原因该工序会出现故障, 其中刀具损坏故障占95% , 其它故障仅占5%. 工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任
一零件时出现故障的机会均相同. 工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障.
现积累有100 次刀具故障记录, 故障出现时该刀具完成的零件数如附表. 现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具.
已知生产工序的费用参数如下:
故障时产出的零件损失费用f = 200 元/件;
进行检查的费用t= 10 元/次;
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d = 3000 元/次(包括刀具费) ;
未发现故障时更换一把新刀具的费用k= 1000 元/次.
1) 假定工序故障时产出的零件均为不合格品, 正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔(生产多少零件检查一次) 和刀具更换策略.
2) 如果该工序正常时产出的零件不全是合格品, 有2% 为不合格品; 而工序故障时产出的零件有40% 为合格品, 60% 为不合格品. 工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为1500 元/次. 对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.
3) 在2）的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益.
附: 100 次刀具故障记录(完成的零件数)
459 362 624 542 509 584 433 748 815 505
612 452 434 982 640 742 565 706 593 680
926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844
527 552 513 781 474 388 824 538 862 659
775 859 755 649 697 515 628 954 771 609
402 960 885 610 292 837 473 677 358 638
699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120
447 654 564 339 280 246 687 539 790 581
621 724 531 512 577 496 468 499 544 645
764 558 378 765 666 763 217 715 310 851
二、基本假设
(1) 假定生产任一零件出现故障机会均等, 且相互独立
(2) 发现故障时无法区分刀具故障和其它故障
(3) 其它故障服从几何分布
(4) 每次只检查1 个零件
(5) 零件检查时间很小, 可忽略不计
(6) 检查间隔是相等的
(7) 假设随机变量X 1、X 2 是相互独立的, X 1、X 2 的含义见符号说明
三、符号说明
n: 每生产n 个零件检查一次
m : 检查第m 次时更换新的刀具
T : 定期更换刀具时已生产的产品的总数即刀具更换周期T = n·m
: 刀具更换周期的数学期望(均值)
F: 故障时产出的零件损失费用F = 200 元/件
J : 进行检查的费用J = 10 元/次
D : 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 D = 3000 元/次(包括刀具费) K : 未发现故障时更换一把新刀具的费用K = 1000 元/次
M : 工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用M = 1500 元/次
(n,m ) : 整个工序在刀具更换周期的总费用的数学期望值
(n,m ) : 整个工序在刀具更换周期的生产单个零件平均费用的数学期望值
X 1: 表示首次产生刀具故障时已加工的零件数
X 2: 表示其它原因引起的首次故障时已加工的零件数
X : 首次故障时已加工的零件数即故障间隔
四、问题分析
自动化车床发生故障时, 要及时实施维修, 如果检查周期太长, 故障不能及时发现, 给生产带来损失; 检查周期太短, 又会增加费用, 因为车床出现故障是随机的, 问题是如何安排设备检查方案, 使得刀具更换时, 每个零件的平均费用最低。

.
对于第 1 种情况若检查零件为合格的, 则工序未出现故障, 此时更换刀具称为预备性替换; 若检查零件为不合格的, 则工序必已出现故障, 此时应立即更换刀具, 此称为事后替换。

第2 种情况较为复杂, 因为仅凭1 次检查零件是否合格, 不能准确判断工序是否正常,这时我们可以分情况讨论, 如果发现零件不合格, 就停机检查工序是否正常, 若正常继续生产, 如果不正常就更换刀具, 如果到周期结束时即第m 次检查后零件仍合格必须换刀具。

为解决此问题我们建立了单目标期望值模型.
五、模型的建立
1.刀具故障完成零件个数的数据统计分析.
我们使用MA TLAB 软件包对100 次刀具故障记录数据处理作直方图, 用分布拟合检
验法可以证明刀具故障数据近似服从正态分布.
假设H 0∶X 1 的概率密度为
-
由极大似然估计法得
将X (0～1200) 分为12 个区间, 若H 0 为真, 则X 1 的概率密度为
按上式查标准正态分布函数表可得概率P
因为
=16.919>4.09
所以接受假设, 在显著性水平A= 0105 下按受总体服从正态分布。

我们已假设其它随机原因对于任一零件出现故障的机会相同, 且相互独立, 所以可假设X 2 服从几何分布, 其分布函数是
=
由题意知, 刀具损坏故障占工序故障95% , 而其它故障占5% , 近似
=
求得p = 0. 000087719
所以总故障间隔X = M IN (X 1, X 2) , X 分布函数
F x (x ) = 1 - (1 - F x 1 (x ) ) (1 - F x 2 (x ) )
=1-{1- g[]}{1-}
=1-{1- g[]}
2. 模型1:
对于第一种情况, 设每生产n 个零件检查1 次, 检查m 次换刀具, 若第m 次检查零件仍合格, 则前面生产的零件全部为合格的, 即工序正常, 这时费用记为C1, 则
C1 = (J *m + K ) ×P {X > n*m }
若第k 次检查零件不合格, 则工序必出现故障, 设故障出现在第(k - 1) n+ i 个(如图).
这时费用记为C2
C2
=
对于刀具更换周期T 来说, 因为它是n,m 的函数, 所以也是随机变量, 求其数学期望值:
= m nF (nm ) -+mn[i-F(mn)]
=
3. 模型2:
对于第二种情况, 我们分为两类(如图) :
情况一: 虽然故障发生在第(kn+ i) 个零件, 但直到第t 次检查时才发现, 并换刀具. 第( k + 1) n 到第tn 个零件中检查到的t - k - 1 个零件均为合格的零
件, 其概率为0.6×
此情况中, 在生产第kn+ i 个零件前工序正常. 不合格零件的平均个数为(kn+ i- 1) ×0.02 个, 因零件不合格损失(kn+ i- 1) ×0.02×F 元. 被查到的k 个零件中平均有k×0.02个不合格, 此种情况下停机检查工序需花费k×0.02×M 元。

生产第kn+ i 个零件到tn 个零件时, 工序处于故障状态, 不合格零件的平均个数是( tn- kn- i+ 1) ×0.6, 零件不合格损失的费用为( tn- kn- i+ 1) ×0.6×F 元, 到第t 次检查完换刀, 检查费用为J ·t。

上述情形对于每一可能的t, 费用为S k, i, t
= {J*t + D + 〔( tn - kn - i + 1) ×0. 6 + (kn + i - 1) ×0. 02〕×F +
0. 02M k} ×
情况二, 直到必须换刀具时, 仍未发现工序故障, 此情况的概率.
此情况下的损失包括: 检查费Jm、换刀具费K、零件损失费〔(m n - kn - i) ×016+(kn+ i+ 1) ×0102〕·F,故障出现前的误判损失费为0.02M k.
∴总平均费用为
= {J *m + D + 〔(m n - kn - i) ×0. 6 + (kn + i + 1) ×0. 02〕*F+0. 02M
k} ×
将情况一和情况二合并得: 情况(1) 下的平均费用为
k = 0, 1, 2, ⋯,m - 1; i = 1, 2, ⋯, n
(2) 在必须换刀具的第m 次检查以前工序一直正常, 其概率为P {X ≥nm + 1}, 单个零件平均费用为
S 2 = (J*m + K + 0. 02F*n*m + 0. 02M*m )*(m*n)
由(1) 和(2) 得总平均费用为
六、计算方法设计和计算机实现
对于模型1, 我们用C 语言编程并采用穷举法进行搜索. 由X 1 呈正态分布可知, 当刀具生产600 个零件附近时出现故障概率最大. 所以刀具更换周期T 即m ·n 的最优解应在600 附近, 我们取200～900 范围. 又因为n 与m 有关系, 既不可能只检查 1 次就更换刀具,也不可能每生产一个零件都检查一次. 所以我们可以判定m 和n 的最优解必落在(10～100) 之间. 现在先以10 为步长计算费用. 可以发现最优解的区间m 在(20～30) , n 在(10～20) 之间, 改变步
长为1, 在上述区间内再进行搜索得最优解为n= 18,m = 20,= 4.62 对于模型2, 刀具更换周期的数学期望近似用n·m 代替, 误差不大, 用同
样方法搜索得最优解为n= 48,m = 6, = 11.16.
七、模型的改进
对于模型2, 我们作改进方案分析工序故障不服从均匀分布, 而我们在模型2 的建立和求解中均采用等间隔检查. 这是模型2 的一个缺点, 因此, 我们依据工序故障服从的分布函数, 用变间隔去逼近理想情况.随着加工的零件的增多, 刀具出现故障的概率会大大增加, 故检查间隔应随之减小.我们将间隔取为等差数列, 利用这种方案在模型2 得到的最优解的基础上进一步搜索,可以得到更好的结果.。