2025届河南南阳华龙区高级中学高三下第一次测试数学试题含解析

2025届河南南阳华龙区高级中学高三下第一次测试数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）
A ．3log 4
B ．3log 41+
C ．
43
D ．3log 41-
2
．已知集合{
(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A
B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．5
()(2)x y x y +-的展开式中3
3
x y 的系数为( ) A ．－30
B ．－40
C ．40
D ．50
4．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )
A
．
2
B ．
32
C
．
2
D ．
12
5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111
lim()n n
a a a →∞++⋅⋅⋅+
=（ ） A ．
1
3
B ．
23
C ．1
D ．
43
6．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<
D ．12
E E ξξ>，12D D ξξ>
7．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1
x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
8．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是
白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( ) A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
9．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．
5
2
B ．3
C ．2
D ．
72
10．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则3z x y =-+的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．32
-
D ．2-
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若
线段1PF 的中点在圆2
2
2
:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．22
C ．21+
D ．221+
12．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为19
30
，且()()
23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ）
A ．4
9
-
B ．
23
C ．
3
2
或49-
D ．32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数
满足
则
的最大值为________.
14．若函数2,0()2,0x f x x x
≥⎧⎪
=⎨<⎪⎩，则使得不等式(())0f f a >成立的a 的取值范围为_________.
15．若正实数，，满足
，则
的最大值是__________．
16．已知0x >，0y >，且
21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知点()12P ，到抛物线C ：y 1=1px ()0p >准线的距离为1．
（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB ，分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．
18．（12分）已知直线1x y +=过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是
21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
， （1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.
19．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+=.
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2
AOB π
∠=，射线,OA OB 交曲线2C 分别于,D C ，求AOB
∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.
20．（12分）如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，
30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD
于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -
（1）求证：;BD AP ⊥
（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的余弦值为
5
5
，求λ的
值；
（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.
21．（12分）设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x
C y a a
+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且
12•PF PF 的最小值为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．
22．（10分） [选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求
12
a b
+的最小值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
依题意知，a 与b 为函数()3x
f x =的“线性对称点”，
所以333a b a b +=+=≥， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3x
f x =的“线性对称点，
所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题. 2、C 【解析】
集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】
由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，
联立y =2y x =，
2x =，整理得2
1
5
x =，
即x =，
当x =时，20y x =<，不满足题意；
故方程组有唯一的解⎝⎭
.
故55A B ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⋂= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
.
【点睛】
本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题. 3、C 【解析】
先写出()5
2x y -的通项公式，再根据3
3
x y 的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式()5
2x y -，
其通项公式为()
()
()555155221r
r
r
r
r r
r r r T C x y C x y ---+=-=-
5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数
是()5
2x y -展开式中23x y 的系数与32
x y 的系数之和.
令3r =，可得2
3
x y 的系数为()3
32
52140C -=-；
令2r =，可得3
2
x y 的系数为()2
2352180C -=；
故5()(2)x y x y +-的展开式中33
x y 的系数为804040-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 4、C 【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】
解：由()112i z i -=-+，得()()()()
1211231
11122i i i z i i i i -++-+=
==-+--+，
∴z z === 故选C ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
5、A 【解析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项1a ，再求出2a ，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。

【详解】
因为无穷等比数列{}n a 的公比为2，则无穷等比数列1{}n a 的公比为12。

由13211112
lim()3
n n a a a →∞
-++⋅⋅⋅+=有，11
2
13
14
a =
-，解得12a =，所以24a =， 2421
11114lim()1314
n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-
，故选A 。

【点睛】
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

6、B 【解析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22
214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=.
()22110323P ξ⨯===⨯，()22122
1323P ξ⨯⨯===⨯，
故223E ξ=，2
221242013399D ξ=⨯+⨯-=,
故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 7、B 【解析】
由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像也关
于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解. 【详解】
由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，
可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，
函数()y f x =的图像与函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称， 则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 8、B 【解析】
由题意2ξ=或4，则221
[(23)(43)]12
D ξ=-+-=，故选B ． 9、D 【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为
平行四边形，结合0
260MF N ∠=，故01260F MF ∠=
对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222
121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠
而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F
F c =，代入上式子中，得到 2
2
2
2
943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =
，即可得出7
c e a ==，故选D ． 【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 10、A 【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案． 【详解】
画出不等式组210
2100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
所表示平面区域，如图所示，
由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时， 此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩
，解得(1,0)A -，
所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 11、C 【解析】
设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】
设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆2
2
2
:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，
所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ===，根据双曲线的定义可知
122PF PF a -=，即2222c c a -=，即
21222
c a ==-. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12、D 【解析】
根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】
依题意，得()()
230a b a b -⋅+=，即2
2
3520a a b b -⋅-=.
将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32
λ=
（4
9λ=-舍去）.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，
时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 14、[
)0,+∞ 【解析】
分0a ≥，0a <两种情况代入讨论即可求解. 【详解】
2,0()2,0x f x x x
≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，
当0a ≥时，()()()220f f a f ==>，0a ∴≥符合；
当0a <时，()()20f
f a f a a
⎛⎫==< ⎪⎝⎭
，0a ∴<不满足(())0f f a >.
故答案为：[)0,+∞ 【点睛】
本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想. 15、 【解析】
分析：将题中的式子进行整理，将
当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的
最值的问题的求解方法，即可求得结果. 详解：
，当
且仅当等号成立，故答案是.
点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果. 16、（-4，2）
【解析】
试题分析：因为21442(2)()4+428y x y x x y x y x y x y x y
+=++
=+≥+⨯=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<<
考点：基本不等式求最值
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (Ⅰ)C 的方程为2
4y x =,焦点F 的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1 【解析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出p ，即可求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点A (x 1,y 1),B (x 1,y 1),由已知得Q (−1,−1)，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k (x +1)−1(k ≠0)，与抛物线联立可得ky 1-4y +4k -8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF |•|NF |的值． 【详解】
(Ⅰ)由已知得122
p
+
=，所以p =1. 所以抛物线C 的方程为2
4y x =,焦点F 的坐标为(1,0)； (II )设点A (x 1,y 1),B (x 1,y 1),由已知得Q (−1,−1)， 由题意直线AB 斜率存在且不为0. 设直线AB 的方程为y =k (x +1)−1(k ≠0).
由()2412
y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，
则124
y y k
+=
,1284y y k =-.
因为点A ,B 在抛物线C 上,所以22
11224,4,y x y x ==
112111224
121
4
PA y y k y x y --=
==
-+-,2222412PB y k x y -==-+. 因为PF ⊥x 轴， 所以()()12224
4
PA
PB
PA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=
⋅
=
=⋅
()12128844
24
2
4
4
y y y y k k
-+++++=
=
=， 所以|MF |⋅|NF |的值为1. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.
18、（1）2212x y +=（2
【解析】
（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242
,33
x x y y +=+=,且由斜率公式可得
21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222112222221,1x y x y a b a b
+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；
（2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为()1212111
222
S CD d CD d CD d d =
⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,
可得()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】
（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
设()()1122,,,A x y B x y ,则121242,33
x x y y +=+=,且
21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得2222
2121220x x y y a b --+=, 则()()()()2121212122
0x x x x y y y y a b
-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以2
2
2,1a b ==,
因此椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）由（1）联立22121
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧
=
⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,易知直线l 的斜率存在,
设直线:l y kx =,代入2212
x y +=,得()
22
212k x +=,
解得x
或,
设()()3344,,,C D x y y x ,
则34x x +
-=
,
则34C x D -==因为()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到直线y kx =
的距离分别是12d d =
=,
由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,
所以(
)12
444
1k k d d +++==, 四边形ACBD 的面积(
)1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,3
4
t >
,则2221243k t t +=-+,
所以
S=
当
12
3
t
=,即
1
2
k=时
,min
S==
因此四边形ACBD
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.
19、（1）
2
21
3
x
y
+=
；40
x+-=（2）AOB面积的最小值为
3
4
；四边形的面积为
29
4
【解析】
（1）将曲线1
C消去参数即可得到
1
C的普通方程，将cos
xρθ
=，sin
yρθ
=代入曲线
2
C的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1
C的极坐标方程，设
1
,
()
Aρθ，
2
(,)
2
B
π
ρθ+，
3
(,)
Dρθ，
4
(,)
2
C
π
ρθ+
利用方程可得22
12
114
3
ρρ
+=，再利用基本不等式得
22
1212
2114
3
ρρρρ
≤+=，即可得
12
13
24
AOB
Sρρ
∆
=≥，根据题意知ABCD COD AOB
S S S
∆∆
=-，进而可得四边形ABCD的面积.
【详解】
（1）由曲线1
C
的参数方程为
sin
x
y
α
α
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
（α为参数）消去参数得
2
21
3
x
y
+=
曲线2
C的极坐标方程为sin()2
6
π
ρθ+=，即sin cos cos sin2
66
ππ
ρθρθ
+=，
所以，曲线2
C
的直角坐标方程40
x+-=.
（2）依题意得1
C的极坐标方程为
22
22
cos
sin1
3
ρθ
ρθ
+=
设1,
()
Aρθ，
2
(,)
2
B
π
ρθ+，
3
(,)
Dρθ，
4
(,)
2
C
π
ρθ+
则
22
22
1
1
cos
sin1
3
ρθ
ρθ
+=，
22
22
2
2
sin
cos1
3
ρθ
ρθ
+=，故22
12
114
3
ρρ
+=
22
1212
2114
3
ρρρρ
∴≤+=，当且仅当
12
ρρ
=（即
4
π
θ=）时取“=”，
故1213
24AOB S ρρ∆=
≥，即AOB ∆面积的最小值为34
. 此时
34112222sin()cos()4646
COD S ρρππππ∆=
=⋅++4
8
cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844
ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20、（1）证明见解析（2）14λ=（3
【解析】
()1根据折叠图形， BD AC ⊥，,PN BD ⊥由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAN ，再根据AP ⊂平面PAN ，
得到BD AP ⊥.
（2）根据,PN EF ⊥EF AC ⊥，以N 为坐标原点，,,NA NE NP 为,,x y z
轴建立空间直角坐标系，根据
2,1,3AB AD BD BC AM CM ======，BE EC λ=
可知，3
1EF PN CN λ
=
==
+，表示相应点的坐标，分别求得平面ABP 与平面DFP 的法向量，代入
(cos ,5124
m n λ=
=
+. ()
3设所求几何体的体积为V ，设()0
3CN x x =<<
为高，则3
FN x =
，表示梯形BEFD 和∆ ABD 的面积由()3111
322⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭=+⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x x V x ()3
129
x x =-+，再利用导数求最值. 【详解】
（1）证明：不妨设EF 与AC 的交点为,N BD 与AC 的交点为M 由题知，,30CD BC DCA BCA ︒
=∠=∠=，则有BD AC ⊥ 又//BD EF ，则有.EF AC ⊥
由折叠可知,,PN EF ⊥所以可证,PN BD ⊥
由,AC PN N AC ⋂=⊂平面,PAN PN ⊂平面PAN ， 则有BD ⊥平面PAN 又因为AP ⊂平面PAN ， 所以BD AP ⊥....
（2）解：依题意，有,PN EF ⊥平面PEF ⊥平ABEFD 面， 又PN ⊂平面PEF ， 则有PN
平面ABEFD ，PN AC ⊥，又由题意知，EF AC ⊥
如图所示：
以N 为坐标原点，,,NA NE NP 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由题意知2,23,1,3AB AD BD BC AM CM ====== 由BE EC λ=可知，
233
,11EF PN CN λλ
=
==
++ 则()3410,0,0,0,0,,,0,011N P A λλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪++⎝⎭⎝⎭
3333,0,0,,,3,011B F D λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 则有413,0,11AP λλλ+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，33,3,11BP λ
λ
λ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭
31FP λ⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭
，3311DP λλ⎛
⎫=- ⎪++⎝⎭ 设平面ABP 与平面DFP 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==
则有(
)(
)()
111114130
·03,3,41·
010
x z AP m
m BP m x y λλλ⎧-++=⎧=⎪⇒⇒=+⎨
⎨=-++=⎪⎩⎩ 则)()
2222230·01,3,1·0130
z FP n n DP n x y z λλ⎧+=⎧=⎪⇒
⇒=-⎨
⎨=-++=⎩⎪⎩ 所以(cos ,5
5124m n
λ=
=
+ 因为
()0,1λ∈
，解得1
4
λ=
()3
设所求几何体的体积为V ，设()03CN x x =<<，
则3
FN x =
， ()
311
1322
x x V x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭∴=+⨯⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()11313
x x ⎡⎤⎛⎫=
+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
2143x ⎫
=
-⎪⎝⎭
)3129x x =
-+ ))()2'42233
V x x x =-
-=--+ ∴当02
x <<时，'0V >
，当23x <<时，'0V <
()V x ∴在()0,2是增函数，在()2,3上是减函数
∴当2x =时，V 有最大值，
即)max 812299
V =
-+⨯=
∴六面体P AEBFD -【点睛】
本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
21、（1）2
212
x y +=；（2）2.
【解析】
（1）利用12•PF PF 的最小值为1，可得22
2
2
2
2122
1•1a PF PF x y c x c a
-=+-=+-，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；
（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值． 【详解】
（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+，()2,F P x c y =-，
22
2
2
2
21221•1a PF PF x y c x c a
-∴=+-=+-，[],x a a ∈-，
由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，
∴椭圆C 的方程为22x y 12
+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程22
22x y +=中， 得(
)
2
22
214220k x kmx m +++-=．
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，(
)(
)
2
2
2
2
16421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．
设1121k m
d F M k -+==+，2221k m
d F M k +==+，
当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，
121=MN d d k
∴⋅-， ()12122211=21
m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+，22244
=111m
m
S k m m m
∴==+++
∴当0k ≠时，1m >，12m m
+>， 2S <∴．
当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．
所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
22、（1） 7(,][1,)3
-∞--+∞（2）322+
【解析】
（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥，分类讨论即可求得不等式的解集；
（2）由题意得，()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，利用基本不等式即可求解其最小值．
【详解】
（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，①
当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73
x ≤-； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<；
当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13
x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为][7,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭
. （2）由题意得，()2f x x a x a =++-≥ ()()23x a x a a +--=，
因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，
所以()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2333b a a b =++≥+=+
当且仅当
2b a a b =，即1a =，2b =-12a b +的最小值为3+【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。