洞口县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

洞口县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
1217212
3x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）
A
B D
2． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
3． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n α
γ=，则//αβ C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥ D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥
4． 设函数f （x ）=
的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥﹣2
B ．a ＞﹣2
C ．a ≥﹣
D ．a ＞﹣
5． 设函数f （x ）=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，
﹣3）∪（1，3）
6． 函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 7． 函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
8． 将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．﹣
D ．
9． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
10．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．0
11．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．±3
12．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种 （ B ） 180 种 （C ） 240 种 （D ） 540 种
二、填空题
13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2
()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为
14．已知f （
x ）=，若不等式f （x ﹣2）≥f （x ）对一切x ∈R 恒成立，则a 的最大值为 ．
15．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .
16．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________.
17．定积分
sintcostdt= ．
18．已知函数f （x ）=cosxsinx ，给出下列四个结论： ①若f （x 1）=﹣f （x 2），则x 1=﹣x 2；
②f （x ）的最小正周期是2π；
③f （x ）在区间[﹣
，
]上是增函数；
④f （x ）的图象关于直线x=对称．
其中正确的结论是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）111]
在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，DB EF //. （1）已知BC AB =，CF AF =，求证：⊥AC 平面BEF ； （2）已知H G 、分别是EC 和FB 的中点，求证： //GH 平面ABC .
20．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点
2
在该椭圆上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两
点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，()a R ∈．
（Ⅰ）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （Ⅱ）当03a ≤≤时，求证：()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-．
23．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问
卷调查，得到了如下的22⨯
（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，判断心肺疾病与性别是否有关？
（参考公式：)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
24．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
洞口县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k π
π
ϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线11
12x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()
12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭．
2． 【答案】A
解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
3．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
4．【答案】C
【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，
当x=时，取得最小值﹣1；
当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，
即有f（x）在（﹣∞，）递减，
则f（x）＞f（）=a﹣，
由题意可得a﹣≥﹣1，
解得a≥﹣．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3
如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
6． 【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 7． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=x 3
的导数为f'（x ）=3x 2
，由f ′（x 0）=0，得x 0=0，但此时函数f （x ）单调递增，无
极值，充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若x=x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0）=0成立，即必要性成立， 故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
8． 【答案】D
【解析】解：将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移
个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos （2x+φ﹣
）的图象，
∴φ﹣
=k π+
，即 φ=k π+
，k ∈Z ，则φ的一个可能值为
，
故选：D ．
9． 【答案】A
【解析】解：∵
，
∴a n =S （n ）﹣s （n ﹣1）=
=
∴a n ﹣a n ﹣1=
=a
∴数列{a n }是以a 为公差的等差数列 故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
10．【答案】
B
【解析】
排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．
【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P ，底面四边形的个顶点为A 、B 、C 、D ．
分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，
（PA 、DC ；PB 、AD ；PC 、AB ；PD 、BC ）或（PA 、BC ；PD 、AB ；PC 、AD ；PB 、DC ）
那么安全存放的不同方法种数为2A 44
=48．
故选B ．
【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖． 11．【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，
可得，（m ＞0）
解得m=3． 故选：B ．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
12．【答案】A
【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 二、填空题
13．【答案】222,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩
【解析】
试题分析：令0x <，则0x ->，所以()()()2
2
22f x x x x x -=---=+，又因为奇函数满足
()()f x f x -=-，所以()()2
20f x x x x =--<，所以()y f x =在R 上的解析式为22
2,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩。

考点：函数的奇偶性。

14．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：∵不等式f （x ﹣2）≥f （x ）对一切x ∈R 恒成立， ∴若x ≤0，则x ﹣2≤﹣2．
则不等式f （x ﹣2）≥f （x ）等价为，﹣2（x ﹣2）≥﹣2x ， 即4≥0，此时不等式恒成立， 若0＜x ≤2，则x ﹣2≤0，
则不等式f （x ﹣2）≥f （x ）等价为，﹣2（x ﹣2）≥ax 2
+x ， 即ax 2
≤4﹣3x ，
则a ≤=﹣，
设h （x ）=
﹣=4（﹣）2
﹣9，
∵0＜x ≤2，∴≥，
则h （x ）≥﹣9，∴此时a ≤﹣9， 若x ＞2，则x ﹣2＞0，
则f （x ﹣2）≥f （x ）等价为，a （x ﹣2）2+（x ﹣2）≥ax 2
+x ，
即2a （1﹣x ）≥2，
∵x ＞2，∴﹣x ＜﹣2，1﹣x ＜﹣1，
则不等式等价，4a ≤=﹣
即2a ≤﹣
则g （x ）=﹣
在x ＞2时，为增函数，
∴g （x ）＞g （2）=﹣1，
即2a ≤﹣1，则a ≤﹣，
故a 的最大值为﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可．
15．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 16．【答案】 【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,n n a a d n S 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而1,a d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
17．【答案】
．
【解析】解： 0sintcostdt=
0sin2td （2t ）=
（﹣cos2t ）|=×（1+1）=．
故答案为：
18．【答案】 ③④ ．
【解析】解：函数f （x ）=cosxsinx=sin2x ，
对于①，当f （x 1）=﹣f （x 2）时，sin2x 1=﹣sin2x 2=sin （﹣2x 2） ∴2x 1=﹣2x 2+2k π，即x 1+x 2=k π，k ∈Z ，故①错误；
对于②，由函数f （x ）=sin2x 知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令﹣
+2π≤2x ≤
+2k π，k ∈Z 得﹣
+k π≤x ≤
+k π，k ∈Z
当k=0时，x ∈[﹣，
]，f （x ）是增函数，故③正确；
对于④，将x=
代入函数f （x ）得，f （
）=﹣为最小值，
故f （x ）的图象关于直线x=对称，④正确．
综上，正确的命题是③④． 故答案为：③④．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据DB EF //,所以平面BEF 就是平面BDEF ,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公共底边，点D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥,DF AC ⊥,即证得⊥AC 平面BEF 的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC 的中点为，连接GI ，HI ，根据中位线证明平面//HGI 平面ABC ,即可证明结论.
试题解析：证明：（1）∵DB EF //，∴EF 与DB 确定平面BDEF .
如图①，连结DF . ∵CF AF =，D 是AC 的中点，∴AC DF ⊥.同理可得AC BD ⊥. 又D DF BD = ，⊂DF BD 、平面BDEF ，∴⊥AC 平面BDEF ，即⊥AC 平面BEF .
考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.
20．【答案】
【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
（2）p=2时，y2=4x，
若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；
若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则
代入利用点差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）
∴k MN=，
∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3），
∴B的横坐标为x=3﹣，
直线MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△＞0可得0＜t2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
22．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+
由题意得20
42
a a -≤⎧⎨≤+⎩，故22a ≤≤，所以2a = …… 5分
（Ⅱ）
03a ≤≤，∴112a -≤-≤，∴12a -≤，
()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()
2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤
()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
∴()()()()f x a f x a f ax af x -++≥-．…… 10分
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.
24．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.。