安徽省黄铺中学高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版

安徽省黄铺中学2015届高三第一次月考理数学卷
满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（每小题5分，共50分） 1.已知集合
()
{,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y += ,(){,B x y =∣,x y 为实数，且
}
y x =，则A B ⋂的元素个数为 ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
2.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“
224x y +≥”的 ( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件 3.下列判断正确的是 （ ）
（A ）若命题P 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q“为真命题 （B ）命题“若0,=0xy x =则”的否命题为“若0,0xy x =≠则”
（C ）“
1sin 2a =
”是“6a π
=
”的充分不必要条件
（D ） 命题“,20x
x R ∀∈>”的否定是“0,20o x x R ∃∈≤”
4.已知
324log 0.3
log 3.4log 3.615,5,,
5a b c ⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭则 （ ）
（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c a b >>
5.若幂函数)(x f 的图象经过点)
21,41(A ，则该函数在A 点处的切线方程为( ）
（A ）0144=++y x （B ）0144=+-y x （C ）02=-y x （D ）02=+y x
6.设函数
⎩⎨
⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ） （A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞）
（D ）[0，+∞）
7.函数
2sin 2x
y x =
-的图象大致是 ( )
8.对于三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的
导数，)(x f ''是函数)(x f '的导数，若方程)(x f ''=0有实数解0x ,则称点()()
00,x f x 为函
数)(x f y =的“拐点”。

某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该
“拐点”也为该函数的对称中心。

若
121
23)(23++-
=x x x x f ，则
)20142013
()20142()20141(
f f f +⋅⋅⋅++=( )
（A ） 1 （B ） 2 （C ）2013 （D ） 2014
9.函数2
2
1,0()(1),0ax ax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则a 的取值范围是（ ）学科
网（A ）(,2]2]-∞U （B ）[2,1)2,)--+∞U
（C ）2] （D ）2,)+∞
10.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，
2
()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13
()()
8f x t t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 （ ）
（A ）(](],10,3-∞-U （B ）
((
,33⎤-∞-⎦U
（C ）[)[)1,03,-+∞U
（D ）))
3,03,⎡⎡-+∞
⎣⎣U
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.已知函数42log ,01(),((4))(log )62,0x x x f x f f f x ->⎧=-+=
⎨≤⎩则_______
12.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则
17
()
4f -
=_______
13.已知函数32
,
2()(1),2x f x x
x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的
取值范围是_______
14.函数2ln 2(0)
()21(0)x x x x f x x x ⎧-+>=⎨
+≤⎩的零点个数是_______
15.2
()(0),()f x ax bx c a f x x =++≠=已知且方程无实数根,下列命题：
①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；
②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数
0x ,使00
[()]f f x x >；
④若0,[()]a b c f f x x x ++=<则不等式对一切实数都成立。

正确命题的序号是
三、解答题（六大题共计75分） 16.（本小题满分12分）
已知函数()f x =,A 集合()(){|330}
B x x m x m =---+≤.
(1)求A 和
()
f x 的值域C ;
(2)若[2,3]A B =I ,求实数m 的值; (3)若
R C B
⊂ð,求实数m 的取值范围.
17.（本小题满分12分）
设
()f x x ax bx 32
=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈． (1)求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；
(2)设()'()x
g x f x e -=，求函数()g x 的极值．
18.(本小题满分13分）
“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)
与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似的表示为：
32
21805040,[120,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨
⎪-+∈⎪⎩ 且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生
物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.
(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19.(本小题满分12分）
设集合A=
{
}{}
(2)(3)0,()0
x x x B x
f x k +-≥==<
(1)求集合A ；
(2)若x A x B ∈∈是的必要不充分条件，试求实数k 的取值范围。

20.(本小题满分13分） 已知
()log 1(0,1)
a f x x x a a =-+>≠且
(1)若a e = ,求()f x 的单调区间；
(2)若()0f x >在区间（1，2)上恒成立，求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分13分）
0,()2x a a f x x a ->=
+已知函数
（1）记()f x 在区间[]0,4(),()g a g a 上的最大值为求的表达式；
（2）是否存在a ，使函数
()()0,4y f x =在区间内的图像上存在两点,在该两点
处的
切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

安徽省黄铺中学2015届高三第一次月考理数卷 参考答案
11.8 12.83
-
13.（0，1）
14.3 15.①②④ 三、解答题（六大题共计75分） 16.解：（1）由()
f x 有意义知：
2
320,3x x x +-≥≤≤得-1 又
()2
232144
x x x +-=--+≤
[1,3],C [0,2]A ∴=-= ………………4分
（2）由已知[1,3],B [m 3,3]A m =-=-+ 又[2,3]A B =I ，得32,m 5m -==即 经检验5[2,8]A B [2,3]m B ==⋂=当时，满足
5m ∴= ………………8分
（3）
{}3,3[02]R C B x x m x m C =>+<-=Q 或，，且R C B
⊂ð
303253m m m m ∴+<->∴><-或或。

………………12分
17．（本题12分）
解：（I ）因32()1,f x x ax bx =+++故
2
()32.f x x ax b '=++ 令1,(1)32,x f a b '==++得
由已知(1)2,322, 3.f a a b a b '=++==-因此解得 又令2,(2)124,x f a b '==++得由已知(2),f b '=-
因此124,a b b ++=-解得
3
.
2a =- 因此
3235
()31,(1)22f x x x x f =-
-+=-从而
又因为3
(1)2()3,
2f '=⨯-=-故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为 5
()3(1),6210.
2y x x y --=--+-=即 ………………6分
（II ）由（I ）知2()(333)x
g x x x e -=--， 从而有
2()(39).x
g x x x e -'=-+ 令
212()0,390,0, 3.
g x x x x x '=-+===得解得
当(,0),()0,()(,0)x g x g x '∈-∞<-∞时故在上为减函数； 当(0,3),()0,()x g x g x '∈>时故在（0，3）上为增函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0,()(3,)g x g x '<+∞故在上为减函数；
从而函数
1()0
g x x =在处取得极小值(0)3,g =-
23
x =在处取得极大值
3
(3)15.g e -= ……………….12分 18．（本题13分） 解： (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则 S ＝200x －(12x2－200x ＋80 000)＝－12x2＋400x －80 000＝－1
2
(x －400)2，
所以当x ∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利.
当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，
所以政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损. …………………………6分 (2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：
2
1x 80x 5 040,x 120,144)y 3.
180 000x x 200,x 144,500)2x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［［
①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝1
3(x －120)2＋240，
∴当x ＝120时，y
x 取得最小值240；…………………………………8分
②当x ∈[144,500)时，y x ＝12x ＋80 000
x
－200≥2
12x ·80 000
x
－200＝200. 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，y
x
取得最小值200.
∵200<240，
∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………………13分 19（本题12分）解：（1）.A=[-2,3]………………..4分
（2）记
2
()43,()0g x kx x k g x R =+++≥由在上有解,而0k < 故164(3)0,40k k k ∆=-+≥-≤<得，① 当14=2k B ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭时,,满足条件。

设()g x =0的两个根
121212,(),(,),
x x x x B x x <=则
由x A x B ∈∈是的必要不充分条件得：
(2)0550
,(3)010150g k g k -≤-≤⎧⎧⎨
⎨≤+≤⎩⎩即②
由①②得
3
42k -≤≤-。

...........12分
20. （本题13分）解：（1）a e =时，
()()()1ln 1,0,,1f x x x x f x x '=-+∈+∞=
-
()()()()()0,01,0,11+f x x f x f x '><<∞令知故的单调增区间为;同理的单调减区间为，，
………6分
（2）
()ln log 11ln a x
f x x x x a =-+=
-+Q
()()()ln 01,211,2ln x
f x x a ∴>⇔
>-在上恒成立在上恒成立
而x ∈
（1,2）时, ln 0,10x x >-> 011a a ∴<<∴>不合题意
()()ln ln 11,2ln 1,2ln 1x x
x a a x ∴
>-⇔<-在上恒成立在上恒成立
()11121
ln 100x x x x x ∴'∈-+∴<∈<（1,2）即（恒成立，F ,1）时，恒成立
()()()()1,22ln 2F x F x F ∴>=在上单调递减,即
ln ln 2a ∴≤ 2a ∴≤
综上得
]
(1,2a ∈ ……….13分
21. （本题13分）
解：（1）当
0();2a x
x a f x x a
-≤≤=
+时，().2x a x a f x x a ->=
+当时， ()()
()()()
()2
2
30,()0,()0,23+()0,()0,2a
x a f x f x a x a a
x a f x f x a x a -'∈=<+'∈∞=
>+因此，当时，在上单调递减；
当，时，在上单调递增.
①
()1
4()04()(0).
2a f x g a f ≥==当时,则在，上单调递减， ②
()()4()0,,4a f x a a <当0<时,则在上单调递减，在上单调递增，
又
1414(0)(4),01()(4)242242a a a
f f a
g a f a a a ----=
-=<≤==+++故当时，
当114()(0)2a g a f <<==时， 综上所述，4,0142()1, 1.2a
a a
g a a -⎧<≤⎪⎪+=⎨
⎪>⎪⎩………………7分
（2）由（1）知，
()4()04a f x ≥当时,则在，上单调递减，故不满足要求；
()()4()0,,4a f x a a <当0<时,则在上单调递减，在上单调递增，
若存在
()()1212,0,4,
x x x x ∈<
()()()()()
22
1111ln 1ln ln ,111x x x x x x x x x x x ---+'===---令F 则F ()10,()ln 1(1)0
x f x x x f >=-+<=由知：当
使曲线
()()()()1122(),,,y f x x f x x f x =在两点处的切线互相垂直，
则
()()12120,,,4,()()1
x a x a f x f x ''∈∈=-且，
()()
2
2
12331
22a
a
x a x a -⋅=-++即
1232=
2a
x a x a ++亦即…………………..(*)
由
()()
120,,,4x a x a ∈∈，得
()123322,3,
,1242a a x a a a x a a ⎛⎫+∈∈ ⎪++⎝⎭
故(*)式成立等价于集合A=
()2,3a a 与集合B=3,142a a ⎛⎫
⎪+⎝⎭的交集非空。

31
3,021,0.422a a a a A B a <∴<<<<⋂≠∅+Q
当且仅当即时，
综上所述，存在a ，使函数
()()0,4y f x =在区间内的图像上存在两点,在该两点
处的
切线互相垂直，且a 的取值范围是10.
2⎛⎫
⎪⎝⎭，.…………………13分。