2023届江苏省启东中学数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析
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A. B.
C. D.
6．设函数 ，则 的奇偶性
A.与 有关，且与 有关B.与 有关，但与 无关
C.与 无关，且与 无关D.与 无关，但与 有关
7．已知过点 和 的直线与斜率为一2的直线平行，则m的值是
A.-8B.0
C.2D.10
8．已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（）
A.3B.2
C.1D.1或2
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
【详解】由题意可得，令 ，即 ，解得：t=4.
故选：C
3、B
【解析】利用对数函数以及指数函数的性质判断即
∵ ，∴ ，则
故选: .
4、B
【解析】根据独立重复试验的概率计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，该抽样是有放回的抽样，所以每次抽到正品的概率是 ，抽到次品的概率是 ，所以取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 .
12、A
【解析】解方程 即得解.
【详解】由题得 .
故选：A
【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值
【详解】：函数 的周期是 ；
函数 的最小正周期是： ；
因为周期相同，所以 ，解得
故选A
8、C
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论
【详解】 幂函数 为偶函数，
，且 为偶数，
则实数 ，
故选：C
9、D
【解析】由题意得
选D.
【点睛】函数 的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由 求增区间;
由 求减区间
10、C
【解析】先根据函数值相等求出 ，可得 ，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为 ，所以底边长为 ，令底边的一个端点为 ，则另一个端点为 ，由此可知 ，可得 ，据此即可求出结果.
（2）可得 ，即可求出最值.
【小问1详解】
的定义域是 ， ，
因为 的定义域是 ，所以 ，解得
于是 定义域为 .
【小问2详解】
设 .
因为 ，即 ，所以当 时，即 时，
取得最小值，值为 ；
当 时，即 时， 取得最大值，值为 .
20、（1） .
（2）
【解析】（1）利用二倍角公式和诱导公式直接求解；
（2）判断出 ，根据 ，求出 的值.
20．已知 ， ，求下列各式的值：
（1）
（2）
21．已知 的图象上相邻两对称轴的距离为 .
（1）若 ，求 的递增区间；
（2）若 时，若 最大值与最小值之和为5，求 的值.
22．已知函数 ，不等式 的解集为
（1）求不等式 的解集；
（2）当 在 上单调递增，求m的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
根据点的分布特征， ， ， 这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，
所以选取函数模型 进行描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系.
将表格所提供的三组数据分别代入 ，
得
解得
所以，描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为 .
（2）由（1）知 ，
所以当 时， 的最小值为10，
故选：B.
5、B
【解析】利用函数的奇偶性及对数函数的图象的性质可得.
【详解】由函数 ，可知函数为偶函数，函数图象关于 轴对称，可排除选项AC，
又 的图象过点 ，可排除选项D.
故选：B.
6、D
【解析】因为当 时，函数 ，为偶函数；当 时，函数 ，为奇函数
所以 的奇偶性与 无关，但与 有关．选D
7、A
【解析】由题意可知kAB＝ ＝－2，所以m＝－8.
17、（1） ；（2）该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/ ）.
【解析】（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型 符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数 .
（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.
【详解】解：（1）以上市时间 （单位：10天）为横坐标，以种植成本 （单位/ ）为纵坐标，画出散点图（如图）.
22、（1） ；
（2） ﹒
【解析】（1）根据二次不等式的解法求出b和c即可；
（2）g(x)为开口向下的二次函数，要在[1，2]上递增，则对称轴为x＝2或在x＝2的右侧.
【小问1详解】
∵ 的解集为 ，∴1和2为方程 的根，
∴ ，则可得 ；
∴ ，
∴ ，即解集为： ；
【小问2详解】
∵ 在 上单调递增，
∴ ，故 ，m的取值范围为： ﹒
所以 的值域为 ，所以选项 是正确的；
又 ， ，所以 在定义域 上不是单调函数，故选项 是错误的；
因为当 时， ，所以 ，当 时， ，所以 ，
所以 在定义域内恒成立，所以 为奇函数，故选项 是正确的；
因为 恒成立，所以函数 为偶函数，故选项 是正确的.
故选：D
【点睛】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.
即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/ ）.
【点睛】判断模型的步骤：（1）作出散点图；
（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；
二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.
18、（1） ；（2）单调递减；（3）
【解析】（1）函数为奇函数，则 ，再用待定系数法即可求出；（2）作差法：任意的两个实数 ，证明出 ；（3）要使 则
试题解析：（1）
所以
（2） 由（1）问可得 在区间 上是单调递减的
证明：设任意的两个实数
又
, ，
在区间 上是单调递减的;
（3）由（2）知 在区间 上的最小值是
要使
则
考点：1、待定系数法；2、函数的单调性；3、不等式恒成立问题.
19、（1）
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）根据 的定义域列出不等式即可求出；
A.1B.4
C.1或3D.1或4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若函数 与函数 的最小正周期相同，则实数 ______
14．已知函数 ，则 ________.
15．已知扇形弧长为20cm，圆心角为 ，则该扇形的面积为___________ .
16．已知正三棱柱的所有顶点都在球 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为 ，则球 的表面积为________
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
18．
（1）求函数 的解析式；
（2）试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当 时，函数 恒成立，求实数m的取值范围
19．已知函数 的定义域是 ，设 ，
（1）求 的定义域；
（2）求函数 的最大值和最小值.
9．函数 的单调递减区间为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10．已知函数 ， ， 的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则 的最小值为（）
A. B.
C. D.
11．设函数 ,则下列结论错误的是
A.函数 的值域为 B.函数 是奇函数
C. 是偶函数D. 在定义域上是单调函数
12．过点 ， 直线的斜率等于1，则m的值为（）
解析：已知
由 ，则T＝π＝ ，∴w＝2
∴
（1）令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ则－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ
故f(x)的增区间是[kπ－ ,kπ＋ ],k∈Z
（2）当x∈[0, ]时， ≤2x＋ ≤
∴sin(2x＋ )∈[－ , 1]
∴ ∴
点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间 最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．如图， ，下列等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知某种树木的高度 （单位：米）与生长年限t（单位：年， ）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型： ，其中 为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（）
1、B
【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的 进行化简，化简为 然后化简并代入 即可得出答案
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，故选B
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题
2、C
【解析】根据题意，列方程，即可求解.
故答案为
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力
14、7
【解析】根据题意直接求解即可
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：7
15、
【解析】求出扇形的半径后，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】由已知得弧长 ， ，
所以该扇形 半径 ，
所以该扇形的面积 .
故答案为：
16、
【解析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式 求解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本 （单位：元/ ）与上市时间 （单位：10天） 数据如下表：
时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
（1）根据上表数据，从下列函数： ， ， ， 中（其中 ），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系；
【详解】令 和 相等可得 ，即 ；
此时 ，即等腰直角三角形的斜边上的高为 ，所以底边长为 ，
令底边的一个端点为 ，则另一个端点为 ，
所以 ，即 ，
当 时， 的最小值，最小值为
故选：C
11、D
【解析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.
【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，
A.2年B.3年
C.4年D.5年
3．已知 ， ， 则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
4．从含有两件正品 和一件次品 的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5．在同一直角坐标系中，函数 和 （ 且 ）的图像可能是（）
【详解】如图：设 和 分别是上下底面等边三角形的中心，
由题意可知 连线的中点 就是三棱柱外接球的球心，连接 ，
是等边三角形，且 ， ，
，
球 的表面积 .
故答案为：
【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
【小问1详解】
因为 ，
所以 .
【小问2详解】
.
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以
21、 (1)增区间是[kπ－ ,kπ＋ ],k∈Z(2)
【解析】 首先根据已知条件，求出周期 ，进而求出 的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间 ， ，即可求出 的递增区间
由确定出的函数解析式，根据 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到 的值
C. D.
6．设函数 ，则 的奇偶性
A.与 有关，且与 有关B.与 有关，但与 无关
C.与 无关，且与 无关D.与 无关，但与 有关
7．已知过点 和 的直线与斜率为一2的直线平行，则m的值是
A.-8B.0
C.2D.10
8．已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（）
A.3B.2
C.1D.1或2
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
【详解】由题意可得，令 ，即 ，解得：t=4.
故选：C
3、B
【解析】利用对数函数以及指数函数的性质判断即
∵ ，∴ ，则
故选: .
4、B
【解析】根据独立重复试验的概率计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，该抽样是有放回的抽样，所以每次抽到正品的概率是 ，抽到次品的概率是 ，所以取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 .
12、A
【解析】解方程 即得解.
【详解】由题得 .
故选：A
【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值
【详解】：函数 的周期是 ；
函数 的最小正周期是： ；
因为周期相同，所以 ，解得
故选A
8、C
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论
【详解】 幂函数 为偶函数，
，且 为偶数，
则实数 ，
故选：C
9、D
【解析】由题意得
选D.
【点睛】函数 的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由 求增区间;
由 求减区间
10、C
【解析】先根据函数值相等求出 ，可得 ，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为 ，所以底边长为 ，令底边的一个端点为 ，则另一个端点为 ，由此可知 ，可得 ，据此即可求出结果.
（2）可得 ，即可求出最值.
【小问1详解】
的定义域是 ， ，
因为 的定义域是 ，所以 ，解得
于是 定义域为 .
【小问2详解】
设 .
因为 ，即 ，所以当 时，即 时，
取得最小值，值为 ；
当 时，即 时， 取得最大值，值为 .
20、（1） .
（2）
【解析】（1）利用二倍角公式和诱导公式直接求解；
（2）判断出 ，根据 ，求出 的值.
20．已知 ， ，求下列各式的值：
（1）
（2）
21．已知 的图象上相邻两对称轴的距离为 .
（1）若 ，求 的递增区间；
（2）若 时，若 最大值与最小值之和为5，求 的值.
22．已知函数 ，不等式 的解集为
（1）求不等式 的解集；
（2）当 在 上单调递增，求m的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
根据点的分布特征， ， ， 这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，
所以选取函数模型 进行描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系.
将表格所提供的三组数据分别代入 ，
得
解得
所以，描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为 .
（2）由（1）知 ，
所以当 时， 的最小值为10，
故选：B.
5、B
【解析】利用函数的奇偶性及对数函数的图象的性质可得.
【详解】由函数 ，可知函数为偶函数，函数图象关于 轴对称，可排除选项AC，
又 的图象过点 ，可排除选项D.
故选：B.
6、D
【解析】因为当 时，函数 ，为偶函数；当 时，函数 ，为奇函数
所以 的奇偶性与 无关，但与 有关．选D
7、A
【解析】由题意可知kAB＝ ＝－2，所以m＝－8.
17、（1） ；（2）该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/ ）.
【解析】（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型 符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数 .
（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.
【详解】解：（1）以上市时间 （单位：10天）为横坐标，以种植成本 （单位/ ）为纵坐标，画出散点图（如图）.
22、（1） ；
（2） ﹒
【解析】（1）根据二次不等式的解法求出b和c即可；
（2）g(x)为开口向下的二次函数，要在[1，2]上递增，则对称轴为x＝2或在x＝2的右侧.
【小问1详解】
∵ 的解集为 ，∴1和2为方程 的根，
∴ ，则可得 ；
∴ ，
∴ ，即解集为： ；
【小问2详解】
∵ 在 上单调递增，
∴ ，故 ，m的取值范围为： ﹒
所以 的值域为 ，所以选项 是正确的；
又 ， ，所以 在定义域 上不是单调函数，故选项 是错误的；
因为当 时， ，所以 ，当 时， ，所以 ，
所以 在定义域内恒成立，所以 为奇函数，故选项 是正确的；
因为 恒成立，所以函数 为偶函数，故选项 是正确的.
故选：D
【点睛】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.
即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/ ）.
【点睛】判断模型的步骤：（1）作出散点图；
（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；
二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.
18、（1） ；（2）单调递减；（3）
【解析】（1）函数为奇函数，则 ，再用待定系数法即可求出；（2）作差法：任意的两个实数 ，证明出 ；（3）要使 则
试题解析：（1）
所以
（2） 由（1）问可得 在区间 上是单调递减的
证明：设任意的两个实数
又
, ，
在区间 上是单调递减的;
（3）由（2）知 在区间 上的最小值是
要使
则
考点：1、待定系数法；2、函数的单调性；3、不等式恒成立问题.
19、（1）
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）根据 的定义域列出不等式即可求出；
A.1B.4
C.1或3D.1或4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若函数 与函数 的最小正周期相同，则实数 ______
14．已知函数 ，则 ________.
15．已知扇形弧长为20cm，圆心角为 ，则该扇形的面积为___________ .
16．已知正三棱柱的所有顶点都在球 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为 ，则球 的表面积为________
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
18．
（1）求函数 的解析式；
（2）试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当 时，函数 恒成立，求实数m的取值范围
19．已知函数 的定义域是 ，设 ，
（1）求 的定义域；
（2）求函数 的最大值和最小值.
9．函数 的单调递减区间为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10．已知函数 ， ， 的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则 的最小值为（）
A. B.
C. D.
11．设函数 ,则下列结论错误的是
A.函数 的值域为 B.函数 是奇函数
C. 是偶函数D. 在定义域上是单调函数
12．过点 ， 直线的斜率等于1，则m的值为（）
解析：已知
由 ，则T＝π＝ ，∴w＝2
∴
（1）令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ则－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ
故f(x)的增区间是[kπ－ ,kπ＋ ],k∈Z
（2）当x∈[0, ]时， ≤2x＋ ≤
∴sin(2x＋ )∈[－ , 1]
∴ ∴
点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间 最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．如图， ，下列等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知某种树木的高度 （单位：米）与生长年限t（单位：年， ）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型： ，其中 为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（）
1、B
【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的 进行化简，化简为 然后化简并代入 即可得出答案
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，故选B
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题
2、C
【解析】根据题意，列方程，即可求解.
故答案为
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力
14、7
【解析】根据题意直接求解即可
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：7
15、
【解析】求出扇形的半径后，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】由已知得弧长 ， ，
所以该扇形 半径 ，
所以该扇形的面积 .
故答案为：
16、
【解析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式 求解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本 （单位：元/ ）与上市时间 （单位：10天） 数据如下表：
时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
（1）根据上表数据，从下列函数： ， ， ， 中（其中 ），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系；
【详解】令 和 相等可得 ，即 ；
此时 ，即等腰直角三角形的斜边上的高为 ，所以底边长为 ，
令底边的一个端点为 ，则另一个端点为 ，
所以 ，即 ，
当 时， 的最小值，最小值为
故选：C
11、D
【解析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.
【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，
A.2年B.3年
C.4年D.5年
3．已知 ， ， 则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
4．从含有两件正品 和一件次品 的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5．在同一直角坐标系中，函数 和 （ 且 ）的图像可能是（）
【详解】如图：设 和 分别是上下底面等边三角形的中心，
由题意可知 连线的中点 就是三棱柱外接球的球心，连接 ，
是等边三角形，且 ， ，
，
球 的表面积 .
故答案为：
【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
【小问1详解】
因为 ，
所以 .
【小问2详解】
.
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以
21、 (1)增区间是[kπ－ ,kπ＋ ],k∈Z(2)
【解析】 首先根据已知条件，求出周期 ，进而求出 的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间 ， ，即可求出 的递增区间
由确定出的函数解析式，根据 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到 的值