云梦县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

云梦县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
2． 设集合
,,则( )
A
B C D
3． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ）A ．1
2
-
B ．-2
C ．2
D ．
12
4． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+
，则x 、y 的值分别
为（
）
A ．x=1，y=1
B ．x=1，y=
C ．x=，
y=D ．x=，y=1
5． 已知，满足不等式则目标函数的最大值为（ ）
y 430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
2z x y =+A ．3
B ．
C ．12
D ．15
13
2
6．
已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈
R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
7． 已知等差数列的前项和为，且，在区间内任取一个实数作为数列{}n a n S 120a =-()3,5{}n a 的公差，则的最小值仅为的概率为（ ）
n S 6S A ．
B ．
C ．
D ．
1
5
1
63
14
13
8． 在三棱柱中，已知平面
,此三棱
111ABC A B C -1AA ⊥1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=
，，
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）
A ．
B ．
C.
D ．
323
π
16π253
π
312
π9． 如图，程序框图的运算结果为（
）
A ．6
B ．24
C ．20
D ．120
10．若动点分别在直线： 和：上移动，则中点所),(),(2211y x B y x A 、011=-+y x 2l 01=-+y x AB M 在直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
06=--y x 06=++y x 06=+-y x 06=-+y x 11．已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ）
A ．8
B ．5
C ．9
D ．27
12．设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若
的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．
14．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是
度．
15．已知点E 、F 分别在正方体
的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
16．已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=
，b a a b =，则a b += ▲ ．17．在正方形中，,分别是边上的动点，当时，则ABCD 2==AD AB N M ,CD BC ,4AM AN
⋅=MN
的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想
和基本运算能力．
三、解答题
18．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ．（Ⅰ）求证：AE=EB ；
（Ⅱ）若EF •FC=，求正方形ABCD 的面积．
19．（本小题满分12分）已知向量，，(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a (cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b 设函数的图象关于点对称，且．
()()2
n f x x R =×+Îa b (,1)12
p
(1,2)w Î（I ）若，求函数的最小值；
1m =)(x f （II ）若对一切实数恒成立，求的单调递增区间．
()(4
f x f p
£)(x f y =【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线2
2:14
x C y +=,A B P ,A B ,AP BP 与直线分别交于点，
:2l y =-,M N （1）设直线的斜率分别为，求证：为定值；,AP BP 12,k k 12k k ⋅（2）求线段的长的最小值；
MN （3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
P MN
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
21．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2
()ln f x x a x =-,()g x x =-.
（1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2
()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围；
（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
22．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α　
23．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．
（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围；（2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．　
24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，
ABCD AC BAD ∠C AD E 交于点．
AC BD F （1）求证：；
BD CE A （2）若是圆的直径，，，求长
AB 4AB =1DE =AD
云梦县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，则球的体积V 球=圆柱的体积V 圆柱=2πR 3圆锥的体积V 圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3：：
=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．　
2． 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

3． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，4
1,2a 52==a ,21,81q 253
=∴==∴q a a .
考点：等比数列的性质.4． 【答案】C 【解析】解：如图，
++（
）．
故选C ．
5． 【答案】C
考点：线性规划问题．
【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题
y
的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定．
6．【答案】B
【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，
∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，
令h（x）=，则h′（x）=，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）max=h（e）=，
∴＜h（e）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
7．【答案】D
【解析】
考点：等差数列．
8．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
9．【答案】B
【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是：
计算并输出循环变量n的累乘值，
∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1，
故输出S=1×2×3×4=24，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．
10．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
11．【答案】C
【解析】解：令log2（x2+1）=0，得x=0，
令log2（x2+1）=1，得x2+1=2，x=±1，
令log2（x2+1）=2，得x2+1=4，x=．
则满足值域为{0，1，2}的定义域有：
{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，
{0，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，
{0，﹣1，﹣，}，{0，1，﹣，}，{0，﹣1，1，﹣，}．
则满足这样条件的函数的个数为9．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．
12．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
二、填空题
13．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
14．【答案】　75　度．
【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，
由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．
15．【答案】
【解析】
延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP
为面AEF 与面ABC 的交线，因为，所以
为面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

16．【答案】【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33
a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=
或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3
333,
1b b b b b b b b a =⇒=
>⇒==
a b +=考点：指对数式运算17．【答案】2]
（，）上的点到定点
，最大值为，故的取值02x ££02
y ££(,)x y (2,2)2MN 范围为．
2]x
三、解答题
18．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径半圆交于点F ，且四边形ABCD 为正方形，
∴EA 为圆D 的切线，且EB 是圆O 的切线，由切割线定理得EA 2=EF •EC ，
故AE=EB ．
（Ⅱ）设正方形的边长为a ，连结BF ，∵BC 为圆O 的直径，∴BF ⊥EC ，
在Rt △BCE 中，由射影定理得EF •FC=BF 2=，
∴
BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD 的面积为4
．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
19．【答案】20．【答案】
【解析】（1）易知，设，则由题设可知 ，
()()0,1,0,1A B -()00,P x y 00x ≠ 直线AP 的斜率，BP 的斜率，又点P 在椭圆上，所以∴0101y k x -=
020
1
y k x +=，，从而有.（4分）
20014x y +=()00x ≠2
00012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-
21．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点．【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()2
41x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=,解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a =
(4)
分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)2
2ln 6
m x x x x =--+所以(
)
221m x x x =--=
=′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0
>'x m 所以()()min 140m x m ==-<，
……………………………………14分
32
4
1-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
812(21))0e e e m
e e -++-=>（ 44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分
考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性
【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．
所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
23．【答案】
【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则
解得﹣4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
即恒成立．
令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，
解得．所以
当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，解得m ＜6．所以m ＜0．综上所述，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．　
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴
，则，∴．DE DC BC BA =BC AB
=2
4BC AB DE =⋅=2BC =∴在中，，∴，∴，
Rt ABC ∆1
2
BC AB =30BAC ∠=︒60BAD ∠=︒∴在中，，所以．
Rt ABD ∆30ABD ∠=︒1
22
AD AB ==。