电磁场与波5时变电磁场

S n h 0
B1
n
1
B2 n
2
结论：在边界面上，B 法向连续。
4、D 的边界条件
S
n
D1
h 0
n
1
S D dS q (D1 D2 ) n s
D1n D2n s
2 D2n
s为分界面上自由电荷面密度。
特殊地：若媒质为理想介质，则s 0,此时有
D1n D2n 0
当分界面上存在自由电荷时，D 法向不连续，其不
式中C=εA/d为平板电容器的电容。
例5.3 试用麦克斯韦方程组导出图示的RLC串联电路的电压方程(电路 全长远小于波长)。
图 RLC串联电路
解: 沿导线回路l作电场E的闭合路径积分, 根据麦氏方程式(a′)
有
l
E
dl
d
dt
上式左端就是沿回路的电压降, 而ψ是回路所包围的磁通。将回
路电压分段表示, 得
H2 l H1 l ns
l
JS
s l lim D h0 t
s lh 0
H2 l H1 l JS s
n (H1 H2 ) JS H1t H2t Js
式中：n 为由媒质2－>1的法向。
J S为表面传导电流密度。
特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则
n (H1 H2 ) 0 H1t H2t 0 结论：当分界面上存在传导面电流时H， 切向不连续，其
静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场)
特性：电场和磁场相互独立，互不影响。
时变场:场的大小随时间发生改变。
特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的 统一的整体，称为电磁场。
时变电磁场
◇ 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁 场相互依存，构成统一的电磁场。
物理意义：
Ic Iv Id 0
✓全电流的散度为0，它是连续的！ ✓穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。 ✓将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代 数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫 (G .R .Kirchhoff )电流定律: ΣI=0。
全电流定律
时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
二、麦克斯韦方程组的积分形式
D
C
C
H E
dl dl
S (J
B
S t
t dS
)
dS
S
B
dS
0
S
D
dS
V
dV
Q
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
◇ 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。
◇ 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。
5.3.3 动态矢量位和标量位
B
0
B E
A
B t
E
t
(
A)
(E A) 0 t
令： (E A) ， E ( A)
t
t
E ( A)
故：
t
B A
A(r ,t) : 动态矢量位
由
H Jd
J D t
J
d
H
J
D t
变化的电场 能产生磁场
推广的安培环 路定理
全电流定律
积分形式：
H C
• dl
S
J全 • dS＝
S (Jc
D) • dS t
物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁
场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。
磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面
S
S t
E B t
变化的磁场 能产生电场
法拉第电磁感应定律微分形式
物理意义：1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时 变电场强度的旋度。
2、感应电场是有旋场，其旋涡源为 dB dt ，即磁场随时间变化的
地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。
磁悬浮列车
5 .2 位移电流和全电流定律 矛盾
(r ,t) : 动态标量位
动态位满足的方程
H J E
H
1
t A
1
A
J
E t
(
A) 2 A J
( A)
t
t
2
A
2 t
A
2
J
(
A
)
t
令 A 洛伦兹规范条件
t
2
A
2 A t 2
J
动态位满足的方程
E ( A)
t
2 ( A)
t
2
◇ 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定 场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。 电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
§5 .1 法拉第电磁感应定律
一、电磁感应现象与楞次定律
电磁感应现象——实验表明：当穿过导体回路的磁通量发
生变化时，回路中会出现感应电流。
楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身
ex
Ey z
Ex Ey Ez
B t
ez E0kx
sin(
d
z) sin(t
kxx)
ex
E0
d
cos(
d
z) cos(t
kxx)
B
B t
dt
B
ez
E0kx
sin(
d
z) cos(t
kxx)
ex
E0 d
cos(
d
z) sin(t
kxx)
H
B
0
ex
E0 d
0
cos( d
z) sin(t kx x)
2
2t
A
t
2
2
2t
2
A
2 A t 2
J
达朗贝尔方程
(r ,t)的源是(r ,t)，A(r ,t)的源是J (r ,t)
§5-4 电磁场的边界条件
The boundary conditions for time-varying fields
❖在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、、发生突变，
位移电流
➢: 其中，
Jd
D t
是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称
J 为位移电流密度 d
SS ' (Jc Jd ) dS 0
Jc Jd 0
全电流连续性原理
对任意封闭面S有
J Jc Jv Jd
S (Jc Jv Jd ) d S V (Jc Jv Jd )dV 0
在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由
麦克斯韦方程组, =0,J=0
D
E dB E ( H ) t
dt
t
(
E) 2E
2E t 2
2E
2E t 2
0
无源区电场 波动方程
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
2H
2H t 2
0
式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
本构关系 Constitutive equations
D E B H J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
H E
E HE tt Nhomakorabea H ) 0
( E)
麦克斯韦方程 组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。
四、媒质的分类
若媒质参数与位置无关, 称为均匀( homogeneous )媒 质; ;
上的全电流。
例题
例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想 导体板，在极板间存在时变电磁场，其 电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kxx)
求：该时变场相伴的磁场强度 H ；
z
d
0
y
解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式
E B t
ex ey
ez
B t x
y
z
ez
Ey x
连续量等于分界面上面电荷密度。
当且仅当分界面上不存在自由电荷时，D 法向连续。
5、J的边界条件
J1n
J2n
s
t
J1t J2t 0
1 2
( J1
J2)
n
s
t
n
J1
1
J2
2
0
二、理想介质分界面上的边界条件 0
Boundary conditions Between two Perfect dielectrics
l
l E • dl
d dt
S B • ds
当回路以速度v运动时，
l
E
•
dl
S
B t
•
ds
l
v
B
•
dl
说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时 间变化在回路中“感生”的电动势; 第二部分是导体回路 以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势
当回路静止时，
斯托克斯定理 ( E) • ds B • ds
在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。
n (H1 H2 ) 0 H1t H2t 0 n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
B1 n B2 n 0 B2n B1n
(D1 D2 ) n 0 D1n D2n 0
在理想介质分界面上，E, H 矢量切向连续 在理想介质分界面上，B, D 矢量法向连续
设外加电场为Ee, 则有
Ucd
1 C
Idt
a
d
Uda d Ee dl a Ee dl Ve
因为回路中的杂散磁通可略, dψ/dt≈0, 从而得
IR
L
dI dt
1 C
Idt
Ve
这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简
谐变化的情形, 设角频率为ω, 上式可化为
Us
IR
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒 质; ; 若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色 散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium
Uab Ubc Ucd
Uda
d
dt
0
设电阻段导体长为l1, 截面积为A, 电导率为σ, 其中电场为J/σ, 故
Uab
bJ
a
dl
J
l1
I
A
l1
IR, R
l1
A
电感L定义为ψm/I, ψm是通过电感线圈的全磁通, 得
Ubc
d m
dt
L dI dt
通过电容C的电流已由例2 .2得出:
I C dU dt
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2Ex 2Ex 2Ex 2Ex 0
x2 y2 z2
t 2
2Ey 2Ey 2Ey 2Ey 0
x2 y2 z2
t 2
2Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
2Ez t 2
0
◇ 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 ◇ 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。
jI
L
1
C
§5.3 麦克斯韦方程组
Maxwell’s Equations
5 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式
一、麦克斯韦方程组的微分形式
H E
J B
D t
t
B 0
D
（推广的安培环路定律）
（法拉第电磁感应定律） （磁通连续性定律） （高斯定律）
物理意义：
时变电磁场的源：
因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程
组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是 由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。
一、一般媒质分界面上的边界条件( 0, )
1、H 的边界条件
C H
dl
s (J
D ) dS t
H1
h 0
H2 l
n
s 1 2
ez
E0kx
0
sin( d
z) cos(t
kxx)
例 5 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与 U的关系。
图 平板电容器
解：
I
Id
AJd
A D t
A E
t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从
而得
I A U
d t
I C U t
1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁 场是有旋有散场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是
有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成
电磁波。
的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。
二、法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变
时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成
正比关系。数学表示：
d m
dt
说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻
止回路磁通量的改变。
d m
dt
E • dl
不连续量等于分界面上面电流密度。
当且仅当分界面上不存在传导面电流时，H 切向连续。
2、 E的边界条件
E dl － B dS
1
h 0
E1
s
n
1
l
S t
结论：n 只(要E磁1 感E应2 )强度0的时间变E1化t 率E是2有t E限22
l
2
的，E 切向连续。
3、B 的边界条件
S B dS 0
B1 dS1 B2 dS2 0 B1 n B2 n 0 B2n B1n
H E
J B
t
D t
D 0
Bt 0 t
H J E 0 B 0
B 0
D
D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。
在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式