安徽省含山中学高三摸底考试数学试卷（理）

安徽省含山中学高三摸底考试数学试卷（理）
一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的.
1．已知y =f (x )，x ∈D 是一个函数．设集合A ={(x ，y )|y =f (x )，x ∈D }，B ={(x ，y )|x =1 }，记card(P )为集合P 中的元素个数，则card(A ∩B )= （ ）
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．1或2
2．设332
x y
M +=，3)x y N +=，3
xy
P =其中0＜x ＜y ＝，则M 、N 、P 的大小顺序
是 （ ）
A ． P ＜N ＜M
B ．N ＜P ＜M
C ．P ＜M ＜N
D ．M ＜N ＜P
3．已知1F (-3，0)，2F (3，0)，满足条件12||||21-=-m PF PF 的动点P 的轨迹是双曲线的一支．下列数据：①2；②1-；③4；④3-．则m 可以是 （ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②④
D ．②④
4、设双曲线221x y -=的两条渐近线与右准线的三角区域（包含边界）D ，P （x ，y ）为D 内一个动点，则目标函数2z x y =-的最小值为 ( ) A 、-2 B 、22-
C 、0
D 、322
5．已知甲，已，丙三人投篮一次命中的概率分别是5
1
,41,31，则每人各投篮一次至少有
一人命中的概率是 （ ） （A ）
601 （B ）6047 （C ）53 （D ）60
13 6．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若
52=b ，则n b 等于 （ ）
（A ）1)35(5-⋅n （B ）1)35(3-⋅n （C ）1)53(3-⋅n （D ）1)5
3(5-⋅n
7．若将函数y=sin2x 的图象按向量a 平移后得到函数y=sin(2x －2
π
)的图象，则向量a 可以是 ( )
A) (
2π,0) B) (4π,0) C) (－2
π,0) D) (－4π
,0)
8．若函数='++-'-=)1(,23)1(||ln )(2f x x f x x f 则 （ ） A ．2
B ．—2
C ．8
D ．10
9．如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，点P 在线段A 1C 1上运
动,异面直线BP 与AD 1所成角为θ,则θ的取值范围是( ) A 00＜θ＜900 B 00＜θ≤900 C 00<θ<600 D 00＜θ≤600
10．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4，一个内角为060的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几
何体的表面积为 （ ）
A ．2
π
B ．π
C ．
2
3π D ．π2
11.已知曲线12
2=+b
y a x 和直线01=++by ax （a 、b 为非零实数），在同一坐标系中，
它们的图形可能是 （ ）
A 1
A
B
C C 1 B 1
D 1 P
D
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
左视图
主视图
A B C D
12.设)(x f y =为偶函数，对于任意的正数x 都有)2(2)2(x f x f --=+，已知
4)1(=-f ，那么)3(-f 等于 （ ）
A . 2
B . –2
C . 8
D . –8
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．设a ，b ，c 是不大于的自然数，规定2
y
x y x +=*，则c b a c b a **-**)()(的最大值是_______________
14．已知5
235x x ⎛
⎝
的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，
则实数k 的取值范围是 ． 15．设函数2
()(0)f x ax c a =+≠，若1
00
()()f x dx f x =⎰
，001x ≤≤，则0x 的值
为 ．
16. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们面积分别为6cm 2、4cm 2、3cm 2，那么它的外接球体积是 . 三、解答题：
17、（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝
f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π
（Ⅰ）试求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.
18. （本小题满分12分）
某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A 、B 、C 、D 与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得1-分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．
(1)求该观众得分ξ为非负的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．
19、（本小题满分12分）
如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对 角线BD 1上，∠PDA=60。

（1） 求DP 与CC 1所成角的大小；
（2） 求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

20、(本小题满分12分)
已知在数列{}n a 中，已知11a =-，且123(*)n n a a n N +=+∈. (Ⅰ)求证：数列{}1n n a a +-是等比数列； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅲ)设2(*)n n c a n n N =-∈,求和：123(*)n n S c c c c n N =+++⋅⋅⋅+∈.
B 1
1
D 1
A C
D
P
21、(本小题满分13分)
设函数()()2
()2ln 11f x x x =---． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
22、（本小题满分13分）
如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，
30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点
E 、
F .
若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围.
参考答案 一、选择题
1．C 2．A 3．A 4． 5．C 6．B 7．B 8．C 9．B 10．B 11．C 12．D 二、填空题：13．501 14．(0,1/2) 153 6. 3296
29
cm π 三．解答题
17．解：（Ⅰ）()3)cos()f x x x ωϕωϕ=+-+
31
2)cos()22x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦
π2sin 6x ωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
因为()f x 为偶函数，
所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，
因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛
⎫-+-=+- ⎪⎝
⎭．
即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
整理得πsin cos 06x ωϕ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭．
因为0ω>，且x ∈R ，
所以πcos 06ϕ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭．
又因为0πϕ<<，
故ππ62
ϕ-
=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭．
由题意得
2π
π
2
2
ω
=，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．
因此ππ2cos 284f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，再将所得图象横坐
标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的图象．
所以πππ()2cos 22cos 464623x x x g x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
．
当π
2π2ππ23
x k k -+≤≤（k ∈Z ），
即2π8π
4π4π33
k x k +
+≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减， 因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦，（k ∈Z ）．
18、解: (1)ξ的可能取值为4,0,4,12-． ………………3分
(12)P ξ=441124A ==，(4)P ξ=24441
4C A ==，(0)P ξ=1
44
4213
C A ⨯==．……7分 该同学得分非负的概率为(12)(4)(0)P P P ξξξ=+=+==15
24
．…………8分 (2) (4)P ξ=-44339
24
A ⨯=
=．………………10分 ξ的分布列为:
………………12分
数学期望911
4412024424
E ξ=-⨯
+⨯+⨯=．………………14分 19．解：
如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．
则(100)DA =，
，，(001)CC '=，，． 连结BD ，B D ''．
在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．
设(1)(0)DH m m m =>，，
， 由已知60DH DA <>=，
， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，
可得2221m m =+
解得2
2m =，所以22122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，． （Ⅰ）因为220011
222cos 12
DH CC ++⨯'<>==⨯，， 所以45DH CC '<>=，
． 即DP 与CC '所成的角为45．
（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，
，． ξ 4-
4
12
P
924
13
14
124
A
B
C D P A '
B '
C '
D '
x
y
z
H
因为220110
122cos 212DH DC +⨯<>==⨯，
， 所以60DH DC <>=，
． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．
(20).(Ⅰ)证明：设1n n n b a a +=-,则12112323n n n n n b a a a a ++++=-=+--12()2n n n a a b +=-=
由题设知: 211,2a b ==,则{}n b 是以2为首项,公比为2的等比数列………（4分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: 2n n b = 即 12n n n a a +-= ∴ 1112233221()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------=-+-+-++-+-
123212222222n n n n ---=+++++=-,得 ()*23n n a n N =-∈………（8
分）
(Ⅲ) 由题设及(Ⅱ)知: 232n n c n =--,设123(*)n n T c c c c n N =+++⋅⋅⋅+∈
则12242n n T n n +=---
由01
12n n n n
n n n C C C C -=++++知:当3n ≥时,011222n n n
n
n n n C C C C n -≥+++=+ ∴当3n ≤时,0n c <, 当4n ≥时,0n c >, 3
(3)2(4)
n
n n T n S T T n -≤⎧=⎨-≥⎩
∴2112
422
(3)2416
(4)
n n n n n n S n n n ++⎧++-≤⎪=⎨---≥⎪⎩……………………………（14分）
22.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得
｜MA ｜-｜MB ｜=｜P A ｜-｜PB ｜＝221321)32(22
22＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，
则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.
∴曲线C 的方程为12
22
2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜P A ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为a b y a x (122
22=-＞0，b ＞0）.
则由 .
4,
11)3(2222
22=+=-b a b
a 解得a 2=
b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12
22
2=-y x
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴
,
0)1(64)4(,
012
2
2>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔
.
33,1<<-±≠k k
∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.
设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212
,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++- ＝.132214)(1222212212k k k x x x x k --⋅
+=-+⋅+ 而原点O 到直线l 的距离d ＝212
k +，
∴S △DEF =.13221322112212122
2222k
k k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有
　解得.22,022*********
≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③
综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).
解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
∴ .0)1(64)4(,
01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔ 33,1<<-±≠k k .
∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.
设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得
｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221k k k x x x x --=-∆
=-+ ③
当E 、F 在同一去上时（如图1所示），
S △OEF ＝;2
1212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.
+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.2
1)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅
综上得S △OEF ＝,2
121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222
k k --
若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S
.22,022********
≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④
综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.。