2014-2018年理科数学五年真题分类 第三章 导数及其应用

19.(－ln 2，2) [由题意有 y′＝－e－x，设 P(m，n)，直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－2，则由题
意得－e－m＝－2，解得 m＝－ln 2，所以 n＝e－(－ln 2)＝2.]
20．（2018 浙江，22）已知函数f(x) = x−lnx．
（Ⅰ）若 f(x)在 x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
kk
11
1
1
B.f( )＞
C.f( )＜k k－1k 1 k－11
k
D.f( )＞
k 1 k－1
1 1.C ∵导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1,∴f′(x)－k＞0,k－1＞0,k－1＞0,
可构造函数 g(x)＝f(x)－kx,可得 g′(x)＞0,故 g(x)在 R 上为增函数,
2 0
1 ＝ ×22－2＝0.]
2
17.(2015·天津，11)曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的面积为________.
{ ) 1
17.6 [曲线
y＝x2 与直线
y＝x
所围成的封闭图形如图，由
y＝x2， y＝x，
得
A(1，1)，
| | 1 1 1 1 1 1
面积 S＝∫10xdx－∫10x2dx＝ x2 － x2 23
11．（2018 全国Ⅱ，13）曲线y = 2ln(x + 1)在点(0, 0)处的切线方程为__________．
11.y
=
2x
∵
y′
=
x
2 +
1
∴
k
=
0
2 +
1
=
2
∴
y
=
2x
12．（2018 全国Ⅲ，14）曲线y = (ax + 1)ex在点(0 ， 1)处的切线的斜率为−2，则a = ________．
3.（2017•新课标Ⅱ,11）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则 f（x）的极 小值为（ ）
A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1
3. A 函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 ， 可得 f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣
4.(2014·大纲全国，7)曲线 y＝xex－1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A. 2e
B.e
C.2
D.1
4.C[由题意可得 y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于 2，故选 C.]
5.(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝ ( )
0＝2－3＝6.]
18.(2015·陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈 抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.
18.1.2 [由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐 标系，
2
2
设抛物线方程为 y＝ax2，将点(5，2)代入抛物线方程得 a＝ ，故抛物线方程为 y＝ x2,
1， x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得 a=﹣1．可得 f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1 =（x2+x﹣2）ex﹣1 ， 函数 的极值点为：x=﹣2，x=1，当 x＜﹣2 或 x＞1 时，f′（x）＞0 函数是增函数，x∈（﹣2，1） 时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选 A．
2.（2017•浙江,7）函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的图 象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. D 由当 f′（x）＜0 时，函数 f（x）单调递减，当 f′（x）＞0 时，函数 f（x）单调递增， 则由导函数 y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后 单调递增，排除 A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B， 故选 D.
π
π
π
所以 φ＝ ＋kπ(k∈Z)，所以 f(x)＝sin(x－ －kπ)(k∈Z)，由正弦函数的性质知 y＝sin(x－ －kπ)
3
3
3
π
π
π
5π
与 y＝sin(x－ )的图象的对称轴相同，令 x－ ＝kπ＋ ，则 x＝kπ＋ (k∈Z)，所以函数 f(x)
3
3
2
6
5
5π
的图象的对称轴为 x＝kπ＋ π(k∈Z)，当 k＝0，得 x＝ ，选 A.]
A.0
B.1
C.2
D.3
1 5.D [y′＝a－x＋1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所以 a＝3.]
6.(2014·陕西，3)定积分(2x＋ex)dx 的值为( )
A.e＋2
B.e＋1
C.e
D.e－1
6.C [∫10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选 C.]
1 2x2－ x4
|20＝4.]
4
2π
9.(2014·湖南，9)已知函数 f(x)＝sin(x－φ)，且 3 f (x)dx ＝0，则函数 f(x)的图象的一条对 0
称轴是( )
5π A.x＝
6
7π B.x＝
12
π C.x＝
3
π D.x＝
6
2π
2π 1
3
9.A [由定积分∫ 3 0sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)| 3 0＝2cos φ－ 2 sin φ＋cos φ＝0，得 tan φ＝ 3，
（16，+∞）
-
0
+
2-4ln2
所以 g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故g(x1x2) > g(256) = 8 - 8ln2，
即f(x1) + f(x2) > 8 - 8ln2．
（Ⅱ）令
m=e
-
(|a|
+
k)，n=(|a|k+
12
)
+
1，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a<n(
A.0 B.1 C.2 D.3
10.C [对于①，∫－11sin1xcos1xdx＝∫－111sin xdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，∫－11(x＋1)(x
22
2
－1)dx＝∫－11(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，
∫－11x·x2dx＝∫－11x3dx＝0，所以③是一组正交函数.选 C.]
x
x
则
lnx -
h′（x）=
2 -1+a
x2
=
- g(x) - 1 + a，
x2
其中
g（x）=
x 2
-
lnx．
由（Ⅰ）可知 g（x）≥g（16），又 a≤3–4ln2，
故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以 h′（x）≤0，即函数 h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程 f（x）–kx–a=0 至多 1 个实根．
3
3
3 33
3
8.(2014·山东，6)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.2 2
B.4 2
C.2
D.4
8.D [由 4x＝x3，解得 x＝0 或 x＝2 或 x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线
( ) y＝4x
与曲线
y＝x3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为∫20(4x－x3)dx＝
7.(2014·江西，8)若 f(x)＝x2＋2f(x)dx，则∫10f(x)dx＝( )
A.－1
1 B.－
3
1
C.
D.1
3
7.B [因为∫10f(x)dx 是常数，所以 f′(x)＝2x，所以可设 f(x)＝x2＋c(c 为常数)，所以 x2＋c＝
( ) 1
2
2 12
1
x2＋2( x3＋cx)|10，解得 c＝－ ，∫10f(x)dx＝∫10(x2＋c)dx＝∫10(x2－ )dx＝ x3－ x |10＝－ .]
6
6
1
10.(2014·湖北，6)若函数 f(x)，g(x)满足 f (x)g(x)dx ＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1,1] 1
上的一组正交函数.给出三组函数：
1
1
①f(x)＝sin x，g(x)＝cos x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
2
2
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
2
x1x2 =
x1 +
x2 ≥ 24 x1x2．
因为x1 ≠ x2，所以x1x2 > 256．
由题意得f(x1) + f(x2) =
x1 - lnx1 +
x2
-
lnx2
=
1 2
x1x2 - ln(x1x2)．
设g(x)
=
1 2
x - lnx，
则g'(x)
=
1
4x(
x - 4)，
所以
x
（0，16）
16
（Ⅱ）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点．
20.（Ⅰ）函数
f（x）的导函数f'(x)
=
1 2x
-
1，
x
由f'(x1)
=
f'(x2)得2
1 x1
-
1 x1
=
2
1 x2
-
1，
x2
因为x1
≠
x2，所以
1 x1
+
1 x2
=
1．
2
由基本不等式得1
1
x2
y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2＋1，(设切点横坐标为 x2).
11
{ ) ＝ ，
x1 x2＋1
∴
x2
ln x1＋1＝ln（x2＋1）－x2＋1，
1
1
解得 x1＝2，x2＝－2，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.]
1 15.(2015·陕西，15)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂直，
1 f′(x)＝ －3，f′(1)＝－2，切线方程为 y＝－2x－1.]
x
14.(2016·全国Ⅱ，16)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切 线，则 b＝________.
1 14.1－ln 2 [y＝ln x＋2 的切线为：y＝x1·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为 x1).
25
25
5
抛物线的横截面面积为 S1＝2
0
(2-
2 25
x2)dx＝2(2x-
2 75
x3)|
5 0
40 ＝ (m2)，
3
2 而原梯形上底为 10－tan 45°×2＝6(m)，
1
S2 16
故原梯形面积为 S2＝2(10＋6)×2＝16，S1＝40＝1.2.]
3
19.(2014·江西，13)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标 是________.
1 n
-
a n
-
k)≤n(|a|n+
1
-
k)<0，
所以，存在 x0∈（m，n）使 f（x0）=kx0+a，
所以，对于任意的 a∈R 及 k∈（0，+∞），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点．
由 f（x）=kx+a 得k =
x - lnx - a．
x
设 h（x）= x - lnx - a，
x 则 P 的坐标为________.
1
1
15.(1，1) [∵(ex)′|x=0＝e0＝1，设 P(x0，y0)，有( x )′|x=x0＝－x＝－1，
又 x0＞0，∴x0＝1，故 P(1，1).]
2
16.(2015·湖南，11) (x－1)dx＝________. 0
16.0 [∫20(x－1)dx＝Error!
12.−3y' = aex + (ax + 1)ex,则f'(0) = a + 1 =- 2.所以a =- 3.
13.(2016·全国Ⅲ，15)已知 f(x)为偶函数，当 x＜0 时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线 y＝f(x)在点(1，－ 3)处的切线方程是________.
13.2x＋y＋1＝0[设 x＞0，则－x＜0,f(－x)＝ln x－3x,又 f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，
第三章 导数及其应用 考点 1 导数与积分
1．（2018 全国Ⅰ，5）设函数f(x) = x3 + (a−1)x2 + ax．若f(x)为奇函数，则曲线y = f(x)在点(0 ， 0) 处的切线方程为( ) A．y = −2x B．y = −x C．y = 2x D．y = x 1.D 因为函数f(x)是奇函数，所以a−1 = 0，解得a = 1，所以f(x) = x3 + x，f'(x) = 3x2 + 1， 所以f'(0) = 1,f(0) = 0，所以曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线方程为y−f(0) = f'(0)x，化简可得y = x， 故选 D.
综上，当 a≤3–4ln2 时，对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点．
考点 2 导数的应用
1.(2015·福建,10)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1,则下 列结论中一定错误的是( )
11
A.f( )＜