筠连县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

筠连县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
2． 在二项式的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
3． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
等于（ ） A ．15- B ．1
5
C ．-5
D ．5
4． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数2
2z z
+=（ ）
A.1i -
B.1i +
C. 2i +
D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 5． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形
个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
6． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
8． 函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A ．，π
B ．，
C ．，π
D ．，
9． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）
A ．y=
B ．y=2
C ．x=
D ．y=﹣2
10．已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==
，，则公比q =（ ）
A．
1
2
-B．-2 C．2 D．
1
2
11．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．9
12．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（）
A
．
=B
．
∥C
．D
．
二、填空题
13．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．
14．递增数列{a n}满足2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为S n，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=．15．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为．
16．已知实数x，y满足
2
330
220
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，目标函数3
z x y a
=++的最大值为4，则a=______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
17．设实数x，y
满足
，向量=（2x﹣y，m
），=（﹣1，1
）．若
∥，则实数m的最大值
为．
18．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
三、解答题
19．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,4
5a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
20．已知复数z 的共轭复数是，且复数z 满足：|z ﹣1|=1，z ≠0，且z 在复平面上对应的点在直线y=x 上．
求z 及z 的值．
21．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
22．已知f （x ）=x 2+ax+a （a ≤2，x ∈R ），g （x ）=e x ，φ（x ）=．
（Ⅰ）当a=1时，求φ（x ）的单调区间；
（Ⅱ）求φ（x ）在x ∈[1，+∞）是递减的，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使φ（x ）的极大值为3？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．
23．本小题满分10分选修41-：几何证明选讲
如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，
PE PA =，︒=∠45ABC ，1=PD ，8=DB ．
Ⅰ求ABP ∆的面积；
Ⅱ求弦AC的长．
24．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．
筠连县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
==+=+，故向上平移个单位.
g x x x x
log2log2log1log
考点：图象平移．
2．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
3．【答案】B
【解析】
考点：三角恒等变换．
4．【答案】A
【解析】
5．【答案】B
【解析】解：∵a=3，，A=60°，
∴由正弦定理可得：sinB===1，
∴B=90°，
即满足条件的三角形个数为1个．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
7．【答案】A
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
8．【答案】B
【解析】解：y=cos2x﹣cos4x=cos2x（1﹣cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=，
故它的周期为=，最大值为=．
故选：B．
9． 【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x 2
=﹣y ，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A ．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
10．【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,2
1,81q 253
=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质.
11．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1+a m+1=2a m ，
则a m ﹣1+a m+1﹣a m 2
=a m （2﹣a m ）=0，
解得：a m =0或a m =2，
若a m 等于0，显然S 2m ﹣1=
=（2m ﹣1）a m =38不成立，故有a m =2， ∴S 2m ﹣1=（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38， 解得m=10．
故选C
12．【答案】D
【解析】解：由图可知，，但
不共线，故
，
故选D ．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
二、填空题
13．【答案】﹣2
≤a ≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2
﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a 2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2
≤a ≤2．
故答案为：﹣2≤a ≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
14．【答案】 35 ．
【解析】解：∵2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1）， ∴数列{a n }为等差数列，
又a 2+a 8=6，∴2a 5=6，解得：a 5=3， 又a 4a 6=（a 5﹣d ）（a 5+d ）=9﹣d 2=8， ∴d 2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴a n =a 5+（n ﹣5）×1=3+（n ﹣5）=n ﹣2． ∴a 1=﹣1， ∴S 10=10a 1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n }为等差数列，并求得a n =2n ﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
15．【答案】 4 ．
【解析】解：双曲线x 2﹣my 2=1化为x 2
﹣
=1，
∴a 2=1，b 2
=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b ，化为a 2=4b 2
，即1=，
解得m=4． 故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
16．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l经过点
5
(,2)
3
M时，3
z a x y
-=+取得最大值，∴
max
5
()327
3
z a
-=⨯+=，所以
max
74
z a
=+=，故
3
a=-．
17．【答案】6．
【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．
若∥，
∴2x﹣y+m=0，
即y=2x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m，
由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．
由，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
18．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.
三、解答题
19．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增.（2）7b e a ≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不
等式()'0h x >得b x e >
求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7b
a <，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a
b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
，由0b a e -+≤得
3,5b b e e e a a e
≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭52?2230553e b b
a b e
e b e
----=>=>，∴当35b e a e >
-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 20．【答案】
【解析】解：∵z 在复平面上对应的点在直线y=x 上且z ≠0，
∴设z=a+ai ，（a ≠0），
∵|z ﹣1|=1， ∴|a ﹣1+ai|=1，
即
=1， 则2a 2
﹣2a+1=1，
即a 2
﹣a=0，解得a=0（舍）或a=1， 即z=1+i
， =1﹣i ， 则
z =（1+i ）（1﹣i ）=2．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，
∴所求概率为22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，2
22
51
(2)10
C P C ξ===，（9分） 故
的分布列为：
（10分）
∴3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分） 22．【答案】
【解析】解：（I ）当a=1时，φ（x ）=（x 2+x+1）e ﹣x ．φ′（x ）=e ﹣x （﹣x 2
+x ） 当φ′（x ）＞0时，0＜x ＜1；当φ′（x ）＜0时，x ＞1或x ＜0
∴φ（x ）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II ）φ′（x ）=e ﹣x [﹣x 2
+（2﹣a ）x]
∵φ（x ）在x ∈[1，+∞）是递减的， ∴φ′（x ）≤0在x ∈[1，+∞）恒成立，
∴﹣x 2
+（2﹣a ）x ≤0在x ∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a ≤x 在x ∈[1，+∞）恒成立， ∴2﹣a ≤1 ∴a ≥1
∵a ≤2，1≤a ≤2；
（III ）φ′（x ）=（2x+a ）e ﹣x ﹣e ﹣x （x 2+ax+a ）=e ﹣x [﹣x 2
+（2﹣a ）x]
令φ′（x ）=0，得x=0或x=2﹣a ：
由表可知，φ（x ）极大=φ（2﹣a ）=（4﹣a ）e a ﹣2
设μ（a ）=（4﹣a ）e a ﹣2，μ′（a ）=（3﹣a ）e a ﹣2
＞0，
∴μ（a ）在（﹣∞，2）上是增函数，
∴μ（a ）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a ）e a ﹣2
≠3，
∴不存在实数a ，使φ（x ）极大值为3．
23．【答案】
【解析】Ⅰ
PA 是⊙O 的切线，切点为A ∴PAE ∠=45ABC ∠=︒
又∵PE PA = ∴PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒
由于1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理可知92
=⋅=PB PD PA ，既3==PA EP
故ABP ∆的面积为
12PA BP ⋅=272
．
Ⅱ在Rt APE ∆APE 中，由勾股定理得AE =
由于2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得
EC EA EB ED ⋅=⋅ 12= 所以222
312==
EC ，故=AC ．
24．【答案】
【解析】解：f ′（x ）=
令g （x ）=﹣ax 2
+（2a ﹣b ）x+b ﹣c
函数y=f ′（x ）的零点即g （x ）=﹣ax 2
+（2a ﹣b ）x+b ﹣c 的零点 即：﹣ax 2
+（2a ﹣b ）x+b ﹣c=0的两根为0，3
则解得：b=c=﹣a ，
令f ′（x ）＞0得0＜x ＜3
所以函数的f （x ）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴，
∴a=2，
∴
；
，
∴函数f （x ）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．。