湖南省娄底市高考数学二模试卷(理科)

高考数学二模试卷（理科）
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12 小题，共分）
1. 复数 z 满足（ 1+ i） z=|-4i|，则 z=（）
A. 2+2i
B. 1+2i
C. 2-2i
D. 1-2i
2. 已知会集A={ x| ≥ 0} R
，则 ? A=（）
A. B. ,
C. D. ,
3.对某两名高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计获得以下折线
图，下边是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图拥有较好的对称性，故均匀成绩为130 分；
②依据甲同学成绩折线图供应的数据进行统计，预计该同学均匀成绩在区间[110 ，
120] 内；
③乙同学的数学成绩与测试次号拥有比较显然的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测试成绩每一次均有显然进步．
此中正确的个数为（）
A.4
B.3
C.2
D.1
4. 如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x
等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
f x x 0f x =- x=-1
6.如图，在矩形 OABC 中的曲线分别是 y=sinx， y=cosx
的一部分， A（， 0）， C（ 0， 1），在矩形 OABC
内随机取一点，若此点取自暗影部分的概率为P1，取
自非暗影部分的概率为P2，则（）
A. P1＜P2
B. P1＞P2
C. P1=P2
D. 大小关系不可以确立
ABC
中，AB=2
，
AC=3 A=60 ° AD BC D
，
=λ +μ
，则
=
（）
7. 已知△，∠，⊥ 于
A. 3
B. 6
C. 2
D. 3
8.已知双曲线 C： - =1（ a＞ 0，b＞ 0），以点 P（b， 0）为圆心， a 为半径作圆 P，
圆 P 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点，若∠MPN=90°，则 C的离心率为（）
A. B. C. D.
9. 若 m，n 均为非负整数，在做 m＋ n 的加法时各位均不进位(比方：2019＋ 100＝2119，
则称 (m， n)为“简单的”有序对，而m＋ n 称为有序对 (m，n)的值，那么值为2019 的“简单的”有序对的个数是( )
A. 100
B. 96
C. 60
D. 30
10. 若 x1是方程 xe x=1 的解， x2是方程 xlnx=1 的解，则 x1x2等于（）
A. 1
B. -1
C. e
D.
11.
f x
）
=sin
（
ωx+φω 0 φ [ π] f x
）已知函数（）（＞，∈，）的部分图象以下列图，且（
在 [0， 2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）
A.[，）
B.[，）
C.（，]
D.（，]
12.已知函数f（ x） =e x-ax-1 在区间（ -1， 1）内存在极值点，且f（x）＜ 0 恰好有独一
整数解，则 a 的取值范围是（此中 e 为自然对数的底数，）（）
A. [，e）
C.（ e-1， e）
二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）B.
D.
[， 1）∪（ e-1，]
[，）∪（e-1，e）
13.已知二项式（ ax- ）6的睁开式中的常数项为 -160，则 a=______ ．
14. 若实数 x， y 满足不等式组则目标函数 z=3x- y 的最大值为 ______．
15. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如
图，若四棱锥 P－ ABCD 为阳马，侧棱 PA⊥底面 ABCD ，且 PA＝ 3， BC＝ AB＝ 4，
16.在△ABC 中， a， b， c 分别为角 A，B， C 所对的边，若 c=2b，△ABC 的面积为 1，
则 a 的最小值为 ______．
三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）
n 1n
是数列n *
，都有 =
17. 已知数列 { a } 中， a =1， S { a } 的前 n 项和，且对任意的r 、t∈N
（）2．
（Ⅰ）判断 { a n} 能否为等差数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）若数列 { b n} 满足=2n-1（ n∈N*），设 T n是数列 { b n} 的前 n 项和，证明： T n＜ 6．
18.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝.已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF
沿 EF 折起，使 C 到 C′的地点且二面角C′－ EF － B 的大小是60°.连接 C′B，C′ A，如图：
(1)求证：平面C′ FA ⊥平面 ABC′；
(2)求平面 AFC ′与平面BEC′所成二面角的大小．
19. 已知平面上一动点P到定点F（， 0）的距离与它到直线 x= 的距离之比为，
记动点 P 的轨迹为曲线 C．
（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=kx+m 与曲线 C 交于 M ，N 两点， O 为坐标原点，若k OM k ON=
，
?
求△MON 面积的最大值．
20.跟着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜愈来愈遇到花费
者的欢迎，同时生产 -运输 -销售一体化的直销供应模式，不但减少了成本，并且减去了
蔬菜的二次污染等问题．
（Ⅰ）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不行少的．依据统计某种有机
蔬菜的产量与有机肥料的用量相关系，每个有机蔬菜大棚产量的增添量y（百斤）与使用堆沤肥料x（千克）之间对应数据如表：
使用堆沤肥料 x（千克） 2 4 5 6 8
产量增添量 y（百斤） 3 4 4 4 5
依照表中的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程；并依据所求线性回
归方程 = x+ ，预计假如每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10 千克，则每个有机蔬菜大棚产量增添量y 是多少百斤？
（Ⅱ）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份
10 元的价格销售到生鲜商场．“乐购”生鲜商场以每份15 元的价格卖给顾客，如
果当日前 8 小时卖不完，则商场经过促销以每份 5 元的价格卖给顾客（依据经验，当日可以把节余的有机蔬菜都低价办理达成，且办理达成后，当日不再进货）．该
生鲜商场统计了 100 天有机蔬菜在每日的前8 小时内的销售量（单位：份），制成以下表格（注： x， y∈N*，且 x+y=30）：
每日前 8 个小时
15 16 17 18 19 20 21
销售量（单位：份）
频数10 x 16 16 15 13 y 若以 100 天记录的频率作为每日前8 小时销售量发生的概率，该生鲜商场当日销售有机蔬菜利润的希望值为决策依照，当购进 17 份比购进18 份的利润的希望值大时，求 x 的取值范围．
附：回归方程系数公式= ．
21.已知f（x-1）=2ln（x-1）- +k（x＞1）．
（Ⅰ）判断当 -1≤k≤0时 f（ x）的单调性；
（Ⅱ）若 x1， x2（ x1≠x2）为 f（ x）两个极值点，求证：x[f（x1）+f（ x2） ] ≥（ x+1）[f（ x） +2-2x]．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以坐
标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2
ρ=
．
（Ⅰ）求直线l 的一般方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上的点， PQ⊥l，垂足为Q，若 |PQ|的最小值为2，求 m 的值．
23.已知函数 f（ x） =|x-2a|-|x-a|， a∈R．
（Ⅰ）若 f（ 1）＞ 1，求 a 的取值范围；
（Ⅱ）若 a＜ 0，对 ? x， y∈（ -∞，a]，都有不等式 f（ x）≤|（y+2020|+|y-a|恒建
立，求 a 的取值范围．
答案和分析
1.【答案】C
【分析】解：由（ 1+i ）z=|-4i |=4，
得 z= = =2-2 i ．
应选： C．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案．
本题观察复数代数形式的乘除运算，观察复数模的求法，是基础题．
2.【答案】D
【分析】【分析】
本题观察补集的求法，观察补集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．
先求出会集A，由此能求出 ?R A．
【解答】
解：∵会集 A={ x|≥0}={x|（x+3）（x-1）≤0且x≠1}={x|-3≤x＜1}，
∴?R A={ x|x＜-3或x≥1}=（-∞，-3）∪[1，+∞）．
应选： D．
3.【答案】C
【分析】解：①甲同学的成绩折线图拥有较好的对称性，最高130 分，均匀成绩为低于130 分，①错误；
②依据甲同学成绩折线图供应的数据进行统计，预计该同学均匀成绩在区间[110， 120] 内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号拥有比较显然的线性相关性，且为正相关，③正确；
④乙同学在这连续九次测试中第四次、第七次成绩较前一次成绩有退步，故④不正确．
应选： C．
利用图形，判断折线图均匀分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．
本题观察折线图的应用，线性相关以及均匀分的求解，观察转变思想以及计算能力．
4.【答案】D
【分析】解：该几何体为四棱锥，体积为
V=?x=8，
∴x=4．
应选： D．
画出几何体的直观图，利用几何体的体积，转变求解即可．
本题观察三视图求解几何体的体积，观察空间想象能力以及计算能力．
x 0
时，-x 0f -x =- f x = x 0
），
【分析】解：当＜＞，∴（），∴（）（＜
k=f′（ -1） =2，切点为（ -1， -1），∴切线方程为 y+1=2 （x+1 ）．
∴切线方程为 2x-y+1=0 ．
应选： A．
求出函数的分析式，求出函数的导数，求出切点坐标，而后求解切线方程．
本题观察函数的导数的应用，切线方程的求法，观察计算能力．
6.【答案】B
【分析】解：依据题意，暗影部分的面积的一半为：（cosx-sinx）dx=，
于是此点取自暗影部分的概率为P1=2×=＞=．
又 P2=1-P1＜，故 P1＞ P2．．
应选： B．
先用定积分求得暗影部分一半的面积，再依据几何概型概率公式可求得．
本题观察了几何概型，属中档题．
7.【答案】B
【分析】【分析】
本题观察向量的数目积判断向量的垂直的条件的应用，观察转变思想以及计算能力．
利用已知条件，经过向量的垂直，列出方程推出即可．
【解答】
解：= -，∵⊥，
∴（λ +μ） ?（- +）=0，
2 2
∴-λ+μ+（λ-μ） ?=0 ，
∴λ =6，μ∴=6．
应选： B．
【答案】 A
8.
【分析】解：没关系设双曲线 C 的一条渐近
线bx-ay=0 与圆 P 交于 M，N，因为∠MPN =90°，所以圆心 P 到 bx-ay=0 的距离为：= a，
2 2
即 2c -2a = ac， e= ＞ 1，解得 e= ．
应选： A．
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆 P 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点，若∠MPN =90 °，列出方程，求解离心率即可．
本题观察双曲线的简单性质的应用，观察转变思想以及计算能力．
【分析】【分析】
本题观察摆列、组合及简单计数问题，属于基础题．
解题的重点是看出四位数中每一个数字可以有几种状况，分类谈论加以解决.依据题意，分 4 步挨次分析有序对的千、百、十、个位的状况数目，由分步计数原理计算可得答案 .
【解答】
解：第一步， 2＝ 0＋ 2， 2＝ 1＋ 1， 2＝2＋ 0，共 3 种组合方式；
第二步， 0＝ 0＋ 0，共 1 种组合方式；
第三步， 1＝ 1＋ 0，1＝ 0＋ 1，共 2 种组合方式；
第四步， 9＝ 0＋ 9，9＝ 1＋ 8， 9＝ 2＋ 7， 9＝ 3＋6，， 9＝ 9＋ 0，共 10 种组合方式；
依据分步乘法计数原理知，值为2019 的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝ 60.
应选 B.
10.【答案】A
【分析】解：考虑到x1， x2是函数 y=e x、函数 y=ln x 与函数 y= 的图象的公共点A，B 的横坐标，而A，B两点关于y=x 对称，所以x1x2=1．
应选： A．
将方程方程xe x=1 的解、方程xlnx=1 的解转变成函数y=e x、函数 y=ln x 与函数 y= 的图象的公共点A，B 的横坐标来求解．
本题观察函数的与方程的综合问题，正确转变是解题的重点，属于中档题目．
11.【答案】B
【分析】【分析】
本题主要观察函数y=Asin( ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．
依据条件先求出φ的值，联合 f（ x）在[0 ，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．
【解答】
解：由题意知f（ 0） =，即sinφ=,
又φ∈[ ，π]，
∴φ= ，
∵x∈[0， 2π]，
∴ ≤ωx+≤ 2πω+，
∵f（x）在 [0， 2π]上恰有一个最大值和一个最小值，
∴ ≤ 2πω+＜，
∴ ≤ω＜．
应选 B．
12.【答案】D
【分析】解：由题意得，f′（ x）=e x-a=0 在（ -1， 1）上有解，
∵f′（ x）在（ -1，1）上单调递加，∴＜a＜e，
又∵f（ x）＜ 0 恰好有独一整数解，即
设 g（ x）=e x， h（ x） =ax+1，联合题意可
知：①若 1＜ a＜ e，则独一整数解为 1，
故应满足
∴e-1＜ a≤，
故 e-1＜ a＜ e；
②若＜ a＜ 1，则独一整数解为-1，
故应满足
∴≤a＜，
故≤a＜．
由①②得 a 的取值范围为[，）∪（e-1，e）．
应选： D．
推导出 f′（ x）=e x-a=0 在（ -1， 1）上有解，从而＜a＜e，e x＜ax+1有独一整数解．设
g（ x）=e x，h（ x）=ax+1，当 1＜a＜ e 时，独一整数解为 1，应满足当＜ a ＜ 1 时，独一整数解为 -1，应满足由此能求出 a 的取值范围．
本题观察实数的取值范围的求法，观察利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函
数的单调性与极值、最值问题等基础知识，观察分类谈论思想、化归与转变思想，观察
运算求解能力，是难题．
13.【答案】2
【分析】解：∵二项式（ax- 6
的睁开式中的通项公式为
T
=
r a6-r x6-2r
，）r+1 ?（-1）? ?
令 6-2r =0，求得 r=3，可得常数项为 - ?a3 =-160，∴a=2，
故答案为： 2．
在二项睁开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项，再依据常数项等于 -160 求得实数 a 的值．
本题主要观察二项式定理的应用，二项睁开式的
通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.【答案】12
【分析】解：作出实数x，y 满足不等式组
e x＜ ax+1 有独一整数解．
解得 A（ 4， 0）
目标函数y=3x-z，
当 y=3 x-z 过点（ 4，0）时， z 有最大值，且最大值为12．
故答案为： 12．
画出拘束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．本题观察线性规划的简单应用，是基本知识的观察．
15.【答案】
【分析】解：∵四棱锥 P-ABCD 为阳马，侧棱PA⊥底面
ABCD ，
且 PA=3， BC=AB=4，设该阳马的外接球半径为R，
∴该阳马补形所获得的长方体的对角线为外接球的直
径，∴（ 2R）2=AB2+AD 2+AP2=16+16+9=41 ，
∴R= ，
∵侧棱 PA⊥底面 ABCD ，且底面为正方形，
∴内切球 O1在侧面PAD PAD
的内切圆，内的正视图是△
∴内切球半径为r =1，
故 = ．
故答案为：．
该阳马补形所获得的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R= ，内切球 O1 在侧面 PAD 内的正视图是△PAD 的内切圆，从而内切球半径为r=1 ，由此能求出．
本题观察阳马的外接球半径和内切球半径之比的求法，观察空间中线线、线面、面面间
的地点关系等基础知识，观察运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【分析】解：设 A=θ，
22 2
则： a =b +c -2bccos θ，
22 2
=b +4b -4b cos θ，
因为=b2sin θ =1，
所以：．
则：，
设 y=，
所以：=，
当 4-5cosθ=0时， y 的最小值为 3，
故 a 的最小值为，
的应用求出结果．
本题观察的知识重点：三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要观察学生的运算能力和变换能力，属于基础题型．
17.【答案】解：（Ⅰ）由对任意的r 、 t∈N*，都有=（）2．
得 =n2，而 a1=1= S1，
2
∴S n=n ．
当 n≥2时， a n=S n-S n-1 =n2-（ n-1）2=2n-1，
当 n=1 时该式建立，
∴a n=2n-1，即 a n+1-a n=2 ，
可得数列 { a n} 为公差为，首项为 1 的等差数列；
n-1n-1
（Ⅱ）证明：=2，可得b n=（2n-1）?（），
T n=1?（） +3 ?（）2++（2n-1） ?（）n，
两式相减可得T n=1+2[ （）+（）2++（）n-1]- （2n-1） ?（）n
=1+2 ?-（2n-1） ?（）n，
化简可得T n=6- （ 2n+3）?（）n-1，
由 n 为自然数，可得（ 2n+3）?（）n-1＞ 0，
则 T n＜ 6．
【分析】（Ⅰ）在=（）2中取 r=n， t=1 求得 S n=n2．而后求出当n≥2时的通项公式，已知 n=1 时建立后获得数列{ a n} 的通项公式，即可获得结论；
（Ⅱ）求得=2n -1，可得 b n=（2n-1）?（）n-1，由数列的错位相减法乞降，联合等比数
列的乞降公式和不等式的性质，即可得证．
本题观察数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，观察等差数列的通项公式和等比
数列的乞降公式，以及数列的错位相减法，观察化简运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：（Ⅰ）证法一：∵F是AC的中点，∴AF=C′F．
设 AC′的中点为 G，连接 FG．设 BC′的中点为 H，连接 GH ， EH．由题
意得 C′ E⊥EF， BE⊥EF ，∴∠BEC′即为二面角 C′ -EF -B 的平面
角．∴∠BEC′ =60°，
∵E 为 BC 的中点．∴BE=EC′，∴△BEC′为等边三角形，∴EH⊥BC′．
∵EF ⊥C′E， EF⊥BE ，C′ E∩BE=E，∴EF ⊥平面 BEC ′．
∵EF ∥AB，∴AB⊥平面 BEC′，∴AB⊥EH ，即 EH ⊥AB．
∵BC′ ∩AB=B，∴EH ⊥平面 ABC′．
∵G，H 分别为 AC′， BC′的中点．∴GH FE ，
∴四边形 EHGF 为平行四边形．∴FG∥EH， FG ⊥平面 ABC ′，
又 FG? 平面 AFC ′．∴平面 AFC ′ ⊥平面 ABC′．
法二：如图，以 B 为原点，在平面 BEC′中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，
BE 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AB=2．则 A（0， 0，2）， B（ 0， 0， 0）， F（ 0，2， 1）， E（ 0，
2， 0）， C′（，1，0）．
设平面 ABC′的法向量为=（ x，y，z）， =（ 0，0，2），=（），
∴，令 x=1 ，则 =（ 1， -，0），
设平面 AFC′的法向量为=（ x， y， z），
=（ 0，2， -1），=（，1，-2），
∴，取 y=1 ，得 =（，1，2）．
∵ ? =0，∴平面 AFC ′ ⊥平面 ABC′．
解：（Ⅱ）如图，以 B 为原点，在平面 BEC′中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴， BE 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AB=2，则 A（ 0，0，2）， B（ 0，0，0）， F（ 0，2，1）， E（0， 2， 0）， C′（，1， 0）．
平面 BEC′的法向量=（ 0，0， 1），
设平面 AFC′的法向量为=（ x， y， z），
=（），=（ 0， 2，-1），
∴，取 y=1，得 =（）．
∴cos＜＞==，
由图形观察可知，平面AFC ′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．
∴平面 AFC ′与平面BEC′所成二面角大小为45 °．
【分析】（Ⅰ）法一：由 AF =C′ F．设 AC′的中点为 G，连接 FG ．设 BC′的中点为
H ，连接 GH ，EH ．从而∠BEC ′即为二面角 C′ -EF-B 的平面角．∠BEC′ =60 °，推
导
出 EH⊥BC′．EF ⊥C′ E，EF⊥BE，从而 EF ⊥平面 BEC′．由 EF ∥AB，得 AB⊥平面BEC′，从而 AB⊥EH ，即 EH⊥AB．从而 EH⊥平面 ABC′．推导出四边形 EHGF 为平行四边形．从而 FG∥EH， FG⊥平面 ABC ′，由此能证明平面 AFC′ ⊥平面 ABC′．
法二：以 B 为原点，在平面BEC′中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴， BE 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AFC ′ ⊥平面 ABC′．
（Ⅱ）以 B 为原点，在平面BEC′中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴， BE 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AFC ′与平面 BEC′所成二面角大小．
本题观察面面垂直的证明，观察二面角的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地点
关系等基础知识，观察运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：（Ⅰ）设P（x，y），则，化简得，
∴曲线 C 的方程为；
（Ⅱ）设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），
联立，得（1+4k
2） x2+8kmx+4m2-4=0 ，
依题意，△=（ 8km 2 2 2
0，
） -4 （ 4k +1 ）（ 4m -4）＞
化简得： m2＜ 4k2+1，①
，．
+m2，若 k OM?k ON= ，则，即 4y1y2=5 x1x2，
∴．
2 2 2 2 2 2
即（ 4k -5 ）（ m -1 ） -8k m +m （ 4k +1） =0，
化简得：，②
|MN|=
= ．
∵原点 O 到直线 l 的距离 d= ，
∴，
设 4k2+1= t，由①②得， 0≤m2＜，＜k2≤，
∴＜ t≤6，≤＜，
=．
∴当时，即 k=时，△MON面积最大为1．
【分析】（Ⅰ）设 P（ x，y），由题意列式，化简得曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设 M（ x1， y1）， N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求原点O 到直线 l 的距离，写出三角形面积公式，再由换元法联合二次函数求最值．
本题观察轨迹方程的求法，观察直线与椭圆地点关系的应用，训练了利用二次函数求最值，观察计算能力，是中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）==5， =，
x i =22+42+52+6 2+82=145， =，= -=4-0.3 ×，
所以 y 关于 x 的线性回归方程为：，
当 x=10 时， y=0.3 ×10+2.5=5.5 百斤，
所以假如每个有机蔬菜大概使用肥料10 千克，
预计每个有机蔬菜大概产量的增添量是百斤．
（Ⅱ ）若该商场一天购进17 份这类有机蔬菜， Y1 表示当日的利润（单位：元），那么
Y1的分布列为
Y1 65 75 85
P
Y1的数学希望 E（Y1） =65× +75×+85×= ，
若该商场一天购进 18 份这类有机蔬菜， Y2表示当日的利润（单位：元），那么 Y2的分布列为：
Y260708090
P
Y2的数学希望E（Y2） =60×=，
又购进 17 份比购进18 份的利润的希望值大，故，求得x＞24，故求得x 的取值范围是 [24 ， 30），
【分析】（Ⅰ ）依据公式计算可得；
（Ⅱ ）求出概率可得分布列可数学希望．
本题观察了失散型随机变量的希望和方差，属中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x-1）=2ln（x-1）+（x＞1），
所以 f（ x） =2ln x+，（x＞0）．f′（x）= +=，
当 -1≤k≤0时，△=（ 4+k）2-16=k（ k+8）≤0，2x2+（ 4+k） x+2＞0 恒建
立．于是， f（ x）在定义域上为单调增函数．
（Ⅱ）证明：∵f′（ x） = += ，
由题设知， f′（ x） =0 有两个不相等的正实数根x1， x2，
则，即，得k＜-8
而 f（ x1） +f（ x2） =2ln x1++2ln x2+=2ln （ x1x2） +k（+）=2ln（x1x2）+k?=k，
又=k，
故欲证原不等式等价于证明不等式：≥[f （ x） -2（ x-1） ]
也就是要证明：对任意x＞0，有 lnx≤x-1
令 g（ x）=ln x-x+1（x＞ 0），因为 g（ 1） =0，并且 g′（ x）= -1，
当 x＞ 1 时， g′（ x）＜ 0，则 g（ x）在（ 1， +∞）上为减函数；
当 0＜ x＜1 时， g′（ x）＞ 0，则 g（ x）在（ 0， 1）上为增函数．
则 g（ x）在（ 0， +∞）上有最大值g（ 1）=0，即 g（ x）≤0，故原不等式建立．
【分析】（Ⅰ ）求函数的导数，联合函数单调性和导数的关系进行判断即可．
（Ⅱ）依据极值的定义获得 f ′（ x）=0 有两个不相等的正实数根 x1，x2，利用根与系数之间的关系进行转变证明即可．
本题主要观察导数的综合应用，联合函数的单调性极值和导数之间的关系进行转变是解
决本题的重点．观察学生的运算能力．
2 2 2 2
22.【答案】解（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ= ，即ρ+ρsin θ =4，
2 2 2
将ρ=x +y ，ρsin θ=y代入上式并化简得
+ =1，
所以曲线 C 的直角坐标方程为+ =1，
直线 l 的一般方程为 x- -m=0．
（Ⅱ）设 P（ 2cosθ，sin θ），由点到直线的距离公式得
|PQ|= = ，
由题意知 m≠0，
当 m＞ 0 时， |PQ|min= =2，得 m=2 ，
当 m＜ 0 时， |
|PQ|min =，得m=-2-2；
所以 m=2 +2 或 m=-2 -2 ．
【分析】（Ⅰ）消去参数 t 可得直线 l 的一般方程，
（Ⅱ）利用曲线 C 的参数方程设点 P，依据点到直线距离公式求出|PQ|，再依据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m．
本题观察了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
f 1 =|1-2a|-|1-a| 1
，（1 分）
23.【答案】解：（Ⅰ）由题意知，（）＞
若 a≤，则不等式化为 1-2a-1+a＞1，解得 a＜ -1；（ 2 分）
若＜ a＜ 1，则不等式化为 2a-1- （1-a）＞ 1，解得 a＞ 1，即不等式无解；（ 3 分）若a≥1，则不等式化为 2a-1+1- a＞ 1，解得 a＞ 1，（ 4 分）
综上所述， a 的取值范围是（ -∞， -1）∪（ 1， +∞）（ 5 分）
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式 f（ x）≤|（y+2020|+|y-a|恒建立，
只需 [f（x） ] max≤ y+2020|+|y[|-a|]min，（ 6 分）
当 x∈（ -∞， a]时， |x-2a|-|x-a| ≤-a， [f（ x） ]max=-a，（ 7 分）
因为 |y+2020|+|y-a| ≥|a+2020|，所以当（ y+2020）（ y-a）≤0时，
[| y+2020|+|y-a|] min=|a+2020|，（ 9 分）
即 -a≤|a+2020|，解得 a≥-1010 ，
联合 a＜ 0，所以 a 的取值范围是 [-1010 ， 0）（ 10 分）
【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为 |1-2a|-|1-a|＞1，利用分类谈论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转变成[f（ x） ]max≤ [|y+2020|+|y-a|]min，分别求出 [ f（ x） ]max和[| y+2020|+|y-a|] min，列出不等式求解集即可．
本题观察了含有绝对值的不等式恒建立应用问题，也观察了分类谈论思想和转变问题，
是中档题．。