2019-2020学年高中数学 课时分层作业12 事件的相互独立性(含解析)新人教A版选修2-3

课时分层作业(十二) 事件的相互独立性
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
1．如图， 在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，则两个指针同时落在奇数所在区域内的概率是( )
A.4
9 B.29 C.23
D.13
A [左边圆盘的指针落在奇数所在区域内的概率为46＝2
3，右边圆盘的指针落在奇数所在
区域内的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数所在区域内的概率为23×23＝4
9
.]
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )
A ．1－a －b
B ．1－ab
C ．(1－a )(1－b )
D ．1－(1－a )(1－b )
C [设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则
P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )·(1－b )．]
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.3
4 B.23 C.35
D.12
A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝1
2；第二类，需比赛2局，第一
局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝3
4
.]
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是
( )
A.512
B.12
C.
712
D.34
C [依题意得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (A － B －
)
＝1－P (A －)·P (B －
)＝1－12×56＝712
.]
5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1
9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生
的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )
A.29
B.118
C.13
D.23
D [由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，
∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝1
9，
∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝2
3.]
二、填空题
6．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，2
3，他们一同参加测试，则至多有一人通过
的概率为________．
23 [二人均通过的概率为12×23＝13， ∴至多有一人通过的概率为1－13＝23
.]
7．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．
3
5
[“从200个螺杆中，任取一个是A 型”记为事件B .“从240个螺母中任取一个是A 型”记为事件C ，则P (B )＝C 1
160C 1200，P (C )＝C 1
180
C 1240
.
∴能配成A 型螺栓的概率P ＝P (BC )＝P (B )·P (C )＝C 1
160C 1200·C 1
180C 1240＝3
5
.]
8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是1
3，2人试图
独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
13 23 [甲、乙两人都未能解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝1
3， 问题得到解决就是至少有1人能解决问题， ∴P ＝1－13＝23.]
三、解答题
9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是1
2
，且是互相独立的，求灯亮的概率．
[解] 记A ，B ，C ，D 这4个开关闭合分别为事件A ，B ，C ，D ，又记A 与B 至少有一个不闭合为事件E ，
则P (E )＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝3
4
，
则灯亮的概率为P ＝1－P (E C D )＝1－P (E )P (C )P (D )＝1－316＝13
16
.
10．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．
[解] (1)由题意可知，第3次拨号才接通电话的概率为：
P ＝910×89×18＝110
.
(2)设他第i 次才拨通电话为事件A i ，i ＝1,2,3，
则拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2 A 3. ∴P (A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3) ＝
110＋910×19＋910×89×18＝310
. [能力提升练]
1.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳
到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 片上，则跳三次之后停在A 片上的概率是( )
A.13
B.29
C.49
D.827
A [由题意知逆时针方向跳的概率为23，顺时针方向跳的概率为1
3，青蛙跳三次要回到A
只有两条途径：
第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝8
27；
第二条：按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝1
27，
所以跳三次之后停在A 上的概率为
P 1＋P 2＝827＋127＝13
.]
2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和1
3，甲、乙两人各射击一次，有下列
说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×1
3；③目标
被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×2
3
.其中正确说法的序号是( )
A ．②③
B ．①②③
C ．②④
D ．①③
C [设“甲射击一次命中目标”为事件A ，“乙射击一次命中目标”为事件B ，显然，A ，
B 相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P (A B ∪A B )＝P (A B )＋P (A B )＝12×23＋12×
13
＝12，故①不正确；目标恰好被命中两次的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×1
3，故②正确；目标被命中的概率为P (A B ∪A B ∪AB )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝12×23＋12×13＋12×1
3
或1－
P (A B )＝1－P (A )·P (B )＝1－12×23
，故③不正确，④正确．故选C.]
3．已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球．现从两袋中各取2个球，则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为________．
5
21
[记“从甲袋中取得2个白球”为事件A ，“从乙袋中取得1个黑球和1个白球”为事件B ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝C 2
3C 27·C 15C 1
4C 29＝5
63.记“从甲袋中取得1个黑球和1个白球”为事件
C ，“从乙袋中取得2个白球”为事件
D ，则P (CD )＝P (C )P (D )＝C 13C 1
4C 27·C 2
5C 29＝10
63.所以取得的4个
球中有3个白球和1个黑球的概率为563＋1063＝1563＝5
21
.]
4．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值为________．
14 [事件A 与B 同时发生的概率为p (1－p )＝p －p 2
(p ∈[0,1])，当p ＝12时，最大值为14.] 5．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．
(1)求P (X ＝2)；
(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．
[解] (1)X ＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X ＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.。