简明逻辑学大纲（在南京财经大学所授逻辑课大要及考试题）

简明逻辑学大纲（在南京财经大学所授逻辑课大要及考试题）在南京财经大学所授逻辑课大要及考试题
授课内容摘要：
本课程共包括10讲，着重讲解了四个逐步递进的逻辑概念：模式、有效模式、逻辑真、有效推理。

中心议题是推理的有效性问题，这是逻辑在科学和日常生活中最引人注目的应用。

直观地说，一个推理是有效的，当且仅当如果肯定前提的同时却否定结论会导致矛盾。

这等于说，以前提为前件以结论为后件的条件句是一个逻辑真（逻辑真是矛盾（逻辑假）的对立面）。

什么是逻辑真呢？答案：逻辑真是有效模式的例句。

那么，什么是有效模式呢？答案：有效模式就是所有例句都为真的模式。

那么，什么是模式呢？请看以下说明。

一、真值函项模式：
1. 原子模式：p, q, r, 等等。

它们可以代表任何语句；换言之，任何语句都可以看成是原子模式的例句。

2. 一般模式：原子模式加上由原子模式通过真值函项联结词复合而成的模式。

比如：-p（并非p），pq（p，而且q），p∨q（p，或者q），p→q（如果p，那么q），p q（p，当且仅当q）, pq→r，等等。

3. 有效模式：所有例句都为真的模式。

4. 有效性的判定方法（真值分析法）：先考虑模式中出现次数最多的字母，依次用“真”和“假”代入，如果分析的结果出现“假”，即说明原模式是无效的；如果没有出现“假”，则继续分析下去。

再对上面得到的简化模式（如果有的话）按上述方法进行分析。

如果最终的分析结果一律为“真”，则原模式为有效模式；否则，为无效模式。

5. 推理的真值函项有效性：一个推理是真值函项有效的，当且仅当以该推理的前提（或前提的合取）为前件、以结论为后件的条
件句所从属的某个真值函项模式是有效的。

二、量化模式：
1. 原子模式：p, q, r, 等等。

它们可以代表任何语句（包括开语句）；换言之，任何语句都可以看成是它们的例句。

Fx, Gy, 等等一位原子模式。

它们的例句是开语句“…x…”。

Hxy等等二位原子模式。

多位原子模式。

2. 一般模式：原子模式加上由原子模式通过真值函项联结词或量词复合而成的模式。

3. 有效模式：在任何非空论域中的任何解释都将得到真语句。

解释方法：语句字母“p”、“q”等等解释为“真”或“假”；词项字母“F”、“G”等等解释为对某些对象或有序对象集为真（或对所有对象或所有有序对象集都为假）；自由变项“x”、“y”等等解释为论域中的某个对象。

4. 有效性的证明方法（主方法）：如果模式中含有语句字母，先用真值分析法将这些字母去除，得到较为简单的模式。

如果模式中不含语句字母，则对该模式的否定式反复使用存在例化和全称例化，直到得到的若干例化式的合取可以被表明是一个真值函项矛盾式为止。

对于全称量化式，可以用任何变项字母来例化它；对于存在量化式，需要选用一个新变项字母来例化它。

5. 推理的量化有效性：一个推理是量化有效的，当且仅当以该推理的前提（或前提的合取）为前件、以结论为后件的条件句所从属的某个量化模式是有效的。

三、例题
证明以下推理有是量化有效推理。

前提：偶数的平方是偶数。

6是偶数。

结论：6的平方是偶数。

证明：该推理所对应的条件句为：如果（偶数的平方是偶数，而且6是偶数），那么6的平方是偶数。

以下是对此句的分析过程：
偶数的平方是偶数·6是偶数·→6的平方是偶数。

∀x(x是偶数的平方→x是偶数) ·6是偶数·→6的平方是偶数。

∀x[∃y(y是偶数·x是y的平方) →x是偶数] ·6是偶数·→6的平方是偶数。

∀x[∃y(y是偶数·x是y的平方) →x是偶数] ·6是偶数·→∀x (x是6的平方→x是偶数)。

它所从属的模式为：
1. ∀x[∃y(Fy·Gxy)→Fx] ·Fz·→∀x (Gxz→Fx)
否定之，得：
2. ∀x[∃y(Fy·Gxy)→Fx] ·Fz·-∀x (Gxz→Fx)…(“-(p→q)”等价于”p-q”)
3. ∀x[∃y(Fy.Gxy)→Fx] (2)
4. Fz (2)
5. -∀x (Gxz→Fx) (2)
6. ∃x -(Gxz→Fx)…5.移置规则：“-∀x Fx”等价于“∃x –Fx”
7. -(Guz→Fu)…6.存在例化
8. ∃y(Fy·Guy)→Fu…3.全称例化
9. ∀y(Fy·Guy·→Fu)…8.移置规则：“∃xFx→p”等价于“∀x(Fx→p)”
10. Fz·Guz·→Fu…9.全称例化
11. 4、7、10的合取式是矛盾式。

分析过程附后：
12. Fz·-(Guz→Fu):Fz·Guz·→Fu…4、7、10的合取式
13. 假…当“Fz”取假时。

14. -(Guz→Fu)·Guz→Fu…当“Fz”取真时。

这显然是个矛盾式。

15. 综合13、14，12为矛盾式。

四、结业考试题：
在以下三道题中任选二题。

1. 有一个卖矛和盾的人说：我的矛攻无不克，我的盾莫之能克。

请证明这两句话的合取是自相矛盾的。

2. 有一个理发师说：我给而且只给那些不给自己理发的人理发。

请证明这句话是自相矛盾的。

3. 请证明“有人爱所有人”蕴含“所有人都有人爱”。