2019年国际青年数学节第一次考试(无答案)

2019国际青年数学节
第一次考试
1.对所有正整数n,我们定义a=(2n)2+1。

如果不存在正整数a>1,b>1,使得a n=a2+b2成立,就称n是“劣质“的。

请证明:当且仅当a n为素数时,正整数n为劣质”的。

2学校里有一群男孩和女孩.如果学校中的每个女孩,都认识某一群男孩中的至少一个男孩,就称这群男孩是“爱社交群体”。

同样的,如果学校中的每个男孩,都认识某一群女孩中的至少一个女孩就称这群女孩是“爱社交群体”。

请证明:如果“爱社交群体”男孩群有奇数个,则“爱社交群体“女孩群同样有奇数个。

3锐角△ABC中,边AB的垂直平分线交BC于点P。

交AC延长线于点Q。

M和N分别为AB和PQ的中点。

若直线AB和CN交于点
D.请证明:△ABC和△DCM的垂心是同一个点。

4.凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M.∠ACD的半分线与射线BA交于点K。

若MA·MC+MA·CD=MB·MD。

证明：∠BKC=∠CDB。

5.证明:存在自然数a.使得n
n a5
+对任意正奇数n成立，并求
9995•
2
最小的a。

6.求所有的正奇数n,使得所有不大于n且与n互素的正整数都能整除n2+3。

7.设a,b,c∈R*,abc=8.证明:
8请找出:数字和小于20192019的2的幂的个数，是有限的还是无限的。