《导数在研究函数中的应用》学案3(新人教A版选修1-1).doc

3. 3. 1函数的单调性和导数学案
学习目标
1.理解函数单调性和导数的关系；
2.会利用导数判断函数的单调性。

学习重点和难点
1.重点：函数单调性和导数的关系;
2.难点：函数单调性和导数的关系。

一、复习引入：
1.常见函数的导数公式：
2•法则1 |w(x) ± v(x)| = u (x) ± v (x).
法则2 法则3
二、讲授新课
1・问题:图3.3-1 (1),它表示跳水运动中高度力随时间r变化的
函数处)=—4.9八+6.5/+ 10的图像,3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度卩随吋间1变化的函数v(r) = h ⑴=-9.8/+ 6.5 的图像.
运动员从起跳到最高点，以及从最髙点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
(1)
(2)
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与
英导数正负的关系.
如图3.3-3,导数/(x0)表示函数f\x)在点(x0,y0)处的切线的斜率.
在x = x0处，/(x0)>0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(Q在兀°附近单调递增；
在% =处，/(x0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(x)在占附近单调递减.
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间(a,b)内，如果/(x)>0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如
果f (无)< 0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递减.
说明：(1)特别的，如果/(x) = 0,那么函数y = /(x)在这个区间内是常函数.
3.求解函数y = /(x)单调区间的步骤:
(1)确定函数y = /(%)的定义域;
(2)求导数y = f (x)；
(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式f (x) < 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
三.典例分析
例1.已知导函数f(x)的下列信息:
当1 vxv4时，/(x)>0；
当x>4 ,或xv 1 时，/ (%)<0；
当x = 4 ,或x = l 时，/ (x) = 0
试画出函数y = /(兀)图像的大致形状.
解：
例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区问.
(1)/(x) = x3 +3% ；(2) /(x) = x2 -2x-3
(3) /(x) = sinx-x xe (0,^) ；(4) /(x) = 2%3 + 3x2 -24x +1
例3・如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的 容器中，
请分别找出与各容器对应的水的高度力与时间(的函数关系图像.
分析:
解：
思考：
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变 化的快，这时，函数的图像就比较“陡悄”；反之，函数的图像就“平缓” 一些. 如图3.3-7所示,函数y = /(兀)在(0,5)或(a,0)内的图像"陡悄”，在(b, + 8)或(-^卫) 内的图像“平缓”.
例4・求证：函数y = 2X 3+3X 2-12X + 1在区间(-2,1)内是减函数.
证明：
说明：证明可导函数/(x)在(d,b)内的单调性步骤:
(1)；
(2) ；
(3) .
2
例5・已知函数/(x)=4x + ox 2 一一X 3 (XG R)在区间［一1,1］上是增函数，求实数Q 的 取值范围. 解：
说明
:
(1) (2)
(O)
例6・已知函数)匸兀+―,试讨论出此函数的单调区间. X
解：
⑵解:
2、设y = f'(x)是函数y = f(x)的导数，y = f'(x)的
图象女口图所不，则y = f(x)的图象最有可能是(
)
五、课堂小结: 1.
2.
3..
六、课后作业：
课本习题3. 3 A 组1, 2
【思考题】
对于函数fix)=2x 3—6$+7
思考1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2丘+7 = 6兀在区间(0, 2)内有儿个解? 四、课堂练习：
1.确定下列函数的单调区间
(1 )j=? 一 9X 2+24X (2)y=3x-?
⑴解：。