高二数学下学期期末教学质量监控试题含解析试题

2021-2021学年第二学期期末教学质量监控
高二数学试题卷
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1y x =-的倾斜角为〔 〕
A.
6
π B.
4
π C.
3
π D.
34
π 【答案】B 【解析】
试题分析：记直线1y x =-的倾斜角为θ，∴tan 14
π
θθ=⇒=，应选B.
考点：直线的倾斜角.
221x y +=与圆()2
23(4)16x y -+-=的位置关系是〔 〕
A. 相交
B. 内切
C. 外切
D. 相离
【答案】C 【解析】 【分析】
据题意可知两个圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)；半径分别为1和4；圆心间隔 为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系.
【详解】设两个圆的半径分别为1r 和2r ，因为圆的方程为
221x y +=与圆()2
23(4)16x y -+-=
所以圆心坐标为(0,0),(3,4)，圆心间隔 为5，由125r r +=，可知两圆外切，应选C.
【点睛】此题考察两圆的位置关系，属于根底题.
3.“01k <<〞是“方程22
12x y k
-=表示双曲线〞的〔 〕
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
假设方程22
12x y k
-=表示双曲线，那么有0k >，再根据充分条件和必要条件的定义即可
判断.
【详解】因为方程22
12x y k
-=表示双曲线等价于0k >，
所以“01k <<〞，是“方程22
12x y k
-=表示双曲线〞的充分不必要条件，应选A.
【点睛】此题考察充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于根底题.
4. 一个几何体的三视图形状都一样、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A. 球 B. 三棱锥
C. 正方体
D. 圆柱
【答案】D 【解析】
试题分析：球的三视图都是圆，假如是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以是正方形，但圆柱的三视图中
有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，应选D. 考点：三视图
【此处有视频，请去附件查看】
5.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，假设1AB BC ==，12BB =，那么异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为〔 〕
A.
10
10
B.
35
C.
22
D.
45
【答案】D 【解析】 【分析】
连结1D C ，可证明11A BCD 是平行四边形，那么11//A B D C ，故1AD C ∠的余弦值即为异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.
【详解】连结1D C ，由题得11//A D BC ，故11A BCD 是平行四边形，11//A B D C ，那么1AD C ∠的余弦值即为所求，由1AB BC ==，12BB =可得115AD DC ==2AC =，故有
2221
(2)(5)(5)255ADC =+-∠，解得14
cos 5
AD C ∠=，应选D. 【点睛】此题考察异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.
C 的圆心在抛物线24y x =上，且与直线:1l x =-相切，那么动圆C 必过一个定点，该定
点坐标为〔 〕 A. (1,0) B. (2,0) C. (0,1)
D. ()0,2
【答案】A 【解析】 【分析】
直线1x =-为2
4y x =的准线，圆心在该抛物线上，且与直线l 相切，那么圆心到准线的间隔 即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点.
【详解】由题得，圆心在2
4y x =上，它到直线l 的间隔 为圆的半径，l 为2
4y x =的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的间隔 等于其到抛物线焦点的间隔 ，故动圆C 必过的定点为抛物线焦点，即点(1,0)，应选A. 【点睛】此题考察抛物线的定义，属于根底题.
7.某班上午有五节课，方案安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，那么不同排法的种数为〔 〕 A. 24 B. 36
C. 42
D. 48
【答案】B 【解析】 【分析】
先用捆绑法将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；将这个整体与英语，物理全排列，分析排好后的空位数目，再在空位中安排数学，最后由分步计数原理计算可得.
【详解】由题得语文和化学相邻有2
2A 种顺序；将语文和化学看成整体与英语物理全排列有
33A 种顺序，排好后有4个空位，数学不在第一节有3个空位可选，那么不同的排课法的种
数是26336⨯⨯=，应选B.
【点睛】此题考察分步计数原理，属于典型题.
,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，以下命题中正确的选项是〔 〕
A. 假设//m α，//m n ，//n β，那么//αβ
B. 假设//m α，m n ⊥，n β⊥，那
么//αβ
C. 假设m α⊥，//m n ，//n β， 那么αβ⊥
D. 假设//m α，m n ⊥，//n β， 那么//αβ 【答案】C 【解析】 【分析】
通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.
【详解】如图，,αβ相交，故A 错误
如图，,αβ相交，故B 错误
D.如图，,αβ相交，故D 错误
应选C.
【点睛】此题考察直线和平面之间的位置关系，属于根底题.
9.n *
∈N ，用数学归纳法证明23()147(32)2
n n
f n n -=+++
+-=时．假设当n k =()k N ∈*时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立，需要用到的()1f k +与()
f k 之间的关系式是〔 〕 A. (1)()35f k f k k +=+- B. (1)()32f k f k k +=+- C. (1)()31f k f k k +=++ D. (1)()34f k f k k +=++
【答案】C 【解析】 【分析】
分别根据列出()f k 和(1)f k +，即可得两者之间的关系式. 【详解】由题得，当n k =时，()147(32)f k k =+++⋅⋅⋅+-， 当1n k =+时，(1)147(32)[3(1)2]f k k k +=+++⋅⋅⋅+-++-， 那么有(1)()31f k f k k +=++，应选C.
【点睛】此题考察数学归纳法的步骤表示，属于根底题.
10.如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设
()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，那么以下结论中正确的选项是〔 〕
A. 0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点
B. 0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点
C. 0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点
D. 0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点 【答案】B 【解析】 【分析】
由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，那么有
'0()0h x =，由此可判断极值情况.
【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，
又''
000()()()'0h x g x f x =-=，
那么有0x 是()h x 的极小值点，应选B.
【点睛】此题通过图象考察导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.
11.M ,N 是离心率为2的双曲线22
2210,0x y a b a b
-=>>（）
上关于原点对称的两点，P 是
双曲线上的动点，且直线,PM PN ，的斜率分别为1k ，2k ，120k k ≠，那么123k k +的取值范围为〔 〕 A. [)6,+∞ B. (,6][6,)-∞-+∞
C. )+∞
D. (,[23,)-∞-+∞)
【答案】B 【解析】 【分析】
因为M,N 关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P 坐标，将12,k k 表示出来.
222
222
0101,33y y x a x a -=-=做差得222210101()3x x y y -=-，即有22102210
13x x y y -=-，最后得
到关于10
10
y y x x ++的函数，求得值域.
【详解】因为椭圆的离心率2e
=
，所以有b ==，故双曲线方程即为
2
2
23
y x a -=.设M,N,P 的坐标分别是000011(,),(,),(,)x y x y x y --,那么
101
121010
,y y y y k k x x x x -+==-+，并且
222
22
2
0101,33
y y x a x a -=-=做差得
22
22
1
0101()3
x x y y -=-，即有2210221013x x y y -=-，于是有
221010
10101010101222
101010101
010********y y y y y y y y x x y y y y k k x x x x x x x x y y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+--++=+=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+-+--+⎝⎭⎝⎭1010101013x x y y y y x x ⎛
⎫
⎪+ ⎪=+
++ ⎪ ⎪+⎝
⎭
因为
10
10
y y x x ++的取值范围是全体实数集R ，
所以1236k k +≥或者1236k k +≤-， 即123k k +的取值范围是(,6][6,)-∞-+∞， 应选B. 【点睛】
此题考察双曲线的性质，有一定的综合性和难度.
12.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且AM=AD=1, AB=3，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，那么tan θ的最大值为〔 〕
A.
36
B.
69
C.
25
3【答案】A 【解析】 【分析】
做辅助线，构造并找到二面角A BC D --所对应的平面角，根据可得tan θ，进而求得其最大值.
【详解】在平面图中过A 作DM 的垂线并延长，交DM 于H ,交DC 于E .在翻折过程中A 点在平面BCD 上的投影的轨迹就是平面图中的AE.设翻折的角度为0,α
απ，在平面
BCD 投影为'A ，过'A 作'A F BC ⊥于F ，那么'AFA ∠即为二面角
A BC D
--2
'sin 2
AA α
=，
51
'cos 22
A F α=
+.故
2tan 51
cos 22
αθα==
+=
()
h α，求导
得
'
2
22
1
)(5cos cos )sin (sin )55cos (5cos )(5cos )ααααααααα+⎤+--⎛⎫⎣⎦== ⎪ ⎪+++⎝⎭
,设
1cos 5β=-，当()0,αβ∈时， 1
cos 5
α>-，'()0,h α>函数()h α单调递增，当()
,αβπ∈时，1cos 5α<-，'()0,h α<函数()h α单调递减，所以αβ=即1
cos 5
α=-时，()h α有
最大值，此时tan θ
=
,应选A. 【点睛】此题的解题关键在于找到二面角的平面角,并且用了求导数的方法求最大值，有一定的难度.
二、填空题：此题一共7小题，其中13－15题每一小题6分，16－19题每一小题4分，一共34分．
a (2,0,1)=-，
b (1,2,)x =，假设a ⊥b ，那么x =______,假设2a +b (3,2,5)=-,那么x =_____．
【答案】 (1). 2 (2). ，3 【解析】 【分析】
假设a b ⊥，那么坐标的关系有1122330a b a b a b ++=，代入即得；直接计算可得. 【详解】因为a (2,0,1)=-，b (1,2,)x =，且a ⊥b ， 所以a ⋅b 20x =-+=，解得2x =； 又因为2a +()3,2,2b x =-+(3,2,5)=-
所以25x +=，解得3x =.
【点睛】此题考察空间向量运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于根底.
2z =+i (i 是虚数单位)，那么z =_____，i z ⋅=______．
【答案】 (2). 12i -+ 【解析】 【分析】
求复数的模||||z a bi r =+==，计算i z ⋅，由21i =-可化简得值.
【详解】由题得||z =2212i z i i i ⋅=+=-+. 【点睛】此题考察复数的模和代数形式的乘法运算，属于根底题.
()
2019
22019012201912x a a x a x a x +=+++
+ ，那么
0a =_____3
1223
222a a a -
+-++2019
2019
(1)22n
n
n
a a -+-
=_____． 【答案】 (1). 1 (2). ,-1 【解析】 【分析】
观察，令0x =可得2019
0(10)
a +=；由3
201912232019
(1)22222n n n a a a a a -
+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-可得1
2
x =-，代入2019(12)x +可得其值.
【详解】因为()
2019
22019012201912x a a x a x a x +=++++
所以，0x =可得2019
0(10)
1a =+=， 1
2
x =-可得，
2019
32019122320191(1)[12()]11222222
n n n a a a a a -
+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-=+⨯--=-.
【点睛】此类题不要急于计算，仔细观察题中等式的特点，对x 进展取值是解题关键.
16.假设一个三位自然数的十位上的数字最大，那么称该数为“凸数〞〔如231，132〕.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，其中凸数的个数为_____个． 【答案】8 【解析】 【分析】
根据“凸数〞的特点，中间的数字只能是3,4，故分两类，第一类，当中间数字为“3〞时，第二类，当中间数字为“4〞时，根据分类计数原理即可解决.
【详解】当中间数字为“3〞时，此时有两个〔132,231〕，当中间数字为“4〞时，从123
中任取两个放在4的两边，有2
36A =种，那么凸数的个数为268+=个.
【点睛】此题考察分类计数原理，属于根底题.
()(R y f x x =∈且0)x ≠，'()f x 为()f x 的导函数，当0x >时，'()()0xf x f x ->，且(2)0f =，那么不等式()0f x ≤的解集为_____．
【答案】(](]--20,2∞，
【解析】 【分析】 构造函数()()f x F x x =
，2'()()
'()xf x f x F x x
-=，根据条件可知，当0x >时，'()0F x >，(2)0F =，根据单调性可得2(]0,x ∈时()0F x ≤，那么有()0f x ≤；当0x <时，同理进
展讨论可得.
【详解】由题构造函数()()f x F x x =
，求导得2'()()
'()xf x f x F x x
-=，
当0x >时，'()0F x >, 所以()
()f x F x x
=
在()0,∞+上递增， 因为(2)0f =，所以(2)0F =，那么有2(]0,x ∈时()0F x ≤，那么此时()0f x ≤；
[)2,x ∈+∞时()0F x ≥，那么此时()0f x ≥；
当0x <时，()f x 为奇函数，那么()F x 是偶函数，根据对称性，(],2x ∈-∞时()0F x ≥， 又因()
()f x F x x
=
，故当(,2]x ∈-∞-时，()0f x ≤； 综上()0f x ≤的解集为(,2](0,2]-∞-⋃.
【点睛】此题考察求不等式解集，运用了构造新函数的方法，根据讨论新函数的单调性求原函数的解集，有一定难度.
18.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点〔包括边界〕，且11//A F D AE 平面，那么11
FA FB ⋅的最小值为____．
【答案】
1
2
【解析】 【分析】 根
据
题
意
1111
ABCD A B C D -，可知
2211111111111()||||FA FB FB B A FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=+⋅=，即求21||FB 11BCC B 内找到
满足1//A F 平面1D AE 且21||FB 最小的点即可.
【详解】由题得2
1111111()||
FA FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=，取1BB 中点H ，11B C 中点G ，连结1A G ，1A H ，GH ，11//A H D E ，∴1//A H 平面1D AE ，1//GH AD ，//GH ∴平面
1D AE ，∴平面1//GA H 平面1D AE ，1//A F 平面1D AE ，故F ⊂平面1GA H ，又F ⊂平
面11BCC B ，那么点F 在两平面交线直线GH 上，那么1FB 的最小值是1FB GH ⊥时，
11=1B G B H =，那么211
||=2
FB 为最小值.
【点睛】此题考察空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.
19.P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与
21
:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，假设22PM PN +为定值，那么椭圆的离心率为______.
【答案】
3
【解析】 【分析】
设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到
,a b 的关系，进而求出离心率.
【详解】设00(,)P x y ，那么直线PM 的方程为001
33
x y x y =-
++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组00133
13x y x y y x
⎧
=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++，
联立方程组00133
13x y x y y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，那么
22222222
0000000000335()()()()5226222629
x y x y x x y PM PN y x y +=-
++-++++=+
又点P 在椭圆上，那么有22222200b x a y a b +=，因为22
00559
x y +为定值，那么225
1959
b a ==，222
2
89a b e a -==
，e =【点睛】此题考察椭圆离心率的求法，有一定的难度.
三、解答题：本大题一一共4小题，一共56分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
C ：22230x y mx +--=(R)m ∈．
〔Ⅰ〕假设1m =，求圆C 的圆心坐标及半径；
〔Ⅱ〕假设直线:0l x y -=与圆C 交于A ，B 两点，且AB 4=，务实数m 的值．
【答案】(Ⅰ)22
14x y -+=（），圆心坐标为1,0（），半径为2
；(Ⅱ)m =【解析】 【分析】
(Ⅰ)将m=1代入圆C 的方程，化为HY 方程的形式，即可得到圆心坐标和半径；(Ⅱ)将圆C
化为HY 方程2
2
2
()3x m y m -+=+，圆心到直线l 的间隔
||4AB =，
那么有2
243m +=+，解方程即得m 。

【详解】(Ⅰ)当1m =时，2
2
230x y x +--=，化简得2
2
14x y -+=（）， 所以圆心坐标为1,0（），半径为2。

(Ⅱ)圆C :
2
2
2
3x m y m -+=+（），设圆心(),0m 到直线:0l x y -=的间隔 为d ,
那么d =
因为4AB =,所以2
2
43d m +=+即2
2432
m m +=+,所以22m =
所以2m =±
【点睛】此题考察含有参数的圆的方程，属于根底题。

21.如图，三棱柱111A B C-A B C 中，平面ABC ⊥平面11AA B B ，
12AB BC AC AA ====，123
ABB π∠=
．
〔Ⅰ〕证明：1AB A C ⊥；
〔Ⅱ〕求直线11A B 与平面11B B C C 所成角的正弦值．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
155
【解析】 【分析】
(Ⅰ)如图做辅助线，D 为AB 中点，连1A D ，1A B ，由ABC △是等边三角形可知CD AB ⊥，
13
BAA π
∠=
，且1AB AA =，那么1BAA ∆是等边三角形，1AB A D ⊥，故AB ⊥平面1CDA ，
1
AC ⊂平面1CDA ，那么1AB A C ⊥得证。

(Ⅱ)建立空间直角坐标系以D 为原点，先根据求平面11BCC B 的一个法向量n ，再求向量11A B ，设直线11A B 与平面11BCC B 所成的角为α，那么11sin |cos ,|A B n α=<>，计算即得.
【详解】(Ⅰ)取AB 中点D ，连11,A D A B ,因为12AB BC AC AA ====，160BAA ∠=
所以1,CD AB AB A D ⊥⊥,所以AB ⊥平面1CDA 因为1
AC ⊂平面1CDA 所以1AB A C ⊥ .
(Ⅱ)以D 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，
可得()1
00A ，，, (
)1030A ，，,()1230B -，，,()
003C ，，,()10,0B -， 设平面11BCC B 的一个法向量为(),,n x y z =
那么100BB n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，而30
30
x y x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩.
所以(
)
3,1,1n =
-.又()112,00A B =-，，设直线11A B 与平面11BCC B 所成的角α,
那么1111112315
sin cos ,552
A B n A B n A B n
α⋅==
=
=⋅
【点睛】此题考察两条直线的位置关系和立体几何中的向量方法，是常见考题.
22.如图，三点A ，P ，Q 在抛物线2:8C x y =上，点A ，Q 关于y 轴对称〔点A 在第一象限〕， 直线PQ 过抛物线的焦点F .
〔Ⅰ〕假设APQ ∆的重心为8,33G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线AP 的方程；
〔Ⅱ〕设OAP ∆，OFQ ∆的面积分别为2212,S S ，求22
12S S +的最小值．
【答案】(Ⅰ) :5480AP x y --=
；(Ⅱ) 【解析】 【分析】
(Ⅰ)设A,P,Q 三点的坐标，将重心表示出来，且A,P,Q 在抛物线上，可解得A,P 两点坐标，
进而求得直线AP ；(Ⅱ)设直线PQ 和直线AP ，进而用横坐标表示出2212S S +，讨论求得最小
值。

【详解】(Ⅰ)设()11,A x y ,()22,P x y ,11,Q x y -（）那么212
2,33x y y G +⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以2128
3323
3
x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以()1
28,82A
P （，），，所以:5480AP x y --= (Ⅱ)设2PQ y mx =+：
由2
28y mx x y
=+⎧⎨
=⎩得2
8160,x mx --=所以()1216,x x -=-即1216x x = 又设:AP y kx n =+
由28y kx n x y
=+⎧⎨=⎩得2880x kx n --=，所以12816,x x n =-=所以2n =- 所以2,AP y kx =-：即AP 过定点0-2E （，） 所以121211
2
OAP OEP OEA S S S S OE x x x x ∆∆∆==-=
-=- 2111
2
OFQ S S OF x x ∆==
⋅= 所以(
)2
2222
21221121223223232S S x x x x x x +=-+=-+≥-=
当且仅当7
9
4412
2,2
x x ==时等号成立
所以22
12S S +的最小值为
【点睛】此题主要考察抛物线的方程与性质、直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
2()ln R f x x a a x
=+-∈（）．
〔Ⅰ〕当3a =时，求()f x 在3
(,)e e 上的零点个数；
〔Ⅱ〕当3a <时，假设()f x 有两个零点12,x x ，求证：124<x +x <3e-2 【答案】(Ⅰ)有一个零点； (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】
(Ⅰ)对函数求导，将3a =代入函数，根据函数在3
(,)e e 单调性讨论它的零点个数。

(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求。

【详解】因为()22122
x f x x x x
='-=
-，()f x 在,2（0）上递增，2+∞（，）
递减 (Ⅰ)当3a =时，()()
3
3322221320,330f e f e e e e e
=+-=-<=+-=>
()f x 在3,e e （）上有一个零点
(Ⅱ)因为()f x 有两个零点，所以()20,f <即ln2101ln2a a +-<⇒<+. 设1202,x x <<<那么要证121244-x x x x +>⇔<，因为12244,2x x <-<> 又因为()f x 在2+∞（，）
上单调递增，所以只要证 ()()()12140f x f x f x -<==
设()()()4(02)g x f x f x x =--<<
那么()()()()
()()2
222282242
'''4044x x x g x f x f x x x x x ----=--=+=-<-- 所以()g x 在()0,2上单调递减，()()20g x g >=，所以124x x +> 因为()f x 有两个零点12,x x ，所以()()120f x f x == 方程()0f x =即2ln 0ax x x --=
构造函数()2ln ,h x ax x x =--那么()()120h x h x ==
()()1'1ln ,'0,a h x a x h x x e -=--=⇒=记121ln2a p e a -=>>+（）
那么()h x 在0p （，）上单调递增，在,p +∞（）上单调递减，所以()12
0h p x p x ⎧>⎨
<<⎩
设()
()()()2
22
214ln ln ,0x p p x p R
x x p R x x p x x p x x p --=--='-=>+++（）
（） 所以R x （）
递增，当x p >时，()()0R x R p >=当 0x p <<时，()0R x R p <=（） 所以()111111122ln ln x x p ax x x x p x p
--=<
++
即()()2
2
111111222ln ln ax x p x px x p x p p -+<-++
()2112ln 22ln 20p a x ap p p p x p +-+--++>（）〔1,ln 1a p e p a -==-〕
所以(
)2
1
1
112320a a x e x e
--+-+>，同理()
2
11222320a a x e x e --+-+<
所以(
)()
21
121122
11232232a a a a x e
x
e x e x e ----+-+<+-+
所以()(
)1
2121230a x x x x e
-⎡⎤-++-<⎣⎦，所以11
2
32a x x
e -+<-
由2a <得，-1
123232a x x e e +<-<-
综上：12432x x e <+<-
【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的零点、考察了构造函数证明不等式，意在考察计算才能、转化思想的应用，是关于函数导数的综合性题目，有一定的难度.
创作；朱本晓
2022年元月元日
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

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奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

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奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

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不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。

创作；朱本晓
2022年元月元日。