十章行波法和分离变量法本征值问题

（4）、用初始条件确定一般解的系数（傅立叶展开 ）
10
例10.1：长为l的均匀细杆，侧面绝热。杆的x=0端温度保持为 零度，另一端（x=l）按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设 外界温度恒为零度。已知杆的初始温度分布为f(x)。试求杆上 温度的变化（设热交换系数为h=b/k,其中b为传热系数和k为导 热系数）。
把
u(x,t)X(x)T(t)
代入波动方程 utt a2uxx 0
得 X T''a2X''T0
移项整理得变量分离等式： T '' X ''
a 2T X 由于x, t 是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。
T''(t) X''(x)
a2T(t) X(x)
引入公共实常数λ：
得出两个常微分方程：
T '' a 2T 0
20
6 Cmn的确定
由初始条件 u(x,y,t) f(x,y) to f(x ,y)m 0 ,n 1C n m sinn l1xsin(2 m 2 l2 1 )y
利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有
C n m l1 4 l20 l10 l2fx ,y s in n l1 x s in (2 m 2 l2 1 )y d x d y
X
''
X
0
② 边界值条件的分离变量与本征问题
把
u(x,t)X(x)T(t)
代入边界条件
u(x,t) x00 u(x,t) xl 0
X(0)T(t) 0 X(l)T(t)0
X |x0 0 X |xl 0
本征问题:
X"xXx0,
X00, Xl0
5
（2）求解本征值问题(非零解)
X"X0 X"X
l
n 2
na 2l
n=1时 1
a
l
, 基频
基波（决定了音调）
n>1 时 n
na
l
谐频 谐波（决定了音色）
2 分离变量法主要步骤：
（1）、将齐次偏微分方程求解问题转化为若干常微分方程 定解问题。 （2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征值 问题得出本征值与本征函数 （3）、将本征函数(满足边界条件)叠加成无穷级数，给 出一般解
泛定方程和边界条件皆是齐次的, 可以应用分离变量法
1 分离变量:
ut a2uxx 0 u x0 0 , ux hu xl 0
分离变量: u(x,t)X(x)T(t)
u t0 f x
X(0)T(t)0
定解问题转化为: XT'a2X''T0
X '(l)T (t) h X (l)T (t) 0
4 T方程T'a2 ：T 改写0为
T n m 'a2 n 2m 2T n m0 ;
此方程的解
T m n(t)B m nexp a2 n2 l1 22(2m 2 l1 2 2)22 t ;
n 1, 2,3L m 0,1, 2,3,L
本征解
u n m (x ,t)X n (x )Y m (y)T n m (t)
2 l
l 0
f
sin n d
/
2 l
l
sin 2
0
n d
l
l
f sin n d / sin2 n d
0
0
l
2
0
f
sin n d
/l
cos2 nl h
l
sinnxexpn2a2t fsinnd
u(x,t)2 n1
0
lcos2hnl
例10.2*：边长为l1，l2的矩形薄板，两
本征振动的线性叠加.上式正好是随位置变化的傅里叶正弦级数.
u (x ,t) n 1(A n c o sn la t B n sin n la t)sin n lx
（4）利用初始条件和三角函数族的正交性确定待定系数
初始条件： u t0 (x)
n1
An
sinnx
l
(x)
An
2l ()sinnd
上式应用到第二个边界条件：
tan l
h
12
引入量纲为1的量:
l, 1
hl
前式改写为:
tan
tan l
h
此方程是一个超越方程，只能用数值图解法求解（如图） 得本征值：
2n 2ln2 n1,2,3,L
相应本征函数：
Xn(x)C 2sinnx
13
X n (x ) C 2 s inn x(n 1 ,2 ,L )
u n ( x ,t) X n ( x ) T n ( t) ( A n c o s n la t B n s in n la t) s in n lxn1,2,3L
一般解
u (x ,t) n 1(A n c o sn la t B n sin n la t)sin n lx n1,2,3L
l0
l
ut t0 (x)
n1
nlaBnsinnlx(x)
Bn n2a0l()sinnld
（5）物理意义：
un ( x , t ) 是驻波，是两端固定弦的本征振动
节点数 n+1, 位置n x 即k :x=kl/n(k=0,1,2,┄n)
l
相邻节点之间距离等于半波长
波长= 2 l
n
本征频率 n
na , v
X|x0X|xl0 X|x0X|xl0
常微分方程的解：
① 0
X(x)C 1exC 2ex
0 边界条件： X(0) 0
X(l) 0
C1 C2 0 C1el C2e l 0
C1 C2 0
② 0
X(x)C1xC2
边界条件： X(0) 0
X(l) 0
C1 C2 0
C2 0 C1l C2 0
u(x,t) B % nsinnxexpn 2a2t n1 14
5 B~n的确定
u(x,t) B % nsinnxexpn 2a2t
n0
由初始条件 u(x) f(x)
to
u (x) f(x) t 0
B % nsinnx(0xl);
n 0
利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有
B%n
C n m C n 2 C m 2 B n m C n m sin n l1xsin (2 m 2 l2 1 )ye x p a 2 n 2 l1 22 (2 m 2 l1 2 2 )2
2 t
5 u(x,t)的通解
u ( x ,t) m 0 ,n 1 C n m s in n l1 x s in ( 2 m 2 l2 1 )y e x p a 2 n 2 l1 2 2 ( 2 m 2 l 1 2 2 ) 22 t
边界条件：
Y (0) 0
C m 1 0 Y (y ) C m 2s in y
Y(l2 ) 0
Cm 2cos
l20 cos
cos
l20, l20,
Cm 20 Cm 20
Cm2非零解
Cm20, cos l20
Hale Waihona Puke m2m2l12222(m0,1,2,3L)
Ym(y)Cm2sin(2m2l2 1)y
即关于时间与位置的二个方程:
X(0) 0
X''X0
( 0)
X'(l)hX(l)0
T'a2T0
2 X(x)方程和边界条件构成本征问题,得解:
X ( x ) C 1 c o sx C 2 s in x
由边界条件： X(0) 0
C1 0 ( 0)
得出：
X (x ) C 2s inxC 2 0
nx
Xn(x) C2 sin l
Xn(x)称本征函数
④对应于本征解Xn(x)的含时函数解：
解方程 T"a2T0
n
n 2 l2
2
n=1,2,3……
T t Tn t
Tn"(t)(nla)2Tn0
解 T n(t)A cosn latB sinn lat
A、B 是积分常数
（3）本征解与一般解
与n对应的本征解un(x,t)：{令C2A=An C2B=Bn}
X(x)
令
Y YY0
Y(y)
且
Tt TT0
T(t)
相应边界条件： X ( 0 ) 0 ,X ( l 1 ) 0 ,Y ( 0 ) 0 ,Y ( l 2 ) 0
初始条件： X (x )Y (y)T (0 )fx ,y 17
2 X(x)和Y(y)的常微分方程和边界条件构成本征问题:
X''X0
②设： (x,t)A (t)xB (t)
wxl 0
①弦在平衡位置的振动可用函数 T（t)描述； ②振幅随位置的变化可用函数 X（x)表示
驻波的数学表示：u(x,t)=X(x)T(t)。 这是一个变量可分离函数。
1 分离变量法 求解两端固定的弦长为l的均匀细弦的横振动。
写出定解问题：
弦横振动方程：u ttx ,t a2u x xx ,t0 (0xl,t0)
• 10.6
10.4 非齐次边界条件的处理
1、一般处理方法
u uttx0a2uxx(t),0,uxl v(t), ut0 (x), ut t0 (x),
齐次方程 第一类非齐次边界条件 非零初值
解：设计一个新函数,构成齐次边界条件的定解问题。
①令函数 x,t使 u(x,t)构成下列关系
u(x,t)(x,t)w (x,t) 目 标 wx00
10.3 一维有界区域自由振动问题
的驻波解 分离变量法
u 1
1
u2
波腹
驻波的数学描述：
0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波节
为简便起见研究两列反向
行进的同频率的波的叠加
u1=A cos(t-kx)， u2=A cos(t+kx)
驻波：u=u1+u2= A cos(t-kx)+ A cos(t+kx) =2A cos(2t) cos(2kx)
边界条件： 初始条件：
u(x,t) x00 u(x,t) xl 0
u t0 (x)
ut t0 (x)
1
由于两端固定，解应是驻波解，
0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
所以，解是变量分离的解。即
-0.5
u(x,t)X(x)T(t)
-1
（1）分离变量——建立常微分方程定解问题
①波动方程的分离变量--常微分方程：
③ 0
X(x)C 1ei xC2ei x
X(x)C 1exC 2ex
X (x ) C 1c o sx C 2sinx
边界条件： X(0) 0
X(l) 0
C1 0
C2sin
l0 sin
sin
l0, l0,
C20 C20
C2非零解
C20, sin l0
n
n 2 l2
2
λn只能取分列特定值 n1,2,3L(正整数)---称本征值
解：记杆上温度为u(x,t),写出热传导方程(如图)
0
u tx ,t a 2 u x x x ,t( a 2 k /c)
0
u(x,t)
0
u0 x / l u 0
初始条件：
ut 0fx (0xl)
0
lx
边界条件：
u(x,t) x00
零度保持不变；第一类边界条件
u x (x ,t) b u (x ,t)/kx l 0与外界有热交换；第三类边界条件
板面不透热，它的一边y=l2为绝热， 其余三边保持温度为零（见图）.设板
的的初始温度分布为f(x,y)。试求板内
的温度变化。
绝热 l2
0
l1
解：记板内任一点(x,y)的温度为u(x,y,t),满足定解问题(如图)
u t x , y , t a 2 u x x x , y , t u y y x , y , t ( 0 x l 1 , 0 y l 2 )
3 T方程 T'a2：T改0写为
此方程的解
Tn'n2a2Tn 0; Tn(t)Bnexpn 2a2t;
n1,2,3L
本征解
u n (x ,t) X n (x ) T n ( t)B % n C 2 B n B % n s inn x e x p n 2 a 2 t
4 u(x,t)的通解
Y''Y0
X(0) 0
X(l1) 0 Y (0) 0 Y(l2) 0
3 本征值和本征函数:
对于X(x)由前面讨论：
( 0)
n
n 2 2 l12
n1,2,3L
Xn(x)
Cn2
nx
sin l1
18
对于Y(y)类似前面讨论：
0 Y(y)C m 1ei xC m 2ei x
Y (y ) C m 1 c o s y C m 2s in y
ut a2 uxx uyy 0
u x00, u xl1 0,u y00, uy yl2 0
ut0 f x, y
定解问题转化为: X Y T 't a 2 X ''Y X Y T t 0
等式两边除: a2X(x)Y(y)T(t)
得出： 则
T't Y X
a2T(t) Y(y) X(x)
X XX0
初始条件： u (x,y,t)t 0fx,y
边界条件： u(x,t) x00 u( x, t) xl1 0 u(x,t) y0 0
零度保持不变；第一类边界条件
u y y l2 0
边界绝热； 第二类边界条件 泛定方程和边界条件皆是齐次的, 可以应用分离变量法
1 分离变量和本征问题:
分离变量: u (x ,y ,t) X (x )Y (y )T (t)