2019-2020学年伊犁州奎屯一中高一(下)第一次月考数学试卷(文科)(含解析)

2019-2020学年伊犁州奎屯一中高一(下)第一次月考数学试卷(文科)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.在等差数列{a n}中，已知a1与a11的等差中项是15，a1+a2+a3=9，则a9=()
A. 24
B. 18
C. 12
D. 6
2.三角形ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a+c=2b且角B 的余弦值是方程4x2−8x+
3=0的一个根，角B的大小和ΔABC的形状分别为()
A. π
6，等腰三角形 B. π
6
，直角三角形
C. π
3，等边三角形 D. π
4
，等腰三角形
3.已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=()
A. 12
B. 10
C. 12√2
D. 6√2
4.在△ABC中，asinAsinB+bcos2A=√2a，则b
a
等于()
A. 2√3
B. 2√2
C. √3
D. √2
5.若a<b<0，则下列不等式不成立是()
A. 1
a−b >1
a
B. 1
a
>1
b
C. |a|>|b|
D. a2>b2
6.数列{a n}中，a n+1=a n
1+3a n
，且a1=2，则a n等于()
A. 16
5n−1B. 2
6n−5
C. 4
6n−5
D. 4
3n−1
7.数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=2n+1，则a7等于()
A. 4
B. 4√2
C. 8
D. 16
8.在△ABC中，a=9，b=2√3，C=150°，则c=()
A. √39
B. 7√3
C. 10√2
D. 8√3
9.已知3−a
4和4的等比中项为√2b，且a>1，则2
a−1
+1
b2
的最小值为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
10.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=3，则边b=()
A. 5√2
B. 4√2
C. 3√2
D. 2√2
11.已知f(x)=x2−x+1，当x∈[−1,1]时，不等式f(x)>2x+m恒成立，则实数m的取值范围
是()
A. (−∞,−2)
B. (−2,0)∪(0,1)
C. (−∞,−1)
D. (−1,2)
12. 若实数x,y 满足xy +6x =4(0<x <2
3)，则4
x +1
y 的最小值为( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式2x+1
x−1<3的解集是________．
14. 在△ABC 中，已知A =2B ，cosC =0，则a ︰b ︰c =________． 15. 在等差数列{a n }中，a 1>0，S 3=S 10，当n =___________时，S n 最大。

16. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n+1a n
<1，若a 3+a 5=20，a 3a 5=64，则S 4=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C =4：5：6，且a +b +c =30，求a ．
18. 已知等差数列{a n }的公差d <0，a 1=20，且a 7是a 3与a 9的等比中项．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值及对应的n 的值．
19.(Ⅰ)若函数f(x)=√x2−kx−k定义域为R，求k的取值范围；
(Ⅱ)解关于x的不等式(x−a)(x+a−1)>0．
20.在△ABC中，a2+c2=b2+√2ac
(1)求角B的大小
(2)求√2cosA+cosC的最大值．
21.已知数列{a n}是等差数列，a1=2，a3=6．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=2
，求数列{b n}的前n项和S n．
n(a n+2)
22.在等比数列{a n}中，a1=2,a4=16.
(1)求等比数列{a n}的通项公式;
(n∈N+)，求数列的前n项和．
(2)令b n=1
log2a n.log2a n+1
【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题考查等差数列的通项公式，难度一般．
由等差数列的通项公式和已知条件列方程组计算出a 1、d ，从而求出a 9． 解：等差数列{a n }中，a 1+a 11=30，a 1+a 2+a 3=9， 所以{2a 1+10d =303a 1+3d =9，解得{a 1=0d =3，
则a 9=0+8×3=24． 故选A ．
2.答案：C
解析：
本题考查了正弦定理，辅助角公式的运用，由题意先求得cos B = 1
2，再由正弦定理得sin A +sin C =2sin B ，故可得sin A +sin (2π
3−A)=√3，再展开由辅助角公式可解得C ，故可得答案． 解：由题意得，4cos 2B −8cosB +3=0， 即(2cosB −1)(2cosB −3)=0， 解得cos B = 1
2 或cos B = 32 (舍去)， ∵0<B <π，∴B = π
3， ∵a +c =2b ．
由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin π
3 =√3， ∴sin A +sin (2π
3−A)=√3，
∴sin A +sin 2π
3 cos A −cos 2π
3 sin A = √3，
化简得 3
2 sin A + √3
2
cos A = √3 ，
∴sin (A +π
6) =1，
∵0<A<π，∴A+π
6=π
2
．
∴A=π
3，C=π
3
，
∴△ABC是等边三角形．
故选C．
3.答案：A
解析：
本题主要考查等比数列的概念和通项公式，属于基础题．
根据等比数列的通项公式结合a3+a5=6求解q2的值，从而得到a5+a7的值．解：设等比数列{a n}的公比为q，
则a3+a5=a1(q2+q4)=q2+q4=6，
解得q2=2，
则a5+a7=q2(a3+a5)=12．
故选A．
4.答案：D
解析：解：∵asinAsinB+bcos2A=√2a，
∴由正弦定理可得sin2AsinB+sinBcos2A=√2sinA，
又∵sin2A+cos2A=1
∴sinB=√2sinA，
∴b=√2a，
∴b
a
=√2，
故选：D．
利用正弦定理把已知等式中边转换为角的正弦，化简整理即可求得答案．
本题主要考查了正弦定理，属于基础题．
5.答案：A
解析：
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 利用不等式的基本性质即可得出． 解：∵a <b <0， ∴−a >−b >0，
∴|a|>|b|，a 2>b 2，a
ab <b
ab 即1
b <1
a ， 可知：B ，C ，D 都正确， 因此A 不正确． 故选A ．
6.答案：B
解析：解：∵a n+1=a
n
1+3a n ，
∴1
a
n+1
=
1+3a n a n
=1a n
+3即1
a
n+1
−1
a n
=3
∴数列{1
a n
}是首项为1
2，公差为3的等差数列
则1a n
=12+(n −1)×3=3n −52=
6n−52
∴a n =
2
6n−5
故选B ．
先将等式a n+1=a n
1+3a n 两边同取倒数，可得1
a
n+1
=
1+3a n a n
=1a n
+3即1
a
n+1
−1a n
=3，则数列{1
a n
}是首项
为12，公差为3的等差数列，求出数列{1
a n
}的通项公式，从而求出所求．
本题主要考查了数列的递推关系，以及利用构造新数列求数列的通项公式，同时考查了转化的思想，属于中档题．
7.答案：C
解析：解：数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1， 可得a n−1a n =2n ， 所以a n+1=2a n−1， 所以a 7=23a 1=8． 故选：C ．
利用递推关系式，推出数列性质，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
8.答案：B
解析：
本题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．
由余弦定理得到c2=a2+b2−2abcosC，将a，b及cos C的值代入，即可求出c的值．
解析：
解：∵a=9，b=2√3，C=150°，
∴由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，
得：c2=81+12−36√3×(−√3
2
)=147，
则c=7√3，
故选B．
9.答案：A
解析：
本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，属中档题．
根据等比中项的概念，建立方程关系，得到a+2b2=3，利用2的代换，结合基本不等式进行求解即可．
解：∵√2b是 3−a4与4的等比中项，
∴4×3−a
4
=(√2b)2，
即3−a=2b2，则a+2b2=3，
则2(2
a−1+1
b2
)=2(2
a−1
+2
2b2
)
=(a−1+2b2)(
2
a−1
+
2
2b2
)
=2+2+
4b2
a−1
+
2(a−1)
2b2
≥4+2√4b2
a−1×2(a−1)
2b2
=8，
当且仅当4b2
a−1=2(a−1)
2b2
，即a=2，2b2=1时取等号，
即2a−1+1
b 2的最小值为4， 故选A ．
10.答案：C
解析：
本题主要考查正弦定理的应用．
∵B =135°，C =15°， ∴A =180°−B −C =30°， ∴由正弦定理a
sinA =b
sinB ，得b =3×
√2212
=3√2．
故选C ．
11.答案：C
解析：
本题考查二次不等式恒成立问题，求出y =x 2−3x +1的最小值，然后利用(x 2−3x +1)min >m 求解即可．
解：∵f(x)=x 2−x +1，当x ∈[−1,1]时，不等式f(x)>2x +m 恒成立， ∴x 2−x +1>2x +m ，x ∈[−1,1]时恒成立， 即x 2−3x +1>m ，x ∈[−1,1]时恒成立． 令y =x 2−3x +1，当x =1时，y min =−1， 所以只需m <−1． 故答案为(−∞,−1)． 故选C ．
12.答案：B
解析：
本题主要考查了基本不等式的运用，运用基本不等式求最值，考查了分析能力和运用能力，属于中档题．
根据xy +6x =4(0<x <2
3)，可得y +6=4
x ，根据0<x <2
3，可得y +6=4
x >6，即y >0，将其带入4
x +1
y 可得
xy+6x x
+1y =y +1
y +6，再用基本不等式求解即可．
解：∵xy +6x =4(0<x <2
3)，变形得y +6=4
x ，
∵0<x <2
3， ∴y +6=4
x >6，
∴y >0， ∴4
x +1
y =
xy+6x x
+1y =y +1y +6≥2√y ·1
y +6=2+6=8，
当且仅当“y =1
y ”时取“=”， ∴4
x +1
y 的最小值为8， 故选B ．
13.答案：(−∞,1)∪(4,+∞)
解析：
本题主要考查简单分式不等式的求解，解题的关键是对分式不等式进行等价转化． 将原不等式转化为解(x −1)(x −4)>0,即可．
解：不等式2x+1
x−1<3可化为2x+1
x−1−3<0，即−x+4
x−1<0⇔(x −1)(x −4)>0, 解得：x >4或x <1，
所以原不等式的解集为(−∞,1)∪(4,+∞)， 故答案为(−∞,1)∪(4,+∞)．
14.答案：√3:1:2
解析：
本题主要考查正弦定理，属基础题.根据正弦定理可知a:b:c =sinA:sinB:sinC ，从而得答案． 解：∵cosC =0，0<C <π， ∴C =π
2，
又A =2B ，A +B +C =π， 所以B =π
6，A =π
3， ∴sinA =
√3
2，sinB =1
2，sinC =1，
由正弦定理可知：a:b:c =sinA:sinB:sinC ， ∴a:b:c =√3:1:2，
故答案为√3:1:2．
15.答案：6和7
解析：
由等差数列的性质和求和公式易得a 7=0，结合a 1>0可得a 8>0，a 7=0，a 6<0，从而可求． 本题考查等差数列的前n 项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题． 解：∵等差数列{a n }中，S 3=S 10，
∴S 10−S 3=7a 7=0，则a 7=0，
∵a 1>0
∴d =a 7−a 16=−16a 1<0， ∴a 6>0，a 8<0，
∴等差数列{a n }中前6项为正数，从第8项开始为负数，
∴当S n 取最大值时，n 的值为6和7，
故答案为6和7．
16.答案：120
解析：
本题主要考查等比数列的通项公式，以及求和．
解：因为数列是正项数列，且为递减数列，
根据题意得，{a 1q 2+a 1q 4=20a 1q 2a 1q 4=64，解得{q =12a 1=64
或{q =2a 1=1(舍)， 所以S 4=64×(1−(12)4)
1−12=120，
故答案为120．
17.答案：解：∵sin A ：sin B ：sin C =4：5：6，
由正弦定理可得：a ：b ：c =4：5：6，
又∵a +b +c =30，
∴a =30×44+5+6=8．
解析：由sin A ：sin B ：sin C =4：5：6，利用正弦定理可得：a ：b ：c =4：5：6，即可得出． 本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
18.答案：解：(1)∵a 7是a 3与a 9的等比中项，
∴a 72=a 3a 9，即(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)，
整理得2a 1d +20d 2=0．
∵d <0，a 1=20，∴d =−2．
故a n =20−2(n −1)=−2n +22；
(2)∵d =−2，a 1=20，∴S n =na 1+
n(n−1)2d =−n 2+21n ， ∴S n =−(n −212)2+(212)2， 当n =10或n =11时，S n 取得最大值．
故当n =10或n =11时，S n 取最大值110．
解析：(1)由a 7是a 3与a 9的等比中项列关于首项与公差的等式，得到2a 1d +20d 2=0，结合d <0，a 1=20，求得d =−2.则{a n }的通项公式可求；
(2)写出等差数列的前n 项和，再由二次函数求最值．
本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查等比数列的性质，训练了利用二次函数求最值，是中档题．
19.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=√x 2−kx −k 定义域为R ，∴x 2−kx −k ≥0恒成立，
∴Δ=k 2−4(−k)≤0，∴−4≤k ≤0，
(Ⅱ)解不等式(x −a)(x +a −1)>0对应方程的实数根为a 和1−a ；
①当1−a =a ，即a =12时，不等式化为(x −12)2>0，∴x ≠12，
∴不等式的解集为{x|x ≠12}；
②当1−a >a ，即a <12时，解得x >1−a 或x <a ，
∴不等式的解集为{x|x >1−a 或x <a}；
③当1−a <a ，即a >12时，解得x >a 或x <1−a ，
∴不等式的解集为{x|x >a 或x <1−a}．
综上，当a =12时，不等式的解集为{x|x ≠1
2}；
当a <12时，不等式的解集为{x|x >1−a 或x <a}； 当a >12时，不等式的解集为{x|x >a 或x <1−a}．
解析：本题考查了不等式的解法，对a 正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，属于基础题． (Ⅰ)由题意可得x 2−kx −k ≥0恒成立，根据判别式即可求出．
(Ⅱ)对a 分类讨论，求出其解集即可．
20.答案：解：(1)由余弦定理及题设，得，
， 又因为0<B <π，
所以B =π4．
(2)由(1)知A +C =3π
4，
=√2cosA −
√22cosA +√22sinA =√22cosA +√22
sinA =cos(A −π4)， 因为0<A <
3π
4， 所以当A =π4时，√2cosA +cosC 取得最大值1．
解析：此题考查余弦定理和三角恒等变换，属于中档题．
(1)根据余弦定理可得角B ；
(2)将原式转换为cos(A −π
4)，根据A 的取值范围可得答案． 21.答案：解：(1)设数列{a n }的公差为d ，
由a 1=2，a 3=6．
可得2+2d =6，解得d =2．
∴a n =2+2(n −1)=2n ．
即数列{a n }的通项公式为a n =2n ．
(2)b n =2n(a n +2)=2n(2n+2)=1n −1n+1． ∴数列{b n }的前n 项和S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=n n+1．
解析：(1)利用等差数列的通项公式即可得出．
(2)b n =2
n(2n+2)=1n −1n+1.利用“裂项求和”即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.答案：解：(1)因为 a 1=2,a 4=16，
即q 3=a
4a 1=8，解得q =2， ∴a n =2×2n−1=2n .
(2) ，
S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1
) =1−
1n +1
=n n+1．
解析：本题考查了等比数列的通项公式、裂项相消法求和、对数的运算法则，考查了计算能力，属于中档题．
(1)根据所给的项求出公比，代入等比数列的通项公式即可求出通项；
(2)先求出数列的通项，然后利用裂项求和的思想求出前n 项和．。