安徽省马鞍山市2023-2024学年高二下学期阶段性检测上学试题含答案

马鞍山高二下学期阶段性检测数学试题（答案在最后）
本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（其中O 为坐标原点）（
）
A.OM OA OB OC
=-- B.111532
OM OA OB OC
=++
C.0OM OA OB OC +++=
D.0
MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r
【答案】D 【解析】
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.
【详解】空间向量共面定理：OM xOA yOB zOC =++
，若,,A B C 不共线，且,,,A B C M 共面，其充要条件是1x y z ++=.
对A ，因为1111--≠，所以,,,A B C M 四点不共面；对B ，因为11131
153230
++=
≠，所以,,,A B C M 四点不共面；对C ，由0OM OA OB OC +++= 可得OM OA OB OC =---
，
因为11131---=-≠，所以,,,A B C M 四点不共面；
对D ，由0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r
可得0OA OM OB OM OC OM -+-+-= ，即111333OM OA OB OC =++ ，因为111
1333
++=，所以,,,A B C M 四点共面.
故选：D
2.椭圆2221(1)x y a a
+=>的离心率为1
2，则=a （
）
A.
3
B.
C.
D.2
【答案】A 【解析】
【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得12
e a ==
，解得
3a =，故选：A.
3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（）
A.120
B.140
C.160
D.180
【答案】C 【解析】
【分析】利用下标和性质先求出512a a +的值，然后根据前n 项和公式结合下标和性质求解出16S 的值.【详解】因为37526a a a +==，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()
116165121681602
a a S a a +⨯==+=，
故选：C.
4.若()f x 在R 上可导，()()2
3522f x x f x =-'-，则()2f '=（
）
A.1
B.－1
C.－2
D.2
【答案】D 【解析】
【分析】求出导数，再代值计算即可.
【详解】解：由()()2
3522f x x f x =-'-，可得()()'
652f
x x f =-'，
所以()()'
26252f
f =⨯-'，解得()'22f =.
故选：D .
5.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，
会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记1OA ，2OA ，
L ，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则25a =（
）
A.25
B.24
C.5
D.4
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意可推出11a =，且()2
2112n n a a n -=+≥，从而说明数列{}
2
n a 是以1为首项，1为公差的等
差数列，求得数列{}n a 的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意知，11223781OA A A A A A A ===== ，
12OA A △，23OA A △，L ，78OA A ，L 都是直角三角形，
11a ∴=，且()22
112n n a a n -=+≥，故()22112n n a a n --=≥，∴数列{}
2
n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，()2111n a n n ∴=+-⨯=．
又0n a >，n a n ∴=
∴数列{}n a 的通项公式为n a n =
，
25255a ∴==，
故选：C ．
6.如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===
160DAA ∠=︒，
1120BAD BAA ∠=∠=︒，则线段1AC 的长度为（
）．
A
.
2
B.
3
C.2
D.
5
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，取向量1,,AB AD AA
为基底，进而根据向量模的计算公式计算即可.【详解】解：根据题意，取向量1,,AB AD AA
为基底，
则11AC AB AD AA =++ ，
所以22211211222AB AD AA AB AD AB AA AA A AC D +++⋅+⋅+⋅= 222222222222+++++=
2222224++-+=-=，所以12
AC =
所以线段1AC 的长度为为2故选：C
7.设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线32x a =上一点，21F PF 是
底角为30︒的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.
3
3
B.
12
C.
32
D.
34
【答案】D 【解析】
【分析】由21F PF 是底角为30︒的等腰三角形，把212PF F F =用,a c 表示出来后可求得离心率．【详解】解：由题意可得212PF F F =，2(,0)F c ，如图，121230PF F F PF ∠=∠=︒，则260PF E ∠=︒，
230F PE ∠=︒，
所以223222
PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，
所以3222a c c ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，∴34a c =，∴34e =
．
故选：D ．
8.已知函数()2
3ln a f x x x x x =-+
，若m ∀，()0,n ∈+∞，且m n ≠时，都有()()22
0nf m mf n m n n m
->-，则实数a 的取值范围是（）A.
(),16-∞- B.
(]
,16-∞- C.
()
,2-∞- D.
(]
,2-∞-【答案】D 【解析】
【分析】令()()f x g x x
=
，由定义得出其单调性，进而得出3223a x x ≤-在()0,∞+上恒成立，再由导数
得出()3
2
3h x x x =-的最小值，即可得出实数a 的取值范围.
【详解】令()()2
3ln f x a
g x x x x
x =
=-+
因为m ∀，()0,n ∈+∞，且m n ≠时，都有
()()2
2
0nf m mf n m n n m
->-，
即m ∀，()0,n ∈+∞，且m n ≠时，都有()()
0f m f n n m n
m -
>-，
所以()g x 在()0,∞+上单调递增，
即()33210a
g x x x
'=-
-≥在()0,∞+上恒成立，即3223a x x ≤-在()0,∞+上恒成立．令()3
2
3h x x x =-，()0,x ∈+∞，所以()()2
3632h x x x x x '=-=-，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 24h x h ==-，所以24a ≤-，即2a ≤-．故选：D ．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知平面α 平面l β=，B ，D 是l 上两点，直线AB α⊂且AB l B = ，直线CD β⊂且CD l D = ．下列结论中，错误的有（
）
A.若AB l ⊥，CD l ⊥，且AB CD =，则ABCD 是平行四边形
B.若M 是AB 中点，N 是CD 中点，则MN AC ∥
C.若αβ⊥，AB l ⊥，AC l ⊥，则CD 在α上的射影是BD
D.直线AB ，CD 所成角的大小与二面角l αβ--的大小相等【答案】ABD 【解析】
【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.
【详解】对于A ，由题意，AB ，CD 为异面直线，所以四边形ABCD 为空间四边形，不能为平行四边形，故A 错误；
对于B ，取BC 的中点H ,连接HM ,则HM 是ABC 的中位线，所以//HM AC ，因为HM 与MN 相交，所以MN 与AC 不平行，B 错误；对于C ，若,AB l AC l ⊥⊥，所以由线面垂直的判定可得l
⊥平面ABC ，所以l BC ⊥，
由αβ⊥结合面面垂直的性质可得BC α⊥，所以点C 在平面α内的投影为点D ,所以CD 在平面α内的投影为BD ，故C 正确；
对于D,由二面角的定义可得当且仅当,AB l CD l ⊥⊥时，直线AB ，CD 所成的角或其补角才为二面角的大小，故D 错误.故选：ABD.
10.已知直线()():120R l a x y a a +++=∈与圆()2
2:24C x y +-=，则（
）
A.直线l 必过定点
B.当1a =时，l 被圆C 截得的弦长为455
C.直线l 与圆C 可能相切
D.直线l 与圆C 不可能相离
【答案】ABD 【解析】
【分析】将直线l 变形为()20x y a x +++=，即可求定点坐标，即可判断A ；根据弦长公式求弦长，判断B ；根据直线l 所过定点与圆C 的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.【详解】A.():20l x y a x +++=，联立020x y x +=⎧⎨
+=⎩，得2
2
x y =-⎧⎨=⎩，所以直线过点()2,2-，故A 正确；
B.当1a =时，:220l x y ++=，圆心()0,2到直线l 的距离2
2
445
21
d =
=
+224
55
r d =-=
，故B 正确；C.直线所过定点()2,2-在圆上，过点()2,2-与圆C 相切的直线是2x =-，
但直线()():120R l a x y a a +++=∈，表示斜率存在的直线，表示不了直线2x =-，故不存在直线l 与圆C 相切，故C 错误；
D.直线所过定点()2,2-在圆上，所以直线l 与圆C 总有公共点，不可能相离，故D 正确.故选：ABD
11.对于函数2
2ln ()x
f x x =，下列说法正确的有（）
A.()f x 在e x =1
e
B.()f x 只有一个零点
C.(2)f f >
D.若()21
f x k x
<-在()0+∞上恒成立，则e k >【答案】AB 【解析】
【分析】对A ，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B ，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C ，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D ，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．
【详解】对于A ， 函数2
2ln ()x f x x =，2
432ln 224ln ()(0)2x x x
x x f x x x x
⨯-⨯-'∴==>，令()0f x '=，即4ln 2x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数，
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数，
()f x ∴
在x =
()
2
2ln 1
f e =
=
，故A 正确；
对于B ，()f x
在上为单调递增函数，()22ln1
101
f == ，∴函数()f x
在上有唯一零点，
当x ≥
2ln ()0x
f x x
=
>恒成立，即函数()f x
在)
+∞上没有零点，故()f x 有唯一零点，故B 正确；对于C ，()f x
在)+∞
上为单调递减函数，2>>
(2)f f ∴<，故C 错误；
对与D ，由()2
1f x k x
<-
在()0,∞+上恒成立，即()2212ln 1
x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2
2ln 1x g x x
+=，则()34ln x
g x x -='，令()0g x '=，解得：1x =，∴当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递增；
当1x >时，()0g x '
<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，
∴当1x =时，函数()g x 取得最大值，最大值为(1)1g =，1k >，故D 错误．
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数()2
ln 2f x x x =-在点()()
1,1f 处的切线过点(),,0,0a b a b >>，则
13
a b
+的最小值为__________.【答案】12【解析】
【分析】根据导数的几何意义求得函数()2
ln 2f x x x =-在点()()
1,1f 处的切线方程，可推出31a b +=，
将
13
a b +化为13()a b a b
++，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由函数()2
ln 2f x x x =-可得()14f x x x
'=-，
则()(113,)2f f '=-=-，
故函数()2
ln 2f x x x =-在点()()
1,1f 处的切线方程为23(1)y x +=--，即310x y +-=，
则由题意可得310,31a b a b +-=∴+=，
故
1313()(3)69612b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当9b a a b =，即11
,62
a b ==取等号，即
13
a b
+的最小值为12，故答案为：12
13.已知数列{}n a 满足2
122111,,416
n n n a a a a a ++===，则n a 的最小值为______．
【答案】164
【解析】
【分析】由题意可得数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为21116a a =，公比为4的等比数列，由累乘法求出{}n a ，结合指数
函数和二次函数的性质求即可得出答案.【详解】因为2
122111,,416
n n n a a a a a ++==
=，所以0n
a ≠，所以2114n n n n a a a a +++=，因此数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为21116a a =，公比为4的等比数列，
所以
1311
4416
n n n n a a --+=⨯=，当2n ≥时，(
)()
16452
122
1121
44414n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=
⋅⋅⋯⋅⋅=⨯⨯⋯⨯⨯=，
因为1n =时，()()
162
14
1n n a --==，所以()()
2
172516228
24
4
n n n n a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭==，
因此当3n =或4n =时，n a 取得最小值，为3
1464
-=
.故答案为：
164
.14.若P ，Q 分别是抛物线2x y =与圆()2
231x y -+=上的点，则PQ 的最小值为________．
1-
##1-【解析】
【分析】设点()
2
00,P x x ，圆心()3,0C ，PQ 的最小值即为CP 的最小值减去圆的半径，求出CP 的最
小值即可得解．
【详解】依题可设()
2
00,P x x ，圆心()3,0C ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
PQ 的最小值即为CP 的最小值减去半径．
因为()()
2
2
2
2
42
0000030
69CP x x x x x =-+-=+-+，x ∈R ，
设()4
2
69f x x x x =+-+，
()()(
)
3
2
42621223f x x x x x x =+-=-++'，由于2
215
2232022x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝
⎭恒成立，
所以函数()f x 在(),1-∞上递减，在()1,+∞上递增，即()min 15f f ==，
所以min 1CP =
>，即PQ 的
1-．
1．
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应出文学说明、证明过程或演算步骤
15.已知圆C 的方程为x 2﹣2x +y 2﹣3＝0．（1）求过点（3，2）且与圆C 相切的直线方程；
（2）若直线y ＝x +1与圆C 相交于A ，B ，求弦长|AB |的值．【答案】（1）y ＝2或x ＝3；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出圆心与半径r ，①当直线斜率不存在时，验证是否满足题意．②当直线斜率存在时，可设斜率为k ，直线方程为y ﹣2＝k （x ﹣3），利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）利用点到直线的距离，结合圆的半径计算弦长即可．
【小问1详解】
圆的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝4，圆心为C （1，0），半径r ＝2，
①当直线斜率不存在时，由过点（3，2）得直线方程为x ＝3，与（1，0）的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k ，直线方程为y ﹣2＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +2﹣3k ＝0，
圆心（1，0）到直线的距离
2d -+--=
，解得k ＝0．∴直线方程为y ＝2．
综上，所求直线方程为y ＝2或x ＝3．
【小问2详解】
圆心C （1，0）到直线y ＝x +1与的距离
d ==，
又半径r ＝2，∴弦长|AB |＝==．
16.在四棱锥P ABCD -中PD
⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，24PD DC ==，PB =，点E
在PB 上.
（1）求证：AC ⊥平面PBD ；
（2）若E 为PB 中点，求直线PB 与平面CDE 所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2
）95
【解析】
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理，即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【小问1详解】
∵PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ⊥，
又在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，
所以AC ⊥平面PBD .
【小问2详解】
设AC ，BD 相交于点O ，∵E 为PB 中点，∴//OE PD
∴OE ⊥底面ABCD ，以O 为原点OA ，OB ，OE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图直角坐标系
.4PD =
，PB =，2BD =，而菱形ABCD 的边长为2，
则ABD △，CBD △
为正三角形，∴AO =
∴)A ，()0,1,0B
，()
C ，()0,1,0
D -，()0,0,2
E ，()0,1,4P -.∴()0,2,4PB =-
，)1,0CD =-
，)
2CE = ，设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =
，则020
n CD y n CE z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =
，y =
z =
(2,n = ，设PB 与平面CDE 所成的角为θ，
则sin cos ,95
n PB θ== .
17.已知各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，其前n 项和记为n S ，且222*12,2,n n n
S S n n n a --=≥∈N ，数列{}n b 满足*
1,n n n b a a n +=+∈N ．（1）求23100,,a a S ；
（2）求数列{}3n n b ⋅的前n 项和n T ．
【答案】（1）26a =；34a =；10010101
S =（2）123
3,N*
n n T n n +=⋅+∈【解析】
【分析】（1）首先利用数列n a 与n S 的关系，求得212n n S S n -+=，再赋值求23,a a ，再利用2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可求得100S ；
（2）由（1）可知，()21,13342,2n n
n n n c b n n =⎧==⎨+≥⎩，再利用错位相减法求和.【小问1详解】
因为()22221122n n n n n S S n a n S S ---==-，2n ≥，又数列{}n a 各项均不为零，所以212n n S S n -+=．当2n =时，211218S S a a a +=++=，所以26a =，
当3n =时，()32123218S S a a a +=++=，所以34a =，
()21212,221,1
n n n n S S n n S S n n -+⎧+=≥⎪⎨+=+≥⎪⎩ ，两式相减可得142n n a a n ++=+，2n ≥，∴()()()()100123499100164399249
S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++⨯399744998101012
+=+⨯⨯+=；【小问2详解】由（1）可知，7,142,2n n b n n =⎧=⎨
+≥⎩，设()21,13342,2n n n n n c b n n =⎧==⎨+≥⎩
，当1n =时，数列{}n c 的前n 项和为21，
当2n ≥，数列{}n c 的前n 项和为，
()()()
232134223432...342n n T n =+⨯++⨯++++()2321310314...342n n ⎡⎤=+⨯+⨯++⋅+⎣⎦
设()23310314...342n
n T n =⨯+⨯++⨯+'3n T '=()()341310314...342342n n n n +⨯+⨯++⨯-+⨯+，
两式相减得()()341290433...3342n n n T n +-=++++-⨯+'，
()()2
12713290434213
n n n T n -+--=+⨯-⨯+-'，解得：11823n n T n +'=-+⋅，
所以11211823
233n n n T n n ++=-+⋅=⋅+，2n ≥，当1n =时，2123321
T =⋅+=所以1233,N*n n T n n +=⋅+∈.
18.设函数()e x f x ax =-，a ∈R ．
（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；
（2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）若()f x x ≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()e 1y x
=-（2）答案见解析
（3）1e 1
a -≤≤-【解析】
【分析】（1）求出()1f '，()1f ，写出切线方程；
（2）()e x f x a '=-，讨论0a ≤，0a >，确定()f x '的正负找出()f x 单调区间.（3）()()e 10x
g x a x =-+≥恒成立，讨论()g x 的单调性，由()min 0g x ≥得a 的取值范围．【小问1详解】
∵()e x f x x =-∴()e 1x f x '=-，()1e 1f '=-，()1e 1f =-，
∴切线方程为：()()()e 11e 1e 1y x x =--+-=-.
【小问2详解】
()e x f x a '=-，
①当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；
②当0a >时，e 0x a -=，ln x a
=()
,ln a -∞ln a ()ln ,a +∞()
f x '负0正()
f x 减极小值增
综上所述：0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ；
0a >时，()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间()ln ,a +∞.
【小问3详解】
()()0f x x f x x ≥⇔-≥，
令()()()e 1x g x f x x a x =-=-+，即()0g x ≥，()()e 1x
g x a ='-+.①10a +<时，()0g x '>，()g x 单调递增，111e 101a g a +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭
，故()0g x ≥不成立，舍去.②10a +=时，()0g x ≥恒成立，此时1a =-.
③10a +>时，由（2）知，()()()ln 1g x g a ≥+，故只需()()
ln 10g a +≥即可，()()()()()()ln 111ln 10g a a a a +=+-++≥，
即()ln 1101e 1e 1a a a +≤∴<+≤∴-<≤-，
，.综上所述：1e 1a -≤≤-.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；
（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.
19.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>
过点(A 且焦距为10．（1）求C 的方程；
（2）过点()2,0作直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，求直线l 斜率的取值范围．
（3）
已知点(()6,,3,0B D ，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 手G ，H 两点．证明：GD
HD
GE HE =．
【答案】（1）22
1187
x y -=（2
）226k k k ⎧⎪-<<≠±⎨⎬⎪⎪⎩⎭
且（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；
（2）设:(2)l y k x =-，与双曲线22:1187
x y C -=联立由直线与双曲线的位置关系求解即可；（3）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||
GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅ ，设出直线:(3)3t DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y ，(6,)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．
【小问1详解】
由题意可得：22367110a b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩
，故a b ==C 的方程为22
1187x y -=．【小问2详解】
由题意可知直线l 的斜率存在，设:(2)l y k x =-，与双曲线22:1187x y C -=联立得：()()
222271872721260k x k x k -+-+=．因为直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，所以27180k -≠且0∆>，
由27180k -≠
，得6k ≠±
，由()()()()22
222Δ7247187212628126210k k k k =+-⋅+=⨯-+>，得221k <，
解得：22
k -<<直线l
斜率的取值范围为226k k k ⎧⎪-<<≠±⎨⎬⎪⎪⎩⎭
且．【小问3详解】
设(6,)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，
当6x =时，即2
361187
y -=
，解得y =
，则t <
双曲线的渐近线方程为7
y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线DE 方程为()31437
y x =±-，令6x =
，则7y =±
，故7t ≠．则直线:(3)3
t DE y x =-．由22(3)31187t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()
22227212181260t x t x t -+--=，所以21221227t x x t +=-，21221812627
t x x t +=-．
因为()2121222121466332727t t t t y y x x t t ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭，()()()222121212122733399927t t t y y x x x x x x t ⎡⎤=--=-++=⎣
⎦-()()()()
112211223,6,6,3,GD HE GE DH x y x t y x t y x y ⋅-⋅=--⋅-----⋅- ()()1212121222936x x y y x x t y y =+-+-++，
222222218126712142293627272727
t t t t t t t t t +=⋅+⋅-⋅-⋅----2222
222232256614108143627272727
t t t t t t t t +=+--+----2222223625214108147225229
t t t t t t ++--+-=-0=．
所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos 0cos 0
GD HE GE DH = 即||||||||
GD HD GE HE =．
【点睛】关键点睛：本题第三问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设(6,)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.。