第七节一阶常系数线性差分方程
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
一阶线性常系数差分方程及其应用
r=[.09;.09;-.1;-.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; % 增长率
x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];
% 初始值
for n=1:20
x(:,n+1)=(1+r).*x(:,n);
% 迭代计算
end s{1}='单调增趋于正无穷大,r>0,x_0>0';
3.2.4 按揭贷款
1. 问题提出
购买商品房，首付至少两成，余款做按揭贷款， 如何设计合适的按揭计划.
2. 问题分析
个人住房按揭贷款通常有两种分期还本付息方 式，一种是等额本息还款法，每月还款计算公式为：
每月还款额=贷款本金×月利率× （1+月利率）还款月数/[（1+月利率）还款月数-1]
3.2.4 按揭贷款
解答（续） 结论 （1）在中等和较差的自然环境下，由于 1 r 0 ，且 x0 0 ，所以 xk 单调衰减趋于 0，即沙 丘鹤将濒于灭绝；在 1 r 0 范围内，r 的绝对值越 大， xk 单调衰减得越快. （2）在较好的自然环境下，由于 r 0 ，且 x0 0 ， 所以 xk 单调增趋于无穷大，即沙丘鹤数量将无限增长.
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 增 趋 于 正 无 穷 大 ,r>0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 负 无 穷 大 ,r>0,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 0,-1<r<0,x0>0
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
一阶差分方程
D(at) = at+1- a t = a t(a -1) .
1 ∆ (log a t ) = log a (t + 1) − log a t = log a 1 + . t 1 1 ∆(sin t ) = sin(t + 1) − sin t = 2 sin cos t + . 2 2
思考. 菲波那契数列的差分是什么?
5.5.2. 差分方程概念
例 5.5.2 个人贷款买房问题. 随着我国经济的发展与人民生活的不断提高, 个人贷款买房已成为银行天津分行按 1999 年 9 月 21 日中国人民银行公布的贷 款利率发布的个人住房贷款 10000 元计算的月还款情况表中贷款年限 1~10 年的数据. 以个人贷款 10000 元计算的月还款情况表(单位:元)
a a2 a xt , 我们得 xt +1 = xt (1 − xt ) , 即 b b b
(5.5.6)
(5.5.6)的迭代 50 次. 并依此连接点 ( n, x n ) , n = 0, 1, 2, …, 50, 得 9 个折线图. 用 Mathematica 作图的程序是 (a = 0.5) : f [x_ ] : = a ∗ x (1-x) a = 0.5 ; x0 = 0.2 ; t = NestList [ f, x0, 50 ] b = Table [ { n, t [ [ n+1] ] }, {n, 0, 50 }] ListPlot [ b, PlotJoined -> True ] 下面我们列出 a = 0,5,
[
]
k = 1, 2 , L
(5.5.3)
反过来, 如果你是中央银行贷款部的决策层, 根据国家规定的利率来确定月还款额 m, 那么只要将 k = 24, y24 = 0, r = 0.345%, 代入(5.5.3), 即可解出 m = 434.87 (元). 你对表中贷款 的其他期限的月还款额计算一下, 看看是否和表中数据一致? 定义. 含有自变量, 未知函数及其差分的等式称为差分方程,如果一个函数代入差分方程后, 能使其成为恒等式 (相对于自变量的任何有意义的值) , 那么该函数称为差分方程的解,含有 任意常数的解,称为通解. 若通解中任意常数已确定, 则称此解为特解. 用来确定特解的条件 称为初始条件. 例如(5.5.2)是差分方程(5.5.1)的初始条件, (5.5.3)是通解, y0 是任意常数. 若将 y0=10000 代入, 即得(5.5.1)的一个特解:
第七节 一阶常系数线性差分方程
第七节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式()001≠=-+a ay y x x（1）一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式)x f ay y x x =-+1（2）一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解1. 迭代法)001≠=-+a ay y x x （1）设0y 已知，由方程（1）依次可得，01ay y =,0212y a ay y ==, 0323y a ay y ==,……,01y a ay y x x x ==-,……,令0y 为任意常数C ，得通解为xx Ca y =例1 求差分方程021=++x x y y 的通解。
解21-=a ，通解为 xx C y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21 2. 特征根法)001≠=-+a ay y x x （1）设()0≠=λλxx y ，代入（1）得 01=-+x x a λλ特征方程为0=-a λ ，特征根为a =λ得（1）的解 x x a y = ，得（1）的通解x x Ca y =例2 求差分方程031=--x x y y 满足 20=y 的特解。
解 特征方程为 013=-λ ，特征根为 31=λ ，得通解 xx C y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31由20=y 得C =2，特解为 xx y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=312二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解)x f ay y x x =-+1（2）由上节定理3知道，差分方程（2）的通解应由对应齐次差分方程的通解（前面已学过）和非齐次差分方程的特解两部分组成。
我们只学习后部分。
一阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法。
1. 非齐次项()()x P x f n = 型（1）1不是特征方程的根，即1-a ≠0, 设n n x x b x b x b b y +⋅⋅⋅+++=*2210（2）1是特征方程的根，即1-a ＝0, 设()x xb x b x b b y n n x +⋅⋅⋅+++=*2210 例3 求差分方程231-=-+x x y y 的通解。
10-7_一阶常系数线性差分方程
2、f ( x) pn x 型
x
方 程2为 y x1 ayx pn x
x
1 0， 1 2 0， 1
类 型1
设y x x z x
代入方程得 x1 z x 1 a x z x x pn x
消去 x，即得 z x 1 azx pn x 类 型1
(1) 1不是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y Q ( x ) b x b x x n 0 1
bn
(2) 1是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y xQ ( x ) x b x b x 0 x n 1
bn
综上讨论
2
练习题答案
x 3 1 x x 1.(1) y x A( 1) ( ) 3 ( ) ; 2 4 3 3 3 37 ( 2) y x A 5 x , y x 5x; 4 4 12 1 1 5 x x x ( 3) y x 2 A( 1) , y x 2 ( 1) x ; 3 3 3 36 1 2 2 ( 4) y x x x A( 4) x ; 125 25 5 36 1 2 2 161 yx x x ( 4 ) x . 125 25 5 125
5 B1 B2 1 代入原方程为 B1 5 B2 0
5 1 解之得到B1 , B2 26 26 5 1 x 所求通解为 yx A 5 cos x sin x 26 2 26 2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
(优选)第七节一阶常系数线性差分方程
yt
=
1+
1 2
t2
+
1 2
t,P435
例5 求yn+1 - 5yn = -2的通解
yn = C 3n +1
b 1时
例6 求yn+1 + yn = n.2n 通解
yn
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C (-1)n
+
1 3
n-
2. 9
例7 求yt+1 - ayt = 2t 通解.P436例8
即通解
yt
=
Cat Cat
+ +
1 2
2
t
1 -
2t a 2t
a=2 .
a≠2
例8 求yn+1 - yn = 3n + n通解
例9 已知某人欠债25000元，月利率为1％， 计划在12个月内用分期付款的方式还清债务， 问该人每月要付出多少钱？ 设an为付款n次后还剩的欠款数，求每月付款额P 使a12 = 0的差分方程
例10 设Yt ,Ct ,It分别为期的国民收入、消费和投资， 三者之间有如下关系：
Yt = Ct + It
Ct
=αYt
+β
,0 <α< 1,β≥ 0,γ> 0.
Yt+1 = Yt +γIt
求Yt ,Ct ,It
（优选）第七节一阶常系数线 性差分方程
一 、齐次差分方程的通解
yn+1 - ayn = 0(a ≠ 0为常数)
1
差分方程（1）的通解为Yn = Can.
例1 求2yn+1 + yn = 0的通解.
一阶常系数线性差分方程.ppt
(10 13) (10 14)
方程 (10 14) 变形后改写为
yn1 ayn , n 0, 1, 2, 这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13) 为
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程, 有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数. 若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
y(n) (a)n1 f (0) (a)n2 f (1) (a) f (n 2)
f (n 1)
n1
(a)i f (n i 1)
3 4
2n
由
y0
4,
差分方程2
致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其
它农副产品 . 过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求 , 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将
一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种
现象是永远不可避免的 . 由于商品的价格主要由需求
yt a t y0 ( t 0,1,2,).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
即
a.
t 1 a t 0
利率，按年复利计息，则 S t 与 r 有如下关系式：
S t 1 S t rS t (1 r ) S t ,
t 0,1,2,,
这是关于 S t 的一个一阶常系数齐次线性差分方程，
其通解为
S t (1 r ) t S 0 ,
t 0,1,2,,
其中 S 0为初始存款总额.
二、 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f ( t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数. 当 f (t ) 0 时，称方程
yt 1 ayt 0
(3)
(a 0)
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程. 若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性 差分方程.
2
a r 12n I (1 ) I 2 12 (1 r 12n ) 1 12 x, r 12
10.2 一阶常系数线性差分方程
yt 1 ayt 0
(10.2.2)
微积分 第10章 差分方程初步
10.2一阶常系数线性差分方程
方程(10.2.4)称为差分方程(10.2.2) 的特征方程．
a
为特征方程的根，简称特征根. 求出特征根即得方程(10.2.2)的
t y ( a ) 一个特解 t ，再由§10.1的定理2可得(10.2.2)的通解为
B1 cos t B2 sin t
比较上式两边同类型三角函数的系数，得
b1 (a cos ) b2 sin B1 b1 sin b2 (a cos ) B2
因为
(10.2.10)
k
，故方程组(10.2.10)的系数行列式
微积分 第10章 差分方程初步
代入原方程，有
b0 (t 1)3t 1 3b0t 3t 3t
1 1 t * t 1 b y t 3 t 3 解得 0 ，故即原方程的一个特解为 t 3 3
从而原方程通解为
yt C(3)t t 3t 1
（ C 为任意常数）．
微积分 第10章 差分方程初步
10.2一阶常系数线性差分方程
yt 1 ayt 0
(10.2.2)
称方程(10.2.2)为方程(10.2..1)所对应的一阶常系数齐次线性 差分方程．
微积分 第10章 差分方程初步
10.2一阶常系数线性差分方程
由§10.1的定理3可知，若求得(10.2.1)所对应齐次方程(10.2.2)
* y y (t ) ，则方程 的通解 yt y (t ) 及方程(10.2.1)的一个特解 t
t
微积分 第10章 差分方程初步
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
一阶常系数线性差分方程
微积分Calculus一阶常系数线性差分方程一一阶常系数线性差分方程概念1一般形式：1()x x y py f x +−=其中为不等于零的常数，为已知函数。
p ()f x ()f x 若不恒等于零，称以上方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。
()f x 若恒等于零，称以上方程为一阶常系数齐次线性差分方程。
齐次线性差分方程的解法1yx =pyx−1=p ∙py x−2=p ∙p ∙py x−3=⋯=p x y 010x x y py +−=一阶齐次线性差分方程：将上述方程变形为：则有：记得一阶齐次线性差分方程的通解：0C y =xx y Cp = （为任意常数）C 二一阶常系数线性差分方程的解法y x+1=py x求差分方程130x x y y ++=的通解。
因为，将其代入通解公式得：3p =−(3)x x y C =− （为任意常数）C 13x xy y +=−将原方程变形为：例解一阶非齐次线性差分方程：1()x x y py f x +−=下面介绍对的三种特殊形式求非齐次差分方程特解的方法。
()f x 非齐次线性差分方程的解法2（1）（为常数，）()f x k =k 0k ≠差分方程变为：1x xy py k +−= 设其特解形式为：s x y Ax *=（其中为待定常数）,A s1,p ≠①取即：0s =x y A*=1,p =②取即：1s =x y Ax*=x y A *=将代入差分方程求得A将代入差分方程求得Ax y Ax *=21716x x y y +++=求差分方程的通解.对应齐次差分方程：的通解为：217x x y y +++=0(7)xx y C =− （为任意常数）C p =−7≠1,设特解为y x ∗=A代入原方程得：2A =故原差分方程通解为：2(7)x x y C =+−（为任意常数）C 例解（2）（其中为常数，且）()xf x ka =k a ，0a >0a ≠非齐次差分方程变为：1x x x y py ka +−= 设特解形式为：x sx y Aa x*=①时，取即p a ≠0s =x x y Aa *=②p a =1s =x x y Axa *=时，取即求差分方程的通解11242x x x y y ++−=原方程化简为122xx x y y +−=对应齐次差分方程通解为2xx y C = （为任意常数）C 2p a ==由于，所以原方程得特解形式为：2xx y Ax =代入原方程得：1(1)2222x x xA x Ax ++−=12A =例解原方程特解为：11222x x x y x x *−==所以原方程通解为：12(2)x x x y x C −=+（为任意常数）C。
一阶常系数差分方程
(2) a 1
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
b1 x n1
bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0 a 1
k
1
a1
例3 求差分方程y x1 2 y x 3 x 2的通解. 解
对应齐次方程通解
Yx C 2x
设特解 y x Ax2 Bx C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
下面
讨论特解y
的求法
x
:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采
用
待
定
系
数
法
求
其
特解y
较
x
为
方
便.
待 定 系 数 法 假 定 待 定 的 特 解yx与f ( x)的 形 式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
Ca x
1 2
2
于 是yx
x2x a 2
1 2x a 2 a
1 2
2 .
x 2x 1 2x a
a2 ；
a2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
yx1 ayx 0(a 0为常数)
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. Yx Ca x .
2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
第七节一阶常系数线性差分方程
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
差分方程的一般表达式
差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。
差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。
一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。
这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。
如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。
再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。
这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。
\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。
要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。
还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。
比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。
非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。
比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。
差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。
就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。
这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。
对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。
每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。
第7.3节 一阶常系数线性差分方程
求差分方程 yt 1 1 yt 3 的通解。 3
待定系数法 情形一： f (t ) 为常数 设 f (t ) b ，其中 b 为非零常数。方程（8.3.1）相应地变为 yt 1 ayt b
C (a ) t b , a 1 1 a C bt , a 1 例 3 某客户在银行开了 10000 元的账户，年利率为 4 % ，并计划 以后每年年终再连续加存 500 元。试问 t (t 1,2,3) 年末该客户账户
b1 与 b2 不同时为零。这时，方程（1）相应地变为 yt 1 ayt b1 cost b2 sin t
则方程的通解为
t C (a) ( A1 cost A2 sin t ) , D 0 yt b b C t ( 1 cost 2 sin t ) , D0 a a
解函数仍应为
~ y (t ) A1 cost A2 sin t 或 ~ y (t ) t ( A1 cost A2 sin t )
例 8 已知级数
n 1 2 cos n 2
U n 的通项为
3 sin n （ n 1,2,3, ）
2
Un
求其部分和序列的通项 S n 。
3
例6 例7
t 求差分方程 yt 1 1 yt 3 的通解。 3 t 求差分方程 3 yt 1 6 yt 2 的通解。
教学札记
情形四： f (t ) 为正弦—余弦型三角函数 设 f (t ) b1 cost b2 sin t ， 其中 、 且 0 ， b1 、 b2 为常数，
t 1 k 0
f (0) (a) t 2 f (1) (a) f (t 2) f (t 1)
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所以，方程的通解为
yx C x3 4x2 3x
（C为任意常数）
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x y 3 y 7 2 例6 求差分方程 x1 的解。 x
解 相应的齐次方程为 y 3 y 0 ，特征方程为 x 1 x
r 3 0，特征根 r 3
所以齐次方程的通解为
Yx C 3x
对于方程 yx1 3 yx 7 2x 的右端 2 r ，可设方 程的一个特解为
yx A 2 x
代入方程 A 2x 1 3 A 2x 7 2x
消去 2 x，得 A 7，所以方程的一个特解是 yx 7 2
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特别地，当 f ( x) l（常数函数）时，则差分方程(8-5)为
yx1 pyx l
(8-10)
此方程的特解可设为
k y* Ax x
(8-11)
其中A为待定系数，k亦按1不是特征根或是特征根而分别 取0或1。 即 当 p 1 时（1是特征根），差分方程 yx1 yx l 的通解为
yx1 pyx 0
(8-2)
是差分方程(8-1)相应的常系数线性齐次差分方程.下面我 们介绍一阶常系数线性差分方程的解法。
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一．一阶常系数线性齐次差分方程
1．迭代法
把方程(8-.2)改写成 yx1 pyx ，则依次可推出：
y1 py0
y2 py1 p2 y0 y3 py2 p3 y0
对于方程yx1 2 yx 10 5x的右端 5 r ，可设方
程的一个特解为
yx A 5x
10 x 5 3
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代入方程 A 5x1 2 A 5x 10 5x
10 消去 5 ，得 A ，所以方程的一个特解是 y x 3
（ Pn ( x) 是的n次多项式）。下面我们分别讨论。
Pn ( x)是x的n次多项式，则非齐次分程(8-1)为 1. f ( x) Pn ( x) ，
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yx1 pyx Pn ( x)
（1）当 p 1 时，（8-5)变为
yx yx1 yx Pn ( x)
yx p x y0
显然
yx p x y0
( x 0,1, 2, )
(8-3)
是方程(8-2)的一个通解。
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x y y y p y0 是方程(8-2)的一个特解。 x 0 若 当时， 0 ，则 x
若记 y0 C为任意常数，则齐次方程(8-2)的通解为
(8-5)为
yx1 pyx x P n ( x)
特征根法，可以设
y x Qn ( x)
* x k x
0, p 其中 k Qn ( x) B0 xn B1xn1 1, p
Bn1x Bn
为n次待定多项式。
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例3 求差分方程 yx 4 的通解。
n n1 y* xQ ( x ) x ( B x B x x n 0 1
Bn1x Bn )
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(8-7)
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把它代入方程(8-6)，比较方程两端同次幂系数，就可确定 待定系数 Bi (i 0,1, 2, (8-6)的特解为
0 n n1 y* x Q ( x ) B x B x x n 0 1
3B0 x2 (3B0 2B1 ) x (B0 B1x B2 ) 3x2 5x
比较方程两边同次幂的系数，得
3B0 3 3B0 2 B1 5 B B B 0 1 2 0
B0 1 , B1 4 , B2 3 。于是，方程的一个特解为 解之得，
于是，齐次方程的通解为 2 x Yx C ( ) 3
（C为任意常数）
由于 f ( x) 4 为零次多项式，且1不是特征方程的根，故设 原方程的一个特解为
y* x A
将它代入方程，得
A
* x
其中A为待定常数。
4 5
4 即方程的一个特解为 y 5
所以方程的通解为
2 4 y C ( ) x （C为任意常数） 3 5
Yx Cp x
(8-4)
这表明一阶常系数线性齐次差分方程的通解是指数函数型。 2．特征根法 由于方程（8-2）p中是常数，指数函数的差分仍为指数函 数，因此可以联想方程（8-2）的解应该为某个指数函数。
x y r (r 0) 是方程（8-2）的解，代入之得 设 x
r x1 pr x 0
(r 0)
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即
r p0
这个方程称为齐次方程（8-2）的特征方程，其根 r 称为方程（8-2）的特征根。
p
x y p 于是 x 是方程（8-2）的一个特解，因而 Yx Cp x
（C为任意常数）是齐次方程（8-2）的通解。 例1 求差分方程 4 yx1 16 yx 0满足初始条件 y0 3 的解。 解 方程可改写为 y 4 y 0 x 1 x
x
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通解为
7 把初始条件 f (0) y0 1 代入通解，得 C
10 x yx C 2 5 3
x
3
所以原差分方程满足初始条件的解为
10 x 7 x yx 5 2 3 3
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2 4 2 或者直接将方程写成标准式 yx 1 yx ，其中 p , 3 3 3
4 l 代入 (8-13) 3
4 x l 2 2 4 x 3 yx Cp C C 2 1 p 3 1 3 5 3
令 yx r x
(r 0) ，代入方程，则可得特征方程 r40
特征根 r 4 ，于是方程的通解为 Yx C 4x
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把初始条件 y0 3 代入通解，得C 3 。因此，方程的解 为
yx 3 4x
例2 求差分方程 3 yx 2 yx1 0 ，y0 5 的解。 解 调整下标，方程可改写为3 y 2 y 0 x 1 x
第七节 一阶常系数线性差分方程
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一阶常系数线性差分方程的一般形式可写为
yx1 pyx f ( x)
(8-1)
其中 p 0 为常数， f ( x)为已知函数。若 f ( x) 0 ，则方程称 为一阶常系数线性非齐次差分方程。 若 f ( x) 0 ，则方程
x 令 yx r
(r 0) ，代入方程，则可得特征方程
3r 2 0 2 特征根 r ，于是方程的通解为 3
2 Yx C ( ) x 3
把初始条件 y0 5 代入通解，得 C 5 。因此，方
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二．一阶常系数线性非齐次差分方程 由定理8.7可知，一阶线性非齐次差分方程(8-1)的通解 由该方程的一个特解与相应的齐次方程（8-2）的通解之 和构成。 现讨论非齐次方程(8-1)特解的求法。 当非齐次分程(8-1)右端项是特殊形式的函数时，用待 定系数法求其特解。 这里特殊形式的函数是指 f ( x) Pn ( x) ，f ( x) x Pn ( x) ( 0或 1,)
, n) 。
1 （2）而当 p （即 1不是特征方程的根）时，此时，可设方程
Bn1x Bn
(8-8)
综上所述，对于(8.5)式型的一阶常系数线性非齐次方程
* k y x Qn ( x) 的特解，可设为 x
(8-9)
其中 Pn ( x)与 Qn ( x)是n次同次多项式，而k则按1不是特征根 （ p 1）和1是特征根（ p 1）依次取0和1。
(8-5)
(8-6)
我们已经知道，幂函数的差分降幂一次，因而一个多项式的 差分仍是多项式。若 yx是一个多项式，则 y x是比 yx 低一次 的多项式。由于 Pn ( x) 是多项式，所以方程(8-6)的特解也应是 多项式。
1 所以，当 p （即 1是特征方程的根）时，此时，可设方程
(8-6)的特解为
x x 通解为 yx C 3 7 2
x
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例7
x f ( x ) 2 f ( x 1) 2 5 求差分方程 在初始条件 f (0) 1
下的解。 解 方程可改写为
yx1 2 yx 10 5x
Yx C 2x
其对应齐次方程 yx1 2 yx 0 的通解为 （C为任意常数）
yx C lx （C为任意常数）
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(8-12)
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当p 1 （1不是特征根，），差分方程 yx1 pyx l 的通解为
l yx Cp 1 p
x
(8-13)
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x f ( x ) P Pn ( x) 是x的n次多项式，则方程 2. n ( x) ( 0或 1) ，
x
2 y y 3 x 5x 的通解 例5 求差分方程 x1 x