第七节一阶常系数线性差分方程

(r 0)
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即
r p0
这个方程称为齐次方程（8-2）的特征方程，其根 r 称为方程（8-2）的特征根。
p
x y p 于是 x 是方程（8-2）的一个特解，因而 Yx Cp x
（C为任意常数）是齐次方程（8-2）的通解。 例1 求差分方程 4 yx1 16 yx 0满足初始条件 y0 3 的解。 解 方程可改写为 y 4 y 0 x 1 x
yx1 pyx 0
(8-2)
是差分方程(8-1)相应的常系数线性齐次差分方程.下面我 们介绍一阶常系数线性差分方程的解法。
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一．一阶常系数线性齐次差分方程
1．迭代法
把方程(8-.2)改写成 yx1 pyx ，则依次可推出：
y1 py0
y2 py1 p2 y0 y3 py2 p3 y0
（ Pn ( x) 是的n次多项式）。下面我们分别讨论。
Pn ( x)是x的n次多项式，则非齐次分程(8-1)为 1. f ( x) Pn ( x) ，
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yx1 pyx Pn ( x)
（1）当 p 1 时，（8-5)变为
yx yx1 yx Pn ( x)
n n1 y* xQ ( x ) x ( B x B x x n 0 1
Bn1x Bn )
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(8-7)
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把它代入方程(8-6)，比较方程两端同次幂系数，就可确定 待定系数 Bi (i 0,1, 2, (8-6)的特解为
0 n n1 y* x Q ( x ) B x B x x n 0 1
3B0 x2 (3B0 2B1 ) x (B0 B1x B2 ) 3x2 5x
比较方程两边同次幂的系数，得
3B0 3 3B0 2 B1 5 B B B 0 1 2 0
B0 1 , B1 4 , B2 3 。于是，方程的一个特解为 解之得，
(8-5)为
yx1 pyx x P n ( x)
特征根法，可以设
y x Qn ( x)
* x k x
0, p 其中 k Qn ( x) B0 xn B1xn1 1, p
Bn1x Bn
为n次待定多项式。
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例3 求差分方程 yx 4 的通解。
令 yx r x
(r 0) ，代入方程，则可得特征方程 r40
特征根 r 4 ，于是方程的通解为 Yx C 4x
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把初始条件 y0 3 代入通解，得C 3 。因此，方程的解 为
yx 3 4x
例2 求差分方程 3 yx 2 yx1 0 ，y0 5 的解。 解 调整下标，方程可改写为3 y 2 y 0 x 1 x
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2 4 2 或者直接将方程写成标准式 yx 1 yx ，其中 p , 3 3 3
4 l 代入 (8-13) 3
4 x l 2 2 4 x 3 yx Cp C C 2 1 p 3 1 3 5 3
x
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通解为
7 把初始条件 f (0) y0 1 代入通解，得 C
10 x yx C 2 5 3
x
3
所以原差分方程满足初始条件的解为
10 x 7 x yx 5 2 3 3
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第七节 一阶常系数线性差分方程
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一阶常系数线性差分方程的一般形式可写为
yx1 pyx f ( x)
(8-1)
其中 p 0 为常数， f ( x)为已知函数。若 f ( x) 0 ，则方程称 为一阶常系数线性非齐次差分方程。 若 f ( x) 0 ，则方程
r 3 0，特征根 r 3
所以齐次方程的通解为
Yx C 3x
对于方程 yx1 3 yx 7 2x 的右端 2 r ，可设方 程的一个特解为
yx A 2 x

代入方程 A 2x 1 3 A 2x 7 2x
消去 2 x，得 A 7，所以方程的一个特解是 yx 7 2
yx p x y0
显然
yx p x y0
( x 0,1, 2, )
(8-3)
是方程(8-2)的一个通解。
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x y y y p y0 是方程(8-2)的一个特解。 x 0 若 当时， 0 ，则 x
若记 y0 C为任意常数，则齐次方程(8-2)的通解为
(8-5)
(8-6)
我们已经知道，幂函数的差分降幂一次，因而一个多项式的 差分仍是多项式。若 yx是一个多项式，则 y x是比 yx 低一次 的多项式。由于 Pn ( x) 是多项式，所以方程(8-6)的特解也应是 多项式。
1 所以，当 p （即 1是特征方程的根）时，此时，可设方程
(8-6)的特解为
x x 通解为 yx C 3 7 2
x
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例7
x f ( x ) 2 f ( x 1) 2 5 求差分方程 在初始条件 f (0) 1
下的解。 解 方程可改写为
yx1 2 yx 10 5x
Yx C 2x
其对应齐次方程 yx1 2 yx 0 的通解为 （C为任意常数）
2 3 2 y* x ( x 4 x 3) x 4 x 3x x
所以，方程的通解为
yx C x3 4x2 3x
（C为任意常数）
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x y 3 y 7 2 例6 求差分方程 x1 的解。 x
解 相应的齐次方程为 y 3 y 0 ，特征方程为 x 1 x
, n) 。
1 （2）而当 p （即 1不是特征方程的根）时，此时，可设方程
Bn1x Bn
(8-8)
综上所述，对于(8.5)式型的一阶常系数线性非齐次方程
* k y x Qn ( x) 的特解，可设为 x
(8-9)
其中 Pn ( x)与 Qn ( x)是n次同次多项式，而k则按1不是特征根 （ p 1）和1是特征根（ p 1）依次取0和1。
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特别地，当 f ( x) l（常数函数）时，则差分方程(8-5)为
yx1 pyx l
(8-10)
此方程的特解可设为
k y* Ax x
(8-11)
其中A为待定系数，k亦按1不是特征根或是特征根而分别 取0或1。 即 当 p 1 时（1是特征根），差分方程 yx1 yx l 的通解为
于是，齐次方程的通解为 2 x Yx C ( ) 3
（C为任意常数）
由于 f ( x) 4 为零次多项式，且1不是特征方程的根，故设 原方程的一个特解为
y* x பைடு நூலகம் A
将它代入方程，得
A
* x
其中A为待定常数。
4 5
4 即方程的一个特解为 y 5
所以方程的通解为
2 4 y C ( ) x （C为任意常数） 3 5
Yx Cp x
(8-4)
这表明一阶常系数线性齐次差分方程的通解是指数函数型。 2．特征根法 由于方程（8-2）p中是常数，指数函数的差分仍为指数函 数，因此可以联想方程（8-2）的解应该为某个指数函数。
x y r (r 0) 是方程（8-2）的解，代入之得 设 x
r x1 pr x 0
yx C lx （C为任意常数）
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(8-12)
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当p 1 （1不是特征根，），差分方程 yx1 pyx l 的通解为
l yx Cp 1 p
x
(8-13)
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x f ( x ) P Pn ( x) 是x的n次多项式，则方程 2. n ( x) ( 0或 1) ，
x
2 y y 3 x 5x 的通解 例5 求差分方程 x1 x
解 差分方程对应的齐次方程的通解为 Yx C，右端是
1 p 特征根。于是可设非齐次方程的特解为
2 y* x ( B x B1x B2 ) x 0
代入方程，有
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( x 1)[(B0 (x 1)2 B1 (x 1) B2 ] x (B0 x2 B1 x B2 ) 3x2 5x
x 令 yx r
(r 0) ，代入方程，则可得特征方程
3r 2 0 2 特征根 r ，于是方程的通解为 3
2 Yx C ( ) x 3
把初始条件 y0 5 代入通解，得 C 5 。因此，方
2 x 程的解为 y x 5( ) 3
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二．一阶常系数线性非齐次差分方程 由定理8.7可知，一阶线性非齐次差分方程(8-1)的通解 由该方程的一个特解与相应的齐次方程（8-2）的通解之 和构成。 现讨论非齐次方程(8-1)特解的求法。 当非齐次分程(8-1)右端项是特殊形式的函数时，用待 定系数法求其特解。 这里特殊形式的函数是指 f ( x) Pn ( x) ，f ( x) x Pn ( x) ( 0或 1,)
对于方程yx1 2 yx 10 5x的右端 5 r ，可设方
程的一个特解为
yx A 5x
10 x 5 3
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代入方程 A 5x1 2 A 5x 10 5x
10 消去 5 ，得 A ，所以方程的一个特解是 y x 3
p 1（1是特征根），所以由(8-12)，方 解 此方程中，
程通解为 例4
yx C 4 x
（C为任意常数）
求差分方程 3 yx1 2 yx 4 的通解。
解 方程对应的齐次方程 3 yx1 2 yx 0 的特征方程为
3r 2 0
特征根
r 2 3
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