2020-2021学年江苏省扬州市高三(上)适应性数学试卷(1月份)

2020-2021学年江苏省扬州市高三（上）适应性数学试卷（1月
份）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．（5分）已知集合{|(2)(1)0}A x x x =-+，{|20}B x x =-<<，则(A B = )
A ．[1-，0)
B ．(2-，1]-
C ．(0，2]
D ．[1-，2]
2．（5分）在复平面内，复数(1)2(i z i i +=为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）5(2)(12)x x -+展开式中，含2x 项的系数为( ) A ．30
B ．70
C ．90
D ．150-
4．（5分）如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段AB 为分界线，截去一部分图形而成，已知该分界线是一段半径为R 的圆弧，若圆弧的长度为23
R
π，则A ，B 两点间的距离为( )
A ．R
B 2R
C 3R
D ．2R
5．（5分）已知正ABC ∆的边长为2，P 是边AB 边上一点，且2BP PA =，则()(CP CA CB ⋅+=
)
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
6．（5分）过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60︒，则||
||
AF BF 的值为( ) A ．2
B ．3
C ．
32
D ．
52
7．（5分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为
( )
A ．40
B ．20
C ．10
D ．5
8．（5分）已知函数,0
()24,0xlnx x f x x e x >⎧=⎨+⎩
，若12x x ≠且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为
( )
A ．1
2e e
-
B ．21e +
C ．5e
D ．52
e
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．（5分）下列说法中正确的是( )
A ．“a b >”是“22a b >”的既不充分又不必要条件
B ．“2x =”是“1，x ，4成等比数列”的充分不必要条件
C ．“0m >，0n <”是“方程22
1x y m n
+=表示双曲线”的必要不充分条件
D ．对于函数()f x ，“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充要条件 10．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的部分图象如图所示，则下列说法
中正确的是( )
A ．()()f x f x π=+
B ．()()f x f x π=-+
C ．2
()()3
f x f x π=-
D ．2
()()3
f x f x π=--
11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且
1EF =，则下列说法中正确的是( )
A ．存在点E ，F 使得//AE BF
B ．异面直线EF 与1
C
D 所成的角为60︒
C ．三棱锥B AEF -的体积为定值2
D ．1A 到平面AEF
的距离为
3 12．（5分）16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：45次方程454341534594595346379545x x x x x x C -+-⋯+-+=的根如何求？法国数学家伟大利用三角知识成功解决了该问题，并指出2sin C α=时，此方程的全部根为22sin(
)45
x πα
+=，(0=，1，2，⋯，44)，根据以上信息可得方程4543415345945953463795450x x x x x x -+-⋯+-+=的根可以为( )
A ．3
B ．1-
C ．3-
D ．2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知长方体的长、宽、高分别为10，8，6()cm ，则该长方体的外接球的半径R =
()cm ．
14．（5分）某种型号的机器使用总时间x （年)（其中4x ，*)x N ∈与所需支出的维修总费用y （万元）的统计数据如表： x
6 8 10 12 y
2
3
5
6
根据表中数据可得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.7y
x a =+，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年（填整数）．
15．（5分）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中项角为36︒的等腰三角形被称为“黄金三角形”．如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且
51
BC AC -=
．记阴影部分的面积为1S ，正五边形的面积为2S ，则12S S = ．
16．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径的
圆与双曲线的一条渐近线交于M ，N 两点，若2OM ON =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，cos
sin 2
B
a b A =． （1）求B ；
（2）若5b =，_____，求S ． 请在①53a =
，②tan()234
A π
+=+，③222b c a bc +=+这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并加以解答．
18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，112n n S a +=-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12
log n n b a =，且21
41
n n c b =
-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是长方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（2）若2PA AD ==，3AB =，E 为PD 中点，求二面角A BE C --的余弦值．
20．（12分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间t （分钟） [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
人数
300
600
900
450
450
300
（1）从周末运动时间在[70，80)的学生中抽取3人，在[80，90]的学生中抽取2人，现
从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自[70，80)的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）由频率分布表可认为：周末运动时间t 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为周末运动时间的平均数t ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得14.6s ≈．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在(43.9，87.7]之外的人数为Y ，求(2)P Y =（精确到0.001)；
参考数据1：当2~(,)t N μσ时，()0.6826P t μσμσ-<<+=，(22)0.9545P t μσμσ-<<+=，
(33)0.9973P t μσμσ-<<+=．
参考数据82:0.81860.202≈，20.18140.033≈．
21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12
，左、右顶点分别为A ，B ，
上、下项点分别为C ，D ，四边形ACBD 的面积为． （1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，直线PB 、QB 分别交直线4x =于
M ，N 两点，判断BM BN ⋅是否为定值，并说明理由．
22．（12分）已知函数()x f x e alnx =-，（其中a 为参数）．
（1）若1a =，且直线1y x =+与()y f x =的图象相切，求实数的值； （2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()f x alna >成立，求正实数a 的取值范围．
2020-2021学年江苏省扬州市高三（上）适应性数学试卷（1月
份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．（5分）已知集合{|(2)(1)0}A x x x =-+，{|20}B x x =-<<，则(A B = )
A ．[1-，0)
B ．(2-，1]-
C ．(0，2]
D ．[1-，2]
【解答】解：{|1A x x =-或2}x ，{|20}B x x =-<<，
(2A
B ∴=-，1]-．
故选：B ．
2．（5分）在复平面内，复数(1)2(i z i i +=为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：由(1)2i z i +=，得22(1)
(1)11(1)(1)
i i i z i i i i i i -===-=+++-， ∴1z i =-，
则z 在复平面内对应点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 故选：D ．
3．（5分）5(2)(12)x x -+展开式中，含2x 项的系数为( ) A ．30
B ．70
C ．90
D ．150-
【解答】解：5(12)x +展开式的通项公式为15(2)r r r T C x +=，
5(2)(12)x x ∴-+展开式中，含2x 项的系数为221552(2)270C C ⨯-=，
故选：B ．
4．（5分）如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段AB 为分界线，截去一部分图形而成，已知该分界线是一段半径为R 的圆弧，若圆弧的长度为23
R
π，则A ，B 两点间的距离为( )
A ．R
B ．2R C
．3R D ．2R
【解答】解：因为半径为R 的圆弧，圆弧的长度为23
R
π， 所以该弧所对圆心角为2233
R
R ππ
=，
如图，可得3
AOD π
∠=
，在Rt AOD ∆中，可得33sin AD AO AOD AO R =∠=⨯
=， 故23AB AD R ==，即A ，B 两点间的距离为3R ． 故选：C ．
5．（5分）已知正ABC ∆的边长为2，P 是边AB 边上一点，且2BP PA =，则()(CP CA CB ⋅+=
)
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
【解答】解：
2BP PA =，∴2()CP CB CA CP -=-，
∴2
13
3
CP CA CB =+，且||||2,,60CA CB CA CB ==<>=︒，
∴
22222121211
()()()22226
3333332
CP CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB ⋅+=+⋅+=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯=．
故选：D ．
6．（5分）过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60︒，则||
||
AF BF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．
32
D ．
52
【解答】解：设
||
1||
AF BF λ=>，||BF m =，则||AF m λ=， 1(12A m λ∴+3)m λ，1
(12
B m -，3)，
∴223(
)4(1)231
()4(1)2
m m
m m λλ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=⨯-⎪⎩，解得3λ=． 故选：B ．
7．（5分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为
( )
A ．40
B ．20
C ．10
D ．5
【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 若325a a -=，则225a q a -=，即2(1)5a q -=，变形可得25
1
a q =
-， 22242255998(8)(8)[(1)2(1)9]5[(1)2]5(2(1)2)58401111
a a a q q q q q q q q q q +=+=
⨯+=⨯-+-+=⨯-++⨯-⨯+=⨯=----，
当且仅当13q -=时等号成立，即428a a +的最小值为40； 故选：A ．
8．（5分）已知函数,0
()24,0xlnx x f x x e x >⎧=⎨+⎩
，若12x x ≠且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为
( )
A ．1
2e e
-
B ．21e +
C ．5e
D ．52
e
【解答】解：如图，
设y xlnx =，则1y lnx '=+，由12lnx +=，得x e =．
y xlnx ∴=斜率为2的切线:2l y x e =-，
取x e =，得y e =，由24x e e +=，得3
2
x e =-，
此时：2132
x e x e =⎧⎪
⎨=-⎪⎩，当图中平行于x 轴的直线向上或向下平移时，
直线被24(0)y x e x =+与1
()y xlnx x e =>所截线段变小，则对应的点的横坐标的差变小，
故125
(||)2
max x x e -=．
故选：D ．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．（5分）下列说法中正确的是( )
A ．“a b >”是“22a b >”的既不充分又不必要条件
B ．“2x =”是“1，x ，4成等比数列”的充分不必要条件
C ．“0m >，0n <”是“方程22
1x y m n
+=表示双曲线”的必要不充分条件
D ．对于函数()f x ，“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充要条件 【解答】解：A ．当1a =-，2b =-时，a b >，但是22a b <， 又22(4)1->，但是41-<，
故“a b >”是“22a b >”的既不充分又不必要条件，故选项A 正确；
B ．当2x =时，1，x ，4成等比数列，
当1，2-，4成等比数列时，但2x =-，
故“2x =”是“1，x ，4成等比数列”的充分不必要条件，故选项B 正确；
C ．当0m >，0n <时，方程22
1x y m n
+
=表示双曲线， 当方程22
1x y m n
+=表示双曲线时，0mn <，不一定是0m >，0n <，
故“0m >，0n <”是“方程22
1x y m n
+
=表示双曲线”的充分不必要条件，故选项C 错； D ．当(0)0f =，()f x 不一定是奇函数，比如2()f x x =，
当函数()f x 为奇函数时，(0)f 不一定等于0，比如1()f x x
=
， 故对于函数()f x ，“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的既不充分又不必要条件，故选项
D 错．
故选：AB ．
10．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的部分图象如图所示，则下列说法
中正确的是( )
A ．()()f x f x π=+
B ．()()f x f x π=-+
C ．2
()()3
f x f x π=-
D ．2
()()3
f x f x π=--
【解答】解：由图象知332544612
T πππ
ω=⨯=-，2ω=，
由五点对应法得2212
2
π
π
ϕπ⨯+=
+，得23
π
ϕπ=
+，
||2
π
ϕ<
，0∴=时3
π
ϕ=
，
所以()sin(2)3f x x π
=+，周期T π=，A 正确，B 错误； 当3x π=时，()sin(2)sin 0133f x πππ=+==≠±，即3x π
=不是函数的对称轴，即C 错误， 当3
x π
=
时，23
x π
π+
=，故(
3
π
，0)是函数的一个对称中心，D 正确．
综上选AD ． 故选：AD ．
11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且
1EF =，则下列说法中正确的是( )
A ．存在点E ，F 使得//AE BF
B ．异面直线EF 与1
C
D 所成的角为60︒
C ．三棱锥B AEF -的体积为定值
2
12
D ．1A 到平面AEF 的距离为3 【解答】解：如图所示：
对于:A EF 与AB 异面，故A 错误； 对于1:B BDC ∆是等边三角形，而//EF BD ，
故1BDC ∠就是异面直线EF 与1C D 所成的角，确实是60︒，故B 正确； 对于C ：可以根据等积法求得B 到平面11AB D 的距离为3
，故11632
13212
B AEF V -=⨯⨯⨯⨯=
，故C 正确； 对于D ：可以利用等积法求得点1A 到平面11AB D 的距离为3
，即1A 到平面AEF 的距离为3
，故D 正确． 故选：BCD ．
12．（5分）16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：45次方程454341534594595346379545x x x x x x C -+-⋯+-+=的根如何求？法国数学家伟大利用三角知识成功解决了该问题，并指出2sin C α=时，此方程的全部根为22sin(
)45
x πα
+=，(0=，1，2，⋯，44)，根据以上信息可得方程4543415345945953463795450x x x x x x -+-⋯+-+=的根可以为( )
A 3
B ．1-
C ．3-
D ．2
【解答】解：2sin 02sin 15
C x π
ααπ==⇒=⇒=，
当5=、10、35、40，3x = 当20=、25，3x = 故选：AC ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．（5分）已知长方体的长、宽、高分别为10，8，6()cm ，则该长方体的外接球的半径R =
)cm ．
【解答】解：长方体的长、宽、高分别为10，8，6()
cm ， ∴
长方体的体对角线l =
由2R
=， 得
R =． 故答案为：
14．（5分）某种型号的机器使用总时间x （年)（其中4x ，*)x N ∈与所需支出的维修总费用y （万元）的统计数据如表：
根据表中数据可得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.7y
x a =+，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 20 年（填整数）．
【解答】解：1(681012)94x =⨯+++=，1
(2356)44y =⨯+++
=，
样本中心为(9,4)，代入回归方程求得ˆ 2.3a
=-， 故回归方程为ˆ0.7 2.3y
x =-， 当143
ˆ0.7 2.3127
y
x x =
-⇒， 故整数x 最大为20． 故答案为：20．
15．（5分）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中项角为36︒的等腰三角形被称为“黄金三角形”．如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且
BC AC =
．记阴影部分的面积为1S ，正五边形的面积为2S ，则12S S
【解答】解：如图，连接CD，CE，设ABC
∆的面积为x，
则BCD
∆和CEF
∆
的面积均为
51
2
x
-
，
CDE
∆的面积为x，
故1
2
5
5
51
2
2
S x
S
x x
==
-
⨯+
．
故答案是：5．
16．（5分）已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若2
OM ON
=（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率为
23
3
．
【解答】解：取MN的中点B，则||3||
OB MB
=，且AB MN
⊥，
∴点(,0)
A a到渐近线
b
y x
a
=的距离
2
||
||
()1
b
a
ab
a
AB
c
b
a
⋅
==
+
，
222222
||||||9||9(||||)
OA AB OB MB AM AB
-===-，
∴22222
2
229()a b a b a b c c
-=-，
222b c a =-，
422491880c a c a ∴-+=，
又1c
e a
=
>，
4291880e e ∴-+=，解得e =
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，cos
sin 2
B
a b A =． （1）求B ；
（2）若5b =，_____，求S ．
请在①a =
，②tan()24
A π
+=，③222b c a bc +=+这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并加以解答．
【解答】解：（1）在ABC ∆中，因为cos sin 2
B
a b A =， 所以由正弦定理得sin cos sin sin 2
B
A B A ⋅=⋅， 因为sin 0A ≠，可得cos sin 2
B
B =， 所以cos 2sin cos 222
B B B =， 因为cos
02
B ≠，可得1sin 22B =，
因为(0,)B π∈， 所以3
B π
=
．
（2）选①：由正弦定理得53sin sin 3
A π=，即1
sin 2
A =，
因为b a >，所以6
A π
=
，
所以2
C π
=
，所以ABC ∆
是直角三角形，所以11522S ab ==． 选②
：由tan()24A π+=
tan tan
tan 1421tan 1tan tan 4
A A A A π
π++==--
，解得tan A 因为(0,)A π∈，所以6
A π
=，
所以2
C π
=
，
所以ABC ∆
是直角三角形，所以11522S ab ===
． 选③：因为222
b c a bc +=+，所以2221cos 22
b c a A bc +-==，
因为(0,)A π∈， 所以3
A π
=，
又3
B π
=
，
所以ABC ∆
为正三角形，所以S =
18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，112n n S a +=-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12
log n n b a =，且2141
n n
c b =
-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【解答】解：（1）因为112n n S a +=-，所以112(2)n n S a n -=-， 两式相减得12(2)n n a a n +=， 因为11
2
a =
，112n n S a +=-， 所以令1n =，则可得2111
(1)24
a a =-=，
所以2112
a a =，
又1102a =
≠，21
04
a =≠，12n n a a +=， 所以*0()n a n N ≠∈ 所以
112
n n a a +=，*
()n N ∈，
所以数列{}n a 是首项为
12、公比为1
2
的等比数列， 所以1
()2
n n a =；
（2）因为1
()2n n a =，所以12
log n n b a n ==，
所以2
2
111111
()41
41
(21)(21)22121
n n c b n n n n n ==
=
=----+-+，
所
以
123111111111[()()()](1)21335212122121
n n n
T c c c c n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=
-+++． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是长方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（2）若2PA AD ==，3AB =，E 为PD 中点，求二面角A BE C --的余弦值．
【解答】（1）证明：四边形ABCD 为长方形，AB AD ∴⊥，
平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD
AB ∴⊥平面PAD
PA ⊂平面PAD ，AB PA ∴⊥．
同理AD PA ⊥， 又AB
AD A =，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD
PA ∴⊥平面ABCD ．
（2）证明：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系
则(0A ，0，0)，(3B ，0，0)，(0D ，2，0)，(3C ，2，0)，(0E ，1，1)，(0P ，0，2)， 设(m x =，y ，)z ， 为平面ABE 的法向量，
m AB m AE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，∴00y z x +=⎧⎨=⎩，令1y =，则1z =-， ∴平面ABE 的一个法向量(0m =，1，1)-．
同理可求得平面BCE 的一个法向量(1n =，0，3)， 35cos ,||||m n m n m n ⋅∴<>=
=-．
.
二面角A BE C --的大小为钝角
∴二面角A BE C --的余弦值为35
20．（12分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间t （分钟） [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
人数
300
600
900
450
450
300
（1）从周末运动时间在[70，80)的学生中抽取3人，在[80，90]的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自[70，80)的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）由频率分布表可认为：周末运动时间t 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为周末运动时间的平均数t ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得14.6s ≈．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在(43.9，87.7]之外的人数为Y ，求(2)P Y =（精确到0.001)；
参考数据1：当2~(,)t N μσ时，()0.6826P t μσμσ-<<+=，(22)0.9545P t μσμσ-<<+=，(33)0.9973P t μσμσ-<<+=．
参考数据82:0.81860.202≈，20.18140.033≈．
【解答】解：（1）随机变量X 的可能取值为
0，1，2，
021120
323232222555133
(0),(1),(2)10510
C C C C C C P X P X P X C C C =========，
所以1336()012105105
E X =⨯+⨯+⨯=． （2）353004560055900654507545085300
58.53000
t μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==
=，
又43.958.514.6μσ=-=-，87.758.514.622μσ=+⨯=+， 所以0.68270.9545
(43.987.7)(2)0.81862
P t P t μσμσ+<=-<+=
=，
所以(P t μσ-或2)10.81860.1814t μσ>+=-=， 所以~(10,0.1814)Y B ，
所以2
2810
(2)0.18140.8186450.0330.2020.300P Y C ==⨯⨯≈⨯⨯≈． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，左、右顶点分别为A
，B ，
上、下项点分别为C ，D ，四边形ACBD 的面积为． （1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 与椭圆交于P
，Q 两点，直线PB 、QB 分别交直线4x =于
M ，N 两点，判断BM BN ⋅是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得222122c a a b c ab ⎧=⎪⎪
=+⎨⎪
=⎪⎩
，
解得2,a b =C 的方程为22
143
x y +=．
（2）方法1：若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，
此时可得33
(1,),(1,)22
P Q -，(4,3)M -，(4,3)N ，所以5BM BN ⋅=-．
若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y x =-≠，代入22
143
x y +=，
整理得2
222
(34
)84
120x x +-+-=，易得△0恒成立．
设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，1(x ，22)x ≠，则2
212122
2
8412
,34
34x x x x -+=
=
++， 由直线PB 的方程11(2)2y y x x =--可得点1
12(4,)2y M x -，
由直线QB 的方程22(2)2y y x x =--可得点2
22(4,)2
y N x -，
所以12
1222(2,),(2,)22
y y BM BN x x ==--
所
以
22
22
2
2
12
121222
22
12121222()1
412843
9
444
44
44522
2()4
41228
4(43)
4y y x x x x BM BN x x x x x x -++--++-⋅=+⋅=+=+=+⨯
=----++--⨯++
综上，BM BN ⋅为定值．
方法2：显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+，代入22
143
x y +=，
整理得22(34)690m y my ++-=，易得△0恒成立． 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，1(x ，22)x ≠，则1212
2269
,3434
m y y y y m m --+==++， 由直线PB 的方程11(2)2y y x x =--可得点1
12(4,)2y M x -， 由直线QB 的方程22(2)2y y x x =--可得点2
22(4,)2
y N x -， 所以121222(2,
),(2,)22
y y BM BN x x ==-- 所以1212
2
1212122244422()1
y y y y BM BN x x m y y m y y ⋅=+⋅=+---++ 22236
44959634
m m m -=+
=-=--+++．
BM BN ⋅为定值．
22．（12分）已知函数()x f x e alnx =-，（其中a 为参数）．
（1）若1a =，且直线1y x =+与()y f x =的图象相切，求实数的值； （2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()f x alna >成立，求正实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）若1a =，则()(0)x f x e lnx x =->，则1()x f x e x
'=-， 直线1y x =+恒过定点(0,1)，则直线的斜率为000
1x e lnx x --，
设切点0
00(,)x P x e lnx -，由导数几何意义可得00000
11
x x e lnx e x x --=-，即000(1)0x x e lnx -+=，
令()(1)(0)x x x e lnx x ϕ=-+>，观察得ϕ（1）0=， 又1
()0x x xe x
ϕ'=+
>，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增， 所以方程000(1)0x x e lnx -+=的根仅有01x =， 所以1e =-；
（2）令()(0)x
g x e alnx alna x =-->，则()x x
a xe a
g x e x x
-'=-=，
令()(0)x x xe a x ϕ=-，则()x ϕ在[0，)+∞上递增，且(0)0a ϕ=-<，ϕ（a ）(1)0a a e =->， 所以存在唯一0(0,)x a ∈，使得000()0x x x e a ϕ=-=， 所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，故函数()g x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，故函数()g x 单调递增， 所以000000
1
()()(2)x min g x g x e alnx alna a lnx x x ==--=-- 由()0g x >对(0,)x ∈+∞恒成立，可得000
1
(2)0a lnx x x -->，即000120lnx x x -->，
令1()2,(0)h x lnx x x x =
-->，则212
()10h x x x
'=---<，所以()h x 在(0,)+∞上递减， 由h （1）0=，所以()0h x >的解为01x <<，所以001x <<， 令()x x xe φ=，(0,1)x ∈，则()x φ在(0,1)上递增， 所以00(0,)x a x e e =∈， 所以0a e <<．。