必修一高一数学压轴题

1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式21
12
2
2(log )7log 30x x ++≤，
求2
2()log log 42
x x
f x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．
2．（14分）已知定义域为R 的函数2()1
2x x
a
f x -+=+是奇函数
（1）求a 值；
（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；
（3）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；
3.（本小题满分10分） 已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=
+为奇函数,且12()25
f =.
(1) 求实数a ,b 的值； (2) 用定义证明:函数
()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.
4.(14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1)
(2)求证：f(x)为减函数。

(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f
5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2-2bx+4
b
(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y -- 是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；
（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围；
（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()
22()()()2h x h x h x F x a
a a ---=-+，
（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54
，求a 的值.
10、已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为（ ） A ．1(,4)4
B ．1(,)(4,)4-∞+∞U
C ．1(0,)(4,)4+∞U
D ．1(,)(0,4)4
-∞U
11、设1(0,)2
a ∈，则1
212
,log ,a
a a a 之间的大小关系是
（ ）
A ．1
212
log a
a a a >>
B ．1
212
log a a a a >> C ．1
212
log a
a a a >> D ．1
212
log a
a a a >>
12、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对任意的非常实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2
[()]()0m f x nf x p ++=的
解集不可能是 （ ） A ．{1,2}
B ．{1,4}
C ．{1,2,3,4}
D ．{1,4,16,64}
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13、已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,4,6}A =，则集合U A ð的所有子集共有 个. 14、已知2
()345,()(2)f x x x g x f x =-+=-，则(3)g = . 15、函数12
2
()log (2)f x x x =--的单调递增区间为 .
16、定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，2009()2009log x
f x x =+，则方程()0f x =的实根个数为 .
二、填空题：（5420⨯=分）13、4；14、4；15、；16、3
21、（12分）设函数124()lg ()3
x
x
a f x a R ++=∈.
（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；
（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 21、解：（1）当2a =-时，函数()f x 有意义，则12240122403
x
x
x x +-⨯>⇒+-⨯>，令2x
t =，不等式化为：
2121012t t t --<⇒-<<，转化为12102
x x -<<⇒<，∴此时函数()f x 的定义域为(,0)-∞
（2）当1x <-时，()f x 有意义，则124121101240()3
442
x
x
x
x x
x x x a a a +++>⇒++>⇒>-=-+，令
11()42
x x y =-+在(,1)x ∈-∞-上单调递增，∴6y <-，则有6a -…；
（3）当01,0a x <<≠时，22222(124)1241242()(2)2log lg lg 333(124)
x x x x x x x x a a a f x f x a ++++++-=-=++，
设2x
t =，∵0x ≠，∴1t ≠且01a <<，则
2224232(124)3(124)(3)2(22)2(1)x x x x a a t a a at t a t ++-++=-++-+-g g
4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0t a a at t a t at t at t <-++-+-=------<
∴2()(2)f x f x < 22．（本题满分14分） 已知幂函数
(2)(1)()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

（1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；
（2）对于（1）中的函数
()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间[]0,1上
的最大值为5。

若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

22．（本题满分14分）已知函数1()(0x f x a a -=>且1)a ≠
（Ⅰ）若函数
()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值；
（Ⅱ）当a 变化时，比较1
(lg
)( 2.1)100
f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l
g )100f a =，求a 的值．
20．（本题16分）已知函数9()log (91)x
f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若函数()y f x =的图象与直线1
2
y x b =
+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()
94()log 33x
h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．
10. 若函数2()2f x x x =-+，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ C ）
A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x +
B ．12()2x x f +<
12()()
2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>
12()()
2
f x f x +
18. （本小题满分12分）二次函数()y f x =的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)A B C --.
（1）求函数()y f x =的解析式（2）求函数()y f x =在区间[],1t t +上的最大值和最小值22.解：由21
12
2
2(log )7log 30x x ++≤，∴12
13log 2
x -≤≤-
， ∴21
log 32
x ≤≤， 而2222()log log (log 2)(log 1)42
x x
f x x x =⋅=--
=222(log )3log 2x x -+=2231(log )24
x --，
当23log 2x =时min 1
()4
f x =- 此时x =3
22
=
当2log 3x =时max 91
()244
f x =
-=，此时8x =．
21.．解：（1）由题设，需12
(0)0,1a
f a -+=
=∴=，12
1
2()x
x
f x -+∴=
经验证，
()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）
（2）减函数--------------（3分）
证明：任取
1
2
1
2
2
1
,,,0R x x x x x x x ∈∆=-p f ，
由（1）12212
1
122(22)
12122
1
1212(12)(12)
()()x x x x x x x x y f f x x ---++++∆=-=-=
121
2
1
2
12
,022,220,(12)(12)0x x x x x x x x ∴∴-++Q p p p p f
0y ∴∆p
∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）
（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得22
(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x Q 是奇函数
22
(2)(2)f t t f k t ∴-<-，由（2），()f x 是减函数 ∴原问题转化为2222t t k t --f ，
即2
320t t k --f 对任意t R ∈恒成立------（10分） 4120,k ∴∆=+p 得1
3
k <-
即为所求--- ---(14分) 20、解：(1)由
2
()1ax b
f x x
+=
+为奇函数,且 2122()125
1()2
a b
f +==+ 则
21122()()1225
1()2
a b
f f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。

∴2()1x f x x =
+
(2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<
<<,
221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=
++++12122212()(1)
(1)(1)x x x x x x --=++ Q 1211x x -<<< ∴ 120x x -< ,1210x x -> , 21(1)0x +>, 22(1)0x +> ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <
故函数
()f x 在区间(1,1)-上是增函数.
(3) Q
(1)()0f t f t -+< ∴ ()(1)(1)f t f t f t <--=-
Q 函数
()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴ 111111
t t
t t <-⎧⎪
-<<⎨⎪-<-<⎩
∴102t <<
故关于t 的不等式的解集为1(0,
)2
. 21，（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x
所以kx>x,f(kx)<f(x)对x ∈R+恒成立，所以 f(x)为R+上的单调减函数 法二：设()2121,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则
)()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=-
有题知，f(k)<0
)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即
所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三 设()212
1,0,x x x x <+∞∈且
)()()()()(1
2121121x x f x x x f x f x f x f -=⋅
-=- 0)(11
212<∴>x x
f x x Θ
)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即
所以f(x)在（0，+∞）上为减函数
22. 解：f(x)=(x-b)2
-b 2
+
4
b
的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1）， (I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2
+4b
;
②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-31
4
b ， 综上所述，f(x)的最小值g(b)＝2 (14)4
3116 (4)4
b
b b b b ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤。

＞
(II) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝-b 2
+4
b ＝-(b-
18)2
+164
， ∴当b ＝1时，M ＝g(1)＝-
34
； ②当b ＞4时，g(b)＝16-31
4
b 是减函数，∴g(b)＜16-314×4＝-15＜-34，
综上所述，g(b)的最大值M= -3
4。

22、解：（1）设点Q 的坐标为(',')x y ，则'2,'x x a y y =-=-，即'2,'x x a y y =+=-。

∵点(,)P x y 在函数log (3)a y x a =-图象上 ∴'log ('23)a y x a a -=+-，即1'log 'a
y x a
=-∴1()log a
g x x a =-
(2)由题意[2,3]x a a ∈++，则3(2)3220x a a a a -=+-=-+>，110(2)x a a a
=>-+-.
又0a >，且1a ≠，∴01a <<
221|()()||log (3)log ||log (43)|a a
a
f x
g x x a x ax a x a
-=--=-+-
∵()()1f x g x -„ ∴22
1log (43)
1a x ax a --+剟
∵01a <<∴22a a +>，则22
()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数2
2
()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数，
从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。

min [()](3)log (96)a u x u a a =+=-
{log (96)101,log (44)1
a a
a a a --<<-又则
…„9570a -∴<„
（3）由（1）知1()log a
g x x a
=-，而把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，则1()log log a a h x x
x
==-，
∴
1log 22log log 1()22()()22()222a a a x x x h x h x h x F x a a a a a a ax a x x ++---=-+=-+=-+，
即22()(21)F x a x a x =-++，又0,1a a >≠且，()F x 的对称轴为2
212a x a
+=，又在1[,4]4的最大值为54
， ①令2
21142a a
+<⇒242026()26a a a a -->⇒<->舍去或()F x 在1[,4]4
上递减，∴()F x 的最大
值为22
55111()(21)81604(26,)4
4
16
4
4
F a a a a a =⇒-++=⇒-+=⇒=∉+
+∞，此时无解；
②令22
2111482104
2
2a a a a a
+>⇒--<⇒-<<，又0,1a a >≠且，∴102a <<；此时()F x 在1[,4]4
上递增，∴()F x 的最大值为214255(4)168444F a a a ±=
⇒-++=⇒=，又102
a <<，∴无解；
③令2
22
2242021141182104
242
a a a a a a a a a
⎧⎪⎧--+⇒⇒⎨⎨---⎩⎪⎩或„剟剠…且0,1a a >≠且
∴1212a a ≠剟，此
时()F x 的最大值为2
2
2242(21)(21)2155()44242a a a F a a a a +++
=⇒-+=2
22
(21)541044a a a a +⇒=⇒--=，解
得：2a =±
，又1212
a
a ≠剟
，∴2a =
综上，a
的值为222．解: （１）()()23f f <Q
，()()21012,k k k ∴-+>⇒-<<
,0k Z k ∈∴=Q 或1k =；当0k =时，()2f x x =，当1k =时，()2f x x =；
0k ∴=或1k =时，()2f x x =．
（２）()()()()2121211g x mf x m x mx m x =-+-=-+-+Q
，
0m >Q ，
()g x Q 开口方向向下，对称轴211
1122m x m m
-=
=-< 又()()01,g g x =Q
在区间［０，１］上的最大值为５，
1110221152m m g m m ⎧⎧
->>⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨
⎛⎫⎪⎪-== ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩
5
2
m ∴=
+22．解：（Ⅰ）函数
()y f x =的图象经过(3,4)P
∴3-14a =，即2
4a =. 又0a >，所以2a =.
（Ⅱ）当1a >时，1
(lg )( 2.1)100f f >-; 当01a <<时，1
(lg )( 2.1)100f f <- 因为，31
(lg )(2)100
f f a -=-=， 3.1( 2.1)f a --= 当1a >时，x
y a =在(,)-∞+∞上为增函数，
∵3 3.1->-，∴3 3.1
a a -->.
即1
(lg )( 2.1)100
f f >-. 当01a <<时，x
y a =在(,)-∞+∞上为减函数，
∵3 3.1->-，∴3 3.1
a a --<.
即
1
(lg
)( 2.1)100
f f <-. （Ⅲ）由(l
g )100f a =知，lg 1
100a a
-=. 所以，lg 1
lg 2a a
-=（或lg 1log 100a a -=）. ∴(lg 1)lg 2a a -⋅=.
∴2
lg lg 20a a --=， ∴lg 1a =- 或 lg 2a =，
所以，1
10
a = 或 100a =.
说明：第（Ⅱ）问中只有正确结论，无比较过程扣2分 20．
(1)因为()y f x =为偶函数， 所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ， 即 99log (9
1)log (91)x
x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立.
于是9999912log (9
1)log (91)log log (91)9
x x
x
x x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12
k =-
. -----------------------4分 (2)由题意知方程911log (91)22
x
x x b +-
=+即方程9
log (91)x x b +-=无解.
令9()log (91)x
g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.
因为99911()log log 19
9x
x x g x ⎛⎫+==+ ⎪
⎝
⎭
任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x
x
<<，从而
12
1199x x >.
于是129911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
⎭
，即12()()g x g x >，
所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. 因为1119x +
>，所以91
()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭
.
所以b 的取值范围是(],0.-∞ ----------------------- 6分
(3)由题意知方程143333x
x x
a a +
=⋅-有且只有一个实数根．
令30x
t =>，则关于t 的方程2
4(1)103
a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.
若a =1，则34
t =-
，不合, 舍去； 若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.
由304a ∆=⇒=
或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132
a t =-⇒=； 方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔>
综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞U ． ----------------------- 6分
18(1)解
,A B 两点纵坐标相同故可令()7(3)(5)f x a x x -=+-即()(3)(5)7f x a x x =+-+将(2,8)C -代
入上式可得1a =
∴
2()(3)(5)728f x x x x x =+-+=--…………4分
(2)由2()28f x x x =--可知对称轴1x =
1）
当11t +≤即0t
≤时()y f x =在区间[],1t t +上为减函数
∴2max ()()28f x f t t t ==--
22min ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=-…………6分
2）
当1t
≥时，()y f x =在区间[],1t t +上为增函数
∴22max ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=-
2min ()()28f x f t t t ==-- …………8分
3）当1110t
t -≥+->即1
02
t <≤
时 2max ()()28f x f t t t ==--
min ()(1)9f x f ==- …………10分
4）当0111t t <-<+-即
1
12
t <<时 22max ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=-
min ()(1)9f x f ==- …………12分
11
11。