最新高中必修五数学上期中第一次模拟试卷及答案

最新高中必修五数学上期中第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018
B ．2018-
C ．4036-
D ．4036
2．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．31log 5+
D ．32log 5+
5．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ） A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
6．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
7．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16
B ．26
C ．8
D ．13
8．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,
5⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
9．,x y 满足约束条件36
2000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则
23
a b
+的最小值为 ( )
A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
10．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
11．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92
C ．5
D ．
52
12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <
二、填空题
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321
n n S n T n +=+，则
4
4
a b =_____． 15．已知数列111
1
12123123n
+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *
=++∈，,求n a =.__________．
17．设不等式组30,
{230,1
x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线
20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．
18．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则1
12n n
a a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．
19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n
a n
的最小值为__________. 20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
10119122a a a a e +=，则
1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．
三、解答题
21．在平面四边形ABCD 中，已知34
ABC π
∠=
，AB AD ⊥，1AB =．
（1）若5AC =
ABC ∆的面积；
（2）若5
sin 5
CAD ∠=
，4=AD ，求CD 的长． 22．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.
（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .
23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
24．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．
25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()
3cos 23cos a C b c A =
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．
26．设函数2
()1f x mx mx =--．
(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.
详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：
120171009201710092201720172017201722
a a a
S a +=
⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：
()12018
201710091010201810091009440362
a a S a a +=
⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，
所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2111113
2sin 2cos 2sin 22442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π
<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

【详解】
因为313233310log log log log a a a a ++L =()312310log a a a a L =()5
3110log a a ,
又4756110a a a a a a ⋅=⋅=⋅，由475618a a a a ⋅+⋅=得1109a a ⋅=，所以
313233310log log log log a a a a ++L =53log 9=10，故选A 。

【点睛】
本题考查了对数运算及利用等比数列{}n a 的性质，利用等比数列的性质：当
,(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时，m n p q a a a a ⋅=⋅，
特别地2,(,,)m n k m n k N *
+=∈时，2m n k a a a ⋅=，套用性质得解，运算较大。

5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33
222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x Q >，0y >，20x y xy +-=， 2
122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
22(2)5592x x -+
+≥=-Q ， 当且仅当1
22x x -=-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+，
32x y ∴+的最大值为13
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
7．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，
∴1134101313()13()
1322
a a a a S ++=
==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈， ()22
10f x x
∴'=-
-<恒成立
()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则235
a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20x y x y --=⎧⎨-+=⎩
得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236
a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式a b +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

10．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；
C 项，虽然320,210>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
设f （x ）1221x x
=+-，根据形式将其化为f （x ）()1
1522
21x x x x
-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13
=时()1
122
1x x x x
-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f
（
13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（12
21x x
+-）min ，由此可得实数m 的最大
值． 【详解】
解：设f （x ）1
1
222211x x x x
=+=+--（0＜x ＜1） 而122
1x x
+=
-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1
152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0
∴()1122
1x x x x -+≥-
=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()1
122
1x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x
+-）min 因此，可得实数m 的最大值为9
2
故选：B ． 【点睛】
本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
二、填空题
13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
解析：5
【解析】 【分析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,12
5(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨
+⋅=+⎩
.
故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.
14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：
23
8
【解析】 【分析】
根据等差数列中等差中项的性质，将所求的17
4417a a a b b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为7
7
S T ，从而得到答案.
【详解】
因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列
所以7
47
4141422a a b b a a b b ==++ ()
()177177
7272a a S b b T +==+
37223
718
⨯+=
=+ 【点睛】
本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
15．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：
21
n
n + 【解析】 【分析】
由题意可知此数列为1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，
由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111
n n n ⎛
⎫-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.
16．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：4,1
41,2
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a == 所以11S a ≠ 所以 4,1
41,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。

17．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 解析：
25
【解析】
作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中
(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，
由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22
215
21d -=
=
+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为
25
，即25CD = .
点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.
18．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简
解析：【解析】 【分析】
根据等比数列通项公式，求出()
()
1
211
2122
212
n n n n a
a a a ++--++=-
-+=L ，计算
()
2211
1111222222
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解. 【详解】
由题2n
n a =， ()
()
1
211
2122212
n n n n a a a a ++--++=-
-+=L
()
2211
1111222222n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L
()
21
12224n n a
a a a +-+++===L .
故答案为：4 【点睛】
此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.
19．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：
212
【解析】 【分析】
先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以
331n a n n n =+-，设f （n ）33
1n n
=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n
a n
的最小值． 【详解】
解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而
33
1n a n n n
=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）233
10n
-=+＞， 则f （n
）在
)
+∞
上是单调递增，在(0上是递减的，
因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为
55355a =，66321662
a ==，
所以
n a n 的最小值为62162
a = 故答案为 21
2
【点睛】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
20．50【解析】由题意可得=填50
解析：50 【解析】
由题意可得5
1011912a a a a e ==，
1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.
三、解答题
21．（1）1
2
；（2 【解析】 【分析】
（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求
解；
（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA 10
∠=
，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】
（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅
即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.
所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 1222
∠=
⋅⋅=⨯=.
（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==
,所以cos BAC ∠=，
sin BAC ∠=
π
sin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫
=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC 2
∠∠=-
=
=⎝⎭.
在ΔABC 中，
AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=
, AB sin ABC
AC sin BCA
∠∠⋅∴=
= 222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以
51624135
=+-⨯
=
所以CD = 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 22．⑴见证明；⑵()11222
n n n ++-+
【解析】 【分析】
（1）由递推公式计算可得1
2n n
b b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2n
n a n =+，分组求和可得()11222
n n n n S ++=-+
.
【详解】 （1）
()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n
++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-=
{}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）得2n n b =，2n
n a n ∴=+，
()()()()
()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++
(
)()()1
212112
2122
2
n
n n n n n +-++=
+=-+
-.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
23．（1）12n n a -=；（2）2
1122
n n n -++-
【解析】 【分析】
（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可． 【详解】
（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①， 当1n =时，1121a S =+，∴11a =， 当2n ≥时，203m/s B B B
F m g
a m μ-=
=②
①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠， ∴
1
2n
n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴11
122n n n a --=⨯=．
（2）由12n n n a b na =+得111
222
n n n b n n a -=+=+， 所以()1212111
1n n n
T b b b n n a a a =+++=
+++++L L ()()1111211211212
n n n n n n -⎡⎤
⎛⎫⨯-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 24．（1
2
）
4
. 【解析】 【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值． 【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，
因为：
sin sin b a
a B A
=⇒=
2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；
ABC ∆∴的面积1
1sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；
即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤
；
即S 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
25．（Ⅰ）6
π
；（Ⅱ）2+. 【解析】
分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．
cos 2sin cos cos A C B A C A =
()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =
又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2
A = 又A 为三角形内角，所以6
A π
=
．
（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，
所以(42bc ≤+，所以1
sin 22
S bc A =
=. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
26．(1) 40m -<≤．(2) 16
m < 【解析】 【分析】
(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.
(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围. 【详解】
解：(1)要使210mx mx --<恒成立， 若0m =，显然10-<；
若0m ≠，则有2
040m m m <⎧
⎨∆=+<⎩
，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．
(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；
当0m ≠时，该函数的对称轴是12
x =
，2
()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，
只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即1
06
m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可，
此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知16
m <． 【点睛】
一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.。