15.4.1 因式分解
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》这一节主要介绍了因式分解的概念和基本方法。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法，并能够运用这些方法解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了整式的乘法，对一些基本的代数运算有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的数学思想，对学生来说可能还有一些抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.了解因式分解的概念和意义。
2.掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法。
3.能够运用因式分解解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和意义。
2.提公因式法和公式法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从实际问题出发，探索和理解因式分解的概念和方法。
同时，结合案例分析和练习，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，比如：已知二次函数f(x)=x^2+4x+4，求其解析式。
让学生思考如何将这个二次函数表示成两个一次函数的乘积形式。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念，介绍提公因式法和公式法。
通过PPT课件，展示因式分解的步骤和例子，让学生理解和掌握因式分解的方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个题目进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，教师选取一些题目进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将因式分解应用到解决实际问题中，比如：求解一元二次方程、求函数的极值等。
6.小结（5分钟）让学生总结因式分解的概念和方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生巩固所学知识。
2022-2023学年八年级数学北师大版下册4.1因式分解 教案
2022-2023学年八年级数学北师大版下册4.1因式分解教案一、教学目标1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握基本的因式分解方法；3.能够应用因式分解解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和综合运算能力。
二、教学内容1.回顾负数的乘法和除法；2.因式分解的基本概念；3.因式分解的基本方法；4.应用因式分解解决实际问题。
三、教学重点1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握基本的因式分解方法。
四、教学难点1.能够应用因式分解解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和综合运算能力。
五、教学准备1.北师大版八年级数学下册教材；2.学生练习册；3.教学投影仪和课件。
六、教学过程1. 导入（5分钟）目的：进一步激发学生对因式分解的兴趣。
1.引入一个生活中的问题：小明买了5个苹果，小红买了3个苹果，他们一共买了多少个苹果？请用数学式子表示出来。
2. 新课讲解（10分钟）目的：引入因式分解的概念和意义。
1.引导学生思考：在小明和小红买苹果的问题中，能否用一种更简洁的方式表示数量关系？2.引出因式分解的概念：将一个数或者一个代数式写成若干个乘积的形式，其中每个乘积的因数称为因式。
3.引导学生发现因式分解的意义：通过因式分解，可以使问题的表达更加简洁，同时也方便我们进行计算和解题。
3. 示例演练（15分钟）目的：回顾负数的乘法和除法，并让学生掌握基本的因式分解方法。
1.提醒学生注意负数的乘法和除法规则：两个负数相乘得正数，一个正数和一个负数相乘得负数，负数除以正数得负数，正数除以负数得正数。
2.给出一个示例：将14ab分解为因式的乘积。
3.引导学生思考解题思路：首先确定14的因数，然后确定a和b的因数，并组合得到14ab的所有因式。
4.和学生一起分解示例：14ab = 2 * 7 * a * b。
4. 练习与巩固（15分钟）目的：让学生通过练习巩固所学的因式分解方法。
1.学生完成教材上的练习题，老师及时给予指导和解答。
5. 拓展与应用（10分钟）目的：引导学生将因式分解应用到实际问题中。
八年级上册数学教案(6篇)
八年级上册数学教案（6篇）八年级上册数学教案（篇1）一、学生起点分析通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是：①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：想一想⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．算一算已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长的平方，并提出问题：是整数（或分数）吗？2．剪剪拼拼把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：议一议→释一释→忆一忆→找一找议一议：已知，请问：① 可能是整数吗？② 可能是分数吗？释一释：释1．满足的为什么不是整数？释2．满足的为什么不是分数？忆一忆：让学生回顾“有理数”概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础找一找：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．第四环节：应用与巩固内容：画一画1→画一画2→仿一仿→赛一赛画一画1：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1．长度是有理数的线段2．长度不是有理数的线段画一画2：在右2的正方形网格中画出四个三角形（右1） 2．三边长都是有理数2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数4．三边长都不是有理数仿一仿：例：在数轴上表示满足的解：（右2）仿：在数轴上表示满足的赛一赛：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！（右3）目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．第五环节：课堂小结内容：1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．第六环节：布置作业习题2.1六、教学设计反思（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．（二）化抽象为具体常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．（三）强化知识间联系，注意纠错既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．八年级上册数学教案（篇2）教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重、难点与关键1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入问题牵引请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1．ma+mb+mc=（）（）；2．_2－4=（）（）；3．_2－2_y+y2=（）2．师生共识把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究问题牵引（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（_+1）（_－1）=_2－1；②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；③7_－7=7（_－1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．①9_2（______）+y2=（3_+y）（_______）；②_2－4_y+（_______）=（_－_______）2．四、随堂练习，巩固深化课本练习．探研时空计算：993－99能被100整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破选用补充作业．板书设计15.4.1 因式分解1、因式分解例：练习：15.4.2 提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重、难点与关键1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．•公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知复习交流下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2_2+4=2（_2+2）；（2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；（3）_2+4_y－y2=_（_+4y）－y2；（4）m（_+y）=m_+my；（5）_2－2_y+y2=（_－y）2．问题：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式4_2－_和_y2－yz－y呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．教师归纳我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在4_2－_中的公因式是_，在_y2－yz－y中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法教师提问多项式4_2－8_6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？师生共识提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学例1把－4_2yz－12_y2z+4_yz分解因式．解：－4_2yz－12_y2z+4_yz=－（4_2yz+12_y2z－4_yz）=－4_yz（_+3y－1）例2分解因式，3a2（_－y）3－4b2（y－_）2思路点拨观察所给多项式可以找出公因式（y－_）2或（_－y）2，于是有两种变形，（_－y）3=－（y－_）3和（_－y）2=（y －_）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（_－y）3－4b2（y－_）2=－3a2（y－_）3－4b2（y－_）2=－[（y－_）23a2（y－_）+4b2（y－_）2]=－（y－_）2 [3a2（y－_）+4b2]=－（y－_）2（3a2y－3a2_+4b2）解法2：3a2（_－y）3－4b2（y－_）2=（_－y）23a2（_－y）－4b2（_－y）2=（_－y）2 [3a2（_－y）－4b2]=（_－y）2（3a2_－3a2y－4b2）例3用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．教师活动引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：0.84×12+12×0.6－0.44×12=12×（0.84+0.6－0.44）=12×1=12．教师活动在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化课本P167练习第1、2、3题．探研时空利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本P170习题15．4第1、4（1）、6题．板书设计15.4.2 提公因式法1、提公因式法例：练习：15.4.3 公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重、难点与关键1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知问题牵引请同学们计算下列各式．（1）（a+5）（a－5）；（2）（4m+3n）（4m－3n）．学生活动动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．教师活动引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．学生活动从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．教师活动引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学例1把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）_2－9y2；（2）16_4－y4；（3）12a2_2－27b2y2；（4）（_+2y）2－（_－3y）2；（5）m2（16_－y）+n2（y－16_）．思路点拨在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．教师活动启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．学生活动分四人小组，合作探究．解：（1）_2－9y2=（_+3y）（_－3y）；（2）16_4－y4=（4_2+y2）（4_2－y2）=（4_2+y2）（2_+y）（2_－y）；（3）12a2_2－27b2y2=3（4a2_2－9b2y2）=3（2a_+3by）（2a_－3by）；（4）（_+2y）2－（_－3y）2=[（_+2y）+（_－3y）][（_+2y）－（_－3y）] =5y（2_－y）；（5）m2（16_－y）+n2（y－16_）=（16_－y）（m2－n2）=（16_－y）（m+n）（m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本P168练习第1、2题．探研时空1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数． 2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本P171习题15．4第2、4（2）、11题．板书设计15.4.3 公式法（一）1、平方差公式：例：a2－b2=（a+b）（a－b）练习：15.4.3 公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力． 2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重、难点与关键1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知问题牵引1．分解因式：（1）－9_2+4y2；（2）（_+3y）2－（_－3y）2；（3） _2－0.01y2．八年级上册数学教案（篇3）一、创设情景，明确目标多媒体展示：内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大!”“不行啊!”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么?”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗?二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分.三、合作探究，达成目标三角形的内角和活动一：见教材P11“探究”.展示点评：从探究的操作中，你能发现证明的思路吗?图中的直线L与△ABC的边BC有什么关系?你能想出证明“三角形内角和的方法”吗?证明命题的步骤是什么?证明三角形的内角和定理.小组讨论：有没有不同的证明方法?反思小结：证明是由题设出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程.三角形三个内角的和等于180°.针对训练：见《学生用书》相应部分三角形内角和定理的应用活动二：见教材P12例1展示点评：题中所求的角是哪个三角形的一个内角吗?你能想出几种解法?小组讨论：三角形的内角和在解题时，如何灵活应用?反思小结：当三角形中已知两角的读数时，可直接用内角和定理求第三个内角;当三角形中未直接给出两内角的度数时，可根据它们之间的关系列方程解决.针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1.本节学习的数学知识是：三角形的内角和是180°.2.三角形内角和定理的证明思路是什么?3.数学思想是转化、数形结合.《三角形综合应用》精讲精练1. 现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是( )A.5B.6C.7D.103.下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角;②三角形的三个内角中至少有一个钝角;③一个三角形中，至少有一个角不小于60°;④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°;⑤直角三角形中两锐角互余.其中正确的说法有________(填序号).《11.2与三角形有关的角》同步测试4.(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,∠ACD与∠B有什么关系?为什么?(2)如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别在AC,AB上,且∠ADE=∠B,判断△ADE的形状.为什么?(3)如图③,在Rt△ABC和Rt△DBE 中,∠C=90°,∠E=90°,AB⊥BD,点C,B,E在同一直线上,∠A与∠D有什么关系?为什么?八年级上册数学教案（篇4）单元（章）主题第三章直棱柱任课教师与班级本课（节）课题3.1 认识直棱柱第 1 课时 / 共课时教学目标（含重点、难点）及设置依据教学目标1、了解多面体、直棱柱的有关概念.2、会认直棱柱的侧棱、侧面、底面．3、了解直棱柱的侧棱互相平行且相等，侧面是长方形（含正方形）等特征．教学重点与难点教学重点：直棱柱的有关概念.教学难点：本节的例题描述一个物体的形状，把它看成怎样的两个几何体的组合，都需要一定的空间想象能力和表达能力.教学准备每个学生准备一个几何体，（分好学习小组）教师准备各种直棱柱和长方体、立方体模型教学过程内容与环节预设、简明设计意图二度备课（即时反思与纠正）一、创设情景，引入新课师：在现实生活中，像笔筒、西瓜、草莓、礼品盒等都呈现出了立体图形的形状，在你身边，还有没有这样类似的立体图形呢？析：学生很容易回答出更多的答案。
八年级数学《15.4因式分解》教学稿
《15.4因式分解》教学稿年级：八年级 学科：数学 执笔：王翠敏 内容：《15.4因式分解》 课型：新授 时间：2010.1.20教学目标：1.掌握x 2+(p+q)x ＋pq 型式子的分解因式方法2.培养学生寻找、发现规律并熟练运用规律的能力 重点难点：重点：掌握x 2+(p+q)x ＋pq 型的二次三项式分解因式的方法难点：确定x 2+(p+q)x ＋pq 中的p 与q 学习方法：自学─引导相结合的方法． 教学流程一．回顾思考，复习旧知 把下列各式分解因式：1. 4a 2bc+6a 3b2. 9a 2-1163. -41a 2 + b 44. 4x 3-8x 2 -4x5. x 2+xy+2y 46. a 3b-ab ；7. 3ax 2+6axy+3ay 2 8. 2a 4－32 9. a 2-2a(b+c)+(b+c)210. a 2b 2－10ab ＋25 11.a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)12. a 4(x －y)＋b 4(y －x)二．学习新知 知识点一：活动一：自主探索，感受新知自学课本P 172的观察与猜想完成下列问题 1. 填空：x 2+(p+q)x ＋pq ＝ ( ) ( ) x 2+(a+b)x+ab ＝ ( ) ( ) x 2+(m+n)x+mn ＝ ( ) ( ) x 2+(3+4)x+3×4＝ ( ) ( ) 2. x 2+(p+q)x ＋pq 型式子的特点 ⑴ 二次项系数为1⑵ 常数项是两个数之积⑶ 一次项系数是常数项的两因数之和 3.做P 172的练习4. x 2+(p+q)x ＋pq 型因式分解时常数项因数分解的一般规律： ⑴.常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同。
⑵.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。
对应训练：1. 把下列各式分解因式(1) x 2 +4x+3(2) x 2-2x-15 (3) x 2+x-2(4) q 2－6q+8 (5) x 2+x －20 (6) x 2－3x －54(7) p 2－5p －36 (8) y 2－9y －22 ⑼ n 2 +4n －32⑽ a 2 +2a －35 (11) a 2－12a+272. 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个3.多项式 x 2－3x+a 可分解为(x-5)(x-b),则a,b 的值为( ) (A) a=10,b=-2 (B) a= -10,b=-2 (C) a=10,b=2 (D)a= -10, b=24.如果 x 2 +(a+b)x+5b= x 2－x －30,则b 为( ) (A) 5 (B) -5 (C) 6 (D) -65. (2004·甘肃)为使x 2-7x+b 在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 .6. 把下列各式分解因式⑴x 2y 2-3xy-10 ⑵ (m-n)2-(m-n)-12 ⑶ x 2-xy-2y 2⑷22421x xy y -- ⑸（x －2）2+5（x －2）+4⑹（a+b ）2 +6（a+b ）-7 ⑺ (x 2－3)2－4x 2⑻222()14()24x x x x +-++7.综合应用已知一个矩形的面积为x 2+7xy+6y 2，其中一条边为x+y ，求矩形的另一条边？（三）小组交流、反馈学生回忆所学知识。
15.4.1 提公因式法因式分解
15.4.1 因式分解---提公因式学习目标：1、理解因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念；2、会用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法。
学习重点; 会用提公因式法分解因式．学习难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式。
学习过程：一、回顾引入：1、把630分成质因数的乘积为：630= .2、计算：x(x+1)= ；(x+1)(x－1)= 。
3、请你将下列各式写成乘积的形式：x2+x=_______ ；x2-1=______ ；（3）am+bm+cm=_ _；观察上面三个等式的特点：等号左边是式，等号的右边是形式。
二、新知探究：（一）因式分解的概念：定义：把一个化成的的形式，叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。
x2-1 (x+1)(x-1)练习一.1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2；(5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).2.下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)xxxxx3)2)(2(342++-=+-(7))11(1xxx+=+； (8)18a3bc=3a2b·6ac.(二)提公因式法分解因式:1、方法探究:在多项式am+bm+cm中,公因式是 ,分解因式:am+bm+cm= .多项式中各项都含有的因式,叫做这个多项式 .把多项式ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m 所得的商，•像这种分解因式的方法叫做．2、在下列各式右边括号前添上适当的符号，使左式与右式相等：① a-b=____(b-a) ② -a+b=____(b-a)3、运用新知：例把下列各式分解因式分解：(1)8a3b2 +12ab3c ．分析：公因式是，8a3b2 = ▪ , 12ab3c= ▪解:原式= ▪ + ▪ =(2)3x3-6xy+x．(3)-4a3+16a2-18a, (4)2a（b+c）-3（b+c） (5)6（x-2）+x（2-x）解: (2) 3x3-6xy+x＝▪－▪＋▪＝．(3) -4a3+16a2-18a＝▪＋▪ + ▪＝(4) 2a（b+c）-3（b+c）= ;(5) 6(x-2）+x(2-x）= = .(6)()()323a a a-+-（7）()()4a y zb z y---(8)7 ( a–3 ) –b ( 3–a) (9)x3(y-3)+x2(3-y)判断多项式是否为因式分解，需要注意：①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算，而是把多项式由一种形式变成另一种形式；②一个多项式的变形是不是因式分解，关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积．整式可以是单项式，也可以是多项式．③因式分解是一种恒等变形，因式分解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形，检验因式分解的结果是否正确，可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等，相同因式之积应写成幂的形式．四、当堂练习: 1.说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb , (2)4kx －8ky, ; (3)5y 3+20y 2 , ; (4)a 2b －2ab 2+ab, . 2.把下列各式因式分解(1)3mx-6my (2)x 2y+xy 2 (3)12a 2b 3－8a 3b 2－16ab 4(4)8m 2n+2mn (5)12xyz-9x 2y 2 (6)2a(y-z)-3b(z-y)(7)c ab ab b a 3222834+- (8)xz xy x -+-2212（9）2a （b+c ）-3（b+c ） （10）6(x-2）+x(2-x ）（11）yz x z xy z y x 223323153510+--3.计算：(1)4.28×31+42.8×2.9+8.56×20 (2) )5×34+24×33+63×324、先因式分解再求值：()()5242x m x m -+-，其中0.4, 5.5x m ==5、先化简,再求值: 3x 2（x 2－y 2）+6xy （x 2－y 2），其中x=2，y=3．6、拓展题:(1)．710－79－78能否被41整除.(2)计算：（－2）2002+（－2）2001的值．(3) 分解因式：(x+y)2-x-y。
人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿
人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿一. 教材分析《提公因式法因式分解》是人教版数学八年级上册第15章第4节的一个内容。
这一节主要介绍了提公因式法在因式分解中的应用。
在此之前，学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的因式分解，提公因式法是这两种方法之外的一种重要因式分解方法。
本节内容的学习，不仅丰富学生的因式分解方法，也为后续学习分式分解、二次方程的解法等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因式分解的概念和方法有一定的了解。
但是，对于提公因式法这种方法的理解和应用还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法的原理和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解提公因式法的原理，能够运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的原理和应用。
2.教学难点：如何引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解。
六. 说教学过程1.导入：回顾平方差公式和完全平方公式的因式分解，引出提公因式法。
2.自主学习：学生自主探索提公因式法的原理和应用。
3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的理解和发现。
4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，进行讲解和引导。
5.练习巩固：学生进行相关的练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容。
七. 说板书设计板书设计如下：提公因式法因式分解1.原理：找出多项式的公因式，提取公因式后，得到因式分解的结果。
a.找出多项式的公因式b.提取公因式c.验证因式分解的结果八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。
新人教版八年级数学上册15.4.1因式分解课后练习题和答案
新人教版八年级数学上册《15.4.1因式分解》课后练习题和答案新人教版八年级数学上册《15.4.1因式分解》课后练习题和答案15.4.1因式分解堂堂清练习题命题人：扶余二中阚淑霞审题人：宋福军侯玉林基础巩固:1.以下各式从左到右的变形属于因式分解的是( )An(x-y)=nx-ny B x2-3x+4=x(x-3)+4 C 7ab(-2a2c)=-14a3bc D a2-2a+1=( a-1) 22.观看以下各式：①abx-adx②2x 2y+6xy 2③8m3－4m2+2m+1④a3+a2b+ab2-b3⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q) 2⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x) 其中能够用提公因式法分解因式的有（）A①②⑤B②④⑤ C ②④⑥D ①②⑤⑥3.多项式－6m 3n-3m2n 2+12m 2n 3分解因式时应提取的公因式为（）A 3mn B-3m 2n C3mn 2 D-3m 2n 24.假设（x +y）3-xy(x+y)=(x+y)•A 那么A为（）A x2 + y2 Bx 2-xy+y2 Cx 2-3 xy+y 2 Dx2+xy+y 25.多项式8a4b2-6a2b3＋12a3b2的公因式是.6.多项式b(x+y) 与a(x+y)的公因式是.7.把多项式x2-mx-35分解因式为（x-5）(x+7)那么m的值为.8.因式分解：①－8a 3b-12ab 3 ②m(m-2n)+2n(2n-m)能力提升：1.（19x-31）(13x-17)-(13x-17)(11x-23) 可因式分解为（ax+b）(8x+c)其中a、b、c均为整数，那么a+b+c=( )A-12 B-32 C38 D722.假设多项式6x4y2+A的公因式是2x3y2, 写出一个符合条件的单项式A为.3.多项式18xn+1-24xn的公因式是.4.计算（－2）XX＋（－2）XX＝.5.已知a+b=2 , ab=3 .求a2b+ab2+ab的值.6.先化简，再求值：2a(a+b)-(a+b)2,其中a= b=拓展训练：1. 判定3200-4×3199+10×3198是不是是7的倍数，并说明你的理由.2. 分解因式：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+(1+a)3依照你发觉的规律，直接写出多项式1+a+a(1+a)+a(1+a)2+……+a(1+a)n分解因式的结果.15.4.1答案基础巩固：1.D2.D3.B4.D5.2a2b26.x+y7.-28. ①-4ab(2a2+3b2)②(m-2n)2能力提升：1.A2.2x3y2 (答案不唯一)3.6xn(3x-4)4.2XX5.解：a2b+ab2+ab=ab(a+b+1)∵a+b=2ab=3∴原式＝3×（2＋1）＝96.解：2a(a+b)-(a+b)2=(a+b)(2a-a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2当a = ,b =时，a2-b2＝( )2 –( )2 = 3-5 = -2 拓展训练：1.解：3200-4×3199+10×3198＝3198（32－4×3＋10）＝3198×7∴是7的倍数.2.1＋a＋a（1＋a）＋a(1+a)2+a(1+a)3=(1+a)41+a+a(1+a)+a(1+a)2+……+a(1+a)n=(1+a) n新人教版八年级数学上册《15.4.1因式分解》课后练习题和答案15.4.1因式分解堂堂清练习题命题人：扶余二中阚淑霞审题人：宋福军侯玉林基础巩固:1.以下各式从左到右的变形属于因式分解的是( )An(x-y)=nx-ny B x2-3x+4=x(x-3)+4 C 7ab(-2a2c)=-14a3bc D a2-2a+1=( a-1) 22.观看以下各式：①abx-adx②2x 2y+6xy 2③8m3－4m2+2m+1④a3+a2b+ab2-b3⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q) 2⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x) 其中能够用提公因式法分解因式的有（）A①②⑤B②④⑤ C ②④⑥D ①②⑤⑥3.多项式－6m 3n-3m2n 2+12m 2n 3分解因式时应提取的公因式为（）A 3mn B-3m 2n C3mn 2 D-3m 2n 24.假设（x +y）3-xy(x+y)=(x+y)•A 那么A为（）A x2 + y2 Bx 2-xy+y2 Cx 2-3 xy+y 2 Dx2+xy+y 25.多项式8a4b2-6a2b3＋12a3b2的公因式是.6.多项式b(x+y) 与a(x+y)的公因式是.7.把多项式x2-mx-35分解因式为（x-5）(x+7)那么m的值为.8.因式分解：①－8a 3b-12ab 3 ②m(m-2n)+2n(2n-m)能力提升：1.（19x-31）(13x-17)-(13x-17)(11x-23) 可因式分解为（ax+b）(8x+c)其中a、b、c均为整数，那么a+b+c=( )A-12 B-32 C38 D722.假设多项式6x4y2+A的公因式是2x3y2, 写出一个符合条件的单项式A为.3.多项式18xn+1-24xn的公因式是.4.计算（－2）XX＋（－2）XX＝.5.已知a+b=2 , ab=3 .求a2b+ab2+ab的值.6.先化简，再求值：2a(a+b)-(a+b)2,其中a= b=拓展训练：1. 判定3200-4×3199+10×3198是不是是7的倍数，并说明你的理由.2. 分解因式：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+(1+a)3依照你发觉的规律，直接写出多项式1+a+a(1+a)+a(1+a)2+……+a(1+a)n分解因式的结果.15.4.1答案基础巩固：1.D2.D3.B4.D5.2a2b26.x+y7.-28. ①-4ab(2a2+3b2)②(m-2n)2能力提升：1.A2.2x3y2 (答案不唯一)3.6xn(3x-4)4.2XX5.解：a2b+ab2+ab=ab(a+b+1)∵a+b=2ab=3∴原式＝3×（2＋1）＝96.解：2a(a+b)-(a+b)2=(a+b)(2a-a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2当a = ,b =时，a2-b2＝( )2 –( )2 = 3-5 = -2 拓展训练：1.解：3200-4×3199+10×3198＝3198（32－4×3＋10）＝3198×7∴是7的倍数.2.1＋a＋a（1＋a）＋a(1+a)2+a(1+a)3=(1+a)41+a+a(1+a)+a(1+a)2+……+a(1+a)n=(1+a) n新人教版八年级数学上册《15.4.1因式分解》课后练习题和答案15.4.1因式分解堂堂清练习题命题人：扶余二中阚淑霞审题人：宋福军侯玉林基础巩固:1.以下各式从左到右的变形属于因式分解的是( )An(x-y)=nx-ny B x2-3x+4=x(x-3)+4 C 7ab(-2a2c)=-14a3bc D a2-2a+1=( a-1) 22.观看以下各式：①abx-adx②2x 2y+6xy 2③8m3－4m2+2m+1④a3+a2b+ab2-b3⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q) 2⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x) 其中能够用提公因式法分解因式的有（）A①②⑤B②④⑤ C ②④⑥D ①②⑤⑥3.多项式－6m 3n-3m2n 2+12m 2n 3分解因式时应提取的公因式为（）A 3mn B-3m 2n C3mn 2 D-3m 2n 24.假设（x +y）3-xy(x+y)=(x+y)•A 那么A为（）A x2 + y2 Bx 2-xy+y2 Cx 2-3 xy+y 2 Dx2+xy+y 25.多项式8a4b2-6a2b3＋12a3b2的公因式是.6.多项式b(x+y) 与a(x+y)的公因式是.7.把多项式x2-mx-35分解因式为（x-5）(x+7)那么m的值为.8.因式分解：①－8a 3b-12ab 3 ②m(m-2n)+2n(2n-m)能力提升：1.（19x-31）(13x-17)-(13x-17)(11x-23) 可因式分解为（ax+b）(8x+c)其中a、b、c均为整数，那么a+b+c=( )A-12 B-32 C38 D722.假设多项式6x4y2+A的公因式是2x3y2, 写出一个符合条件的单项式A为.3.多项式18xn+1-24xn的公因式是.4.计算（－2）XX＋（－2）XX＝.5.已知a+b=2 , ab=3 .求a2b+ab2+ab的值.6.先化简，再求值：2a(a+b)-(a+b)2,其中a= b=拓展训练：1. 判定3200-4×3199+10×3198是不是是7的倍数，并说明你的理由.2. 分解因式：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+(1+a)3依照你发觉的规律，直接写出多项式1+a+a(1+a)+a(1+a)2+……+a(1+a)n分解因式的结果.15.4.1答案基础巩固：1.D2.D3.B4.D5.2a2b26.x+y7.-28. ①-4ab(2a2+3b2)②(m-2n)2能力提升：1.A2.2x3y2 (答案不唯一)3.6xn(3x-4)4.2XX5.解：a2b+ab2+ab=ab(a+b+1)∵a+b=2ab=3∴原式＝3×（2＋1）＝96.解：2a(a+b)-(a+b)2=(a+b)(2a-a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2当a = ,b =时，a2-b2＝( )2 –( )2 = 3-5 = -2 拓展训练：1.解：3200-4×3199+10×3198＝3198（32－4×3＋10）＝3198×7∴是7的倍数.2.1＋a＋a（1＋a）＋a(1+a)2+a(1+a)3=(1+a)41+a+a(1+a)+a(1+a)2+……+a(1+a)n=(1+a) n。
15.4.1因式分解 提公因式法
15.4 因式分解15.4.1提公因式法主备人：杨玉英预习内容：教科书八年级上册第165至167页.一、学习目标：理解因式分解的概念；掌握因式分解的方法提公因式法. 重 点：理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法一提公因式法. 难 点：寻找公因式.二、预习提纲1. 细读第165页，思考：630能被哪些整数整除？说说你是怎样想的？_______________________________2.阅读教材第165页的探究，完成第165页的填空.请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)________(2)_______________ 总结：上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式____________，也叫做把这个多项式 . 另外：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即____________________ .下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ；(4)4x 2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a 2+6a=3a （a+2）；(6)x x x x x 3)2)(2(342++-=+- (7))11(1x x x +=+；(8)18a 3bc=3a 2b ·6ac 。
3.阅读166页第一段内容.公因式的概念：_______________________________阅读第二段内容.什么叫提公因式法？找出公因式：c ab ab b a 3222834+- (2)532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+---（3） 22x x y x +- （4）yz x z xy z y x 223323153510+-- 通过上面四道题能否总结如何找公因式.4.细读166页例1、例2.注意解答过程.5.尝试练习：（1）c ab ab b a 3222834+- （2）6a(m+c) -3a 2(m+c)（3）ax x a ax +-223 （4）)2()2(52x a x -+-（5）)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++-（6）（a 2-ab ）+c （a-b ）简化计算：（1）14.37.014.35414.31.2⨯+⨯-⨯ （2）72.46241.23⨯-⨯三、交流与讨论;四、展示与点评：教师适当的补充.五、知识提炼：1.因式分解定义：因式分解与整式乘法的关系.2.公因式：3.提公因式：提公因式的关键：确定公因式4.确定公因式的步骤：（1）找系数的 .（2）找多项式各项中的 .（3）相同字母的 .3222236312x y x y x y -+20122013(2)(2)-+-222(3)(1)x bx c x x ++=-+六、当堂检测A 组1.下面从左到右的变形中，哪一个是因式分解（ ）222()1()1()()()()()()()()4()34(3)A ax bx x a bB a b a b a bC x a b b b a a b x bD x x x x x --=--+-=--+-=--+-=+-2.下列各个多项式的各项中，有公因式的是（ ） ()229A x y - ()235B x x -+()33C a b +()32D a b ab ab -+B 组3.多项式 的公因式 .4.分解因式：2（x-3)+x （3-x ）= . C 组5.计算：6.已知多项式 则b、c 的值是 . 课堂作业A 组1.分解因式：22x x -= .2.分解因式：()()23x y x y +-+= .3.已知多项式28x mx n +-因式分解的结果为()()4323x x -+，那么m-n= .4.已知6x y +=，3xy =-，则22x y xy += .5.下列各式从左到右的变换是因式分解的是（ ） ()()()()()()()2224444105521163(4)(4)3A a x y ax ayB x x x xC x x x xD x x x x x+=+-+=-+-=--+=+-+6.下列因式分解结果正确的是（ ） ()()()()23222222222282(4)()()1111444(2)(2)A m n n n m nB a b a b a bC x x x x xD m n m n m n -=-+-=-⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭-=+-7.多项式332224914a bc a b c +在分解因式时应提取的公因式是（ ） ()()()()3322222227777A a bc B a b c C ab c D a bcB 组8.利用因式分解计算: 10010122-等于（ ）A -2B 2C 1002-D 10029.如果33,a b -=-那么式子53a b -+的值为 .10.因式分解：2m mn nx mx --+= .11.分解因式：（1）2721a a - (2) 3238124x y xy z xyz -+（3）3()2()x m n y n m -+- (4) 22(3)4(3)a x a x -+-C 组12.求证：若n 为正整数，则n n 332-+能被24整除 13.7622110-74125.21-76135.1074175.31⨯⨯⨯+⨯32322010*********(4)201020102011-⨯-+-。
2015春北师大版数学八下4.1《因式分解》ppt课件2
m(a+b+c) ma+mb+m c (a+b)(a-b) a2 – (3) a2(3) (a+b)(a-b)=_____, 2=__________ 2 b b 2 2 2 (x-3) x -6x+9 (4) (x-3) =_________, 2(4) x 3a(a+1)(aa (5) a(a+1)(a-1)=____, 6x+9=________
新旧相联
联系1： 整式乘法与因式分解
整式的积
多项式 多项式 整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2 =(a+b)2 m(a+b+c) =am+bm+cm am+bm+cm =m(a+b+c)
整式乘法
互逆变形
因式分解
观察与思考
观察分解前多项式的次数与分解后每个 因式的次数，你有什么发现？ (1). 1-x2 =(1+x)(1-x) 分解后，每个因式的 次数都低于原来的多 (2). 4x2-8x =4x(x-2) 项式 (3). 1-4x2 =(12x)(1+2x) =(x-7)2 (4). x2-14x+49
火眼金睛
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
15.4.1因式分解-提公因式法 课件
(5)2a(y－z)－3b(z－y)
试一试
拓展应用
1、20042+2004能被2005整除吗?
2、先分解因式，再求值 4 a ( x 7 ) 3 ( x 7 ), 其中 a 5 , x 3
2
3、计算5×34＋24×33＋63×32
比一比，看谁算得快
已知：x=5，a－b=3， 求ax2－bx2的值。
整式乘法
互 逆
因分解
探索发现
因式分解：m a m b m c
解: m a m b m c m ( a b c )
提公因式法 公因式 多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以 分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种 因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究：
已知(a－3)2＋︱b＋2 ︱=0， 分解因式：3x＋y－2ax＋2by
小结
2
2
是
不是
不是 不是 不是 不是 是
2
（4）x 3 x 1 x ( x 3) 1 （5）2x(x-3y)=2x2-6xy （6） 1 8 a b c 3 a b 6 a c
3 2
（7）
x2+4x+4=(x+2)2
做一做
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= _____
根据左面的算式填空:
因式分解—— 提公因式法
桦甸五中 吕艳杰
学习目标
1.明确提公因式法分解因式与单项 式乘多项式的关系。
2.能正确找出多项式的公因式，熟 练用提公因式分解简单的多项式。
请把下列多项式写成整式乘积的形式
八年级数学上册《15.4.1因式分解》教案 新人教版
《15.4.1因式分解》教案教学目标（1）了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形．（2）会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式．（3）通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养整体思想和换元的意识． 教学重点与难点重点：因式分解的概念．难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解．教学设计一、问题讨论(探究)引入思考：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的。
在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式。
通过对上面问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形．探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的形式的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识，也渗透着数学中的类比思想．二、新课讲授（一）因式分解定义因式分解：上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解与整式乘法的关系： 可以看出，因式分解与整式乘法是相反方向的恒等变形，即互为逆运算。
探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要．提出因式分解的概念，利用因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形，并强调它们的特点．（二）因式分解方法研究（1）公因式研究多项式：ma+mb+mc 各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．公因式：多项式 它的各项都有一个公共的因式m , 我们把因式m 叫做这个多项式的公因式。
八年级数学上册 15.4因式分解(第1课时)教案 人教新课标版
15.4因式分解 15．4．1 平方差公式教学目标（一）教学知识点1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．（二）能力训练要求1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．2．培养学生观察、归纳、概括的能力．（三）情感与价值观要求在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．教学重点平方差公式的推导和应用．教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学方法探究与讲练相结合．通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．教具准备投影片．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999 （2）998×1002[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．[师]很好，请同学们自己动手运算一下．[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=4000000-1=3999999．（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2=10002-22=1000000-4=1999996．[师]2001×1999=20002-12998×1002=10002-22它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．Ⅱ．导入新课[师]出示投影片计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．（学生讨论，教师引导）[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1•这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．[生]解：（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·x-x·5y-（5y）2=x2-（5y）2[生]从刚才的运算我发现：也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．[师]能不能再举例验证你的发现？[生]能．例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．即（50+1）（50-1）=502-12．（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）=（-a）2-b2=a2-b2这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．[师]为什么会是这样的呢？[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．[生]这个规律用符号表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．（出示投影）两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即：（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算（出示投影片）例1：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）例2：计算：（1）102×98（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22（a+b）（a-b）=a2-b2同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5）=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？[生]我觉得应注意以下几点：（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．[生]运算的最后结果应该是最简才行．[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．Ⅲ．随堂练习出示投影片：计算：（1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b）（3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2）（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）Ⅳ．课时小结通过本节学习我们掌握了如下知识．（1）平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．•这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．（2）公式的结构特征①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．Ⅴ．课后作业1．课本练习1、2．《三级训练》板书设计。
八年级数学上册《15.4.1提公因式法》学案新人教版
八年级数学上册《15.4.1提公因式法》学案新人教版1、会用提公因式法分解因式。
1、单项式与多项式相乘，就是用去乘的，再把所得的积相加。
如：5ab(2a2b＋3ab－1)＝2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的去乘另一个多项式的，再把所得的积相加。
如：(x＋a)(x＋b)＝3、整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝4、整式乘法的完全平方公式：(a＋b)2＝，(a－b)2＝5、计算下列各式：①(x＋1)(x－1)＝_ ________；②(y－3)2＝___________ __；③x(x＋1)＝___ _________ __；④m(a ＋b＋c)＝______________6、根据上面的算式填空：①x2－1＝()( )；②y2－6y＋9＝ ( )2③x2＋x＝()()；④ma＋mb＋mc＝( )()；思考：⑴上面5与6中各式有什么区别与联系？⑵5中由整式乘积的形式得到多项式的运算是_____________、6 中由多项式得到整式乘积形式。
新知要点1、因式分解的概念定义：把一个化成几个的的形式，这种变形叫做把这个多项式______,也叫做把这个多项式____________。
特征：⑴要分解的式子是多项式；⑵因式分解的结果是整式的积的形式。
注意：⑴因式分解与整式乘法互为逆运算；⑵分解成的每一个因式都要分解到不能再分解为止；⑶因式分解的结果要与原式相等；⑷几个相同的因式的积要写成幂的形式。
因式分解与整式的乘法有什么关系？二、公因式的概念、一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两个不同的代数式表示这块场地的面积、① _______________________________,②___________________________定义：多项式各项教含有的公共因式叫做这个多项式的______________。
组成：⑴系数部分是取多项式的各项系数的__________________；⑵字母部分是取多项式各项中含有相同的字母的各，并且相同字母的指数取其次数________的。
北师大版八年级数学下册教案：4.1因式分解
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章第一节：4.1因式分解。教学内容主要包括以下两个方面：
1.因式分解的概念：通过实例引导学生理解因式分解的含义，即将一个多项式表示为几个整式的乘积。
2.因式分解的方法：介绍提公因式法、平方差公式和完全平方公式，并结合具体例题讲解这三种方法的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对因式分解的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
通过这次教学反思，我更加明确了自己在教学中需要改进的地方。希望在今后的教学过程中，能够更好地帮助学生们掌握因式分解的知识，提高他们的数学素养。
2.培养学生的逻辑思维能力，让学生通过探索和归纳，掌握因式分解的基本方法，培养其发现数学规律的能力。
3.培养学生的运算能力，提高学生在实际计算中运用因式分解方法的熟练度和准确性。
4.培养学生的数学建模素养，使学生能够将现实问题转化为数学问题，运用因式分解知识解决实际问题，增强数学应用的意识。
新人教版八年级数学上册15.4因式分解学案
优质文档新人教版八年级数学上册15.4因式分解学案西和县十里中学八年级学习目标：使学生在掌握基础知识过程中进行能力提升训练。
一.利用“提公因式法”分解因式：[来源:学科网]1.一个矩形的面积为a2-2ab+a,宽为a,则矩形的长为⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
2.已知6X2+Mx-20=(3x+4)(2x-5),则m=⎽⎽⎽⎽⎽.3.分解因式p2XY+pY2-Pxy2时，应提公因式是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
4.要使等式16（X-Y）3-24XY(Y-X)=8(X-Y)( )成立，则括号内应填上什么？5在一个边长为12.75米的正方形内剪去一个边长为7.25米的正方形，则剩下部分的面积应当是（）。
A.20cm2B.200cm c110cm2 D.11cm26.解方程组: 2x-y=12 求（2X-Y）3-（2X-Y）2(X-3Y)的值x+2y=11二。
利用“平方差公式”分解因式。
1. （1）1-25Y2 (2) 25(X+Y)2-9(X-Y)22. (1) 4X3-36XY2; (2) X2-Y2-4X+4；3. 若(2X)n-81=(4x2+9)(2x-3)(2x+3),则n的值是（）。
A.2B.4 C6 D84.分解因式X4-15.若n为任意整数，（n+11）2-n2的值总可以被K整除，则K为（）A 11 B.22 C.11或22 D.11的倍数6.已知X,Y满足方程组 3X+2Y=43X-2Y=-1不解方程组，求代数式4Y2-9X2三.利用“完全平方公式”分解因式。
1.（1）X2+6XY=9Y2; (2)9(a-b)2+42（a-b）+492. 已知X-Y=1,XY=2,求X3Y-2X2Y2+XY3的值。
3不论X,Y取任何值，代数式X2-4X+Y2-6Y+13的值总是（）A 非负数 B.正数 C.负数 D.非正数4.9（a-b）2+12(a2-b2)+4(a+b)2分解因式为（）A.(5a+b)2B.（b-5a）2C.（5b-a）2D.(5a-5b)25.已知a,b,c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ac,则△A BC为（）A.钝角三角形B.等边三角形C.等要三角形D.直角三角形6、(1)25X2+10X+1；(2).（x+y）2+4(x+y)+4四.运用X2+（P+Q）X+PQ=（X+P）(X+Q)把下列多项式分解因式。
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3x(x-1) (1) 3x2-3x=_______ (2)ma+mb+mc= m(a+b+c) ______
(m+4)(m-4) (3) m2-16=_________
(x-3)2 (4) x2-6x+9=________
a(a+1)(a-1) (5) a3-a=______
因式分解与整式乘法是互逆过程
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分 解因式的方法，叫做提公因式法。
说出下列多项式各项的公因式： 1、ma + mb m 2、4kx - 8ky 4k 3、5y3+20y2 5y2 4、a2b-2ab2+ab ab
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc).
例2Βιβλιοθήκη 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
例3:分解因式-
8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3
1.选择 （1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ）
一看系数 二看字母 三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析:先找出8a3b2与12ab3c的公因式,再提出公因式.我 们看这两项的系数8与12,它们的最大公约数是4;两项的 字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b,其中a的最低次数 是1,b的最低次数是2,我们选定4ab2为要提出的公因式. 提出公因式4ab2后,另一个因式2a2+3bc就不再有公因式 了. 解:8a3b2+12ab3c
2、先分解因式，再求值 4a 2 ( x 7) 3( x 7), 其中a 5, x 3
3、 计算: 765×172－2352 ×172
4、若x=-3,求20x2-60x的值
5、试一试:分解因式 (1)2x(a-2)+3y(2-a)
(2)(x-y)(5am-an-1)-(y-x)(3an-am+1)
2. 若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式, 则要提的公因式是 (a+b)x .
3. 已知关于x的二次三项式3x2-mx+n,因式分解 后的结果为(3x+2)(x-1),求m,n的值
4.把下列各式分解因式:
(1)8m2n+2mn;
(2)12xyz-9x2y2;
(3)2a(y-z)-3b(z-y); (4)p(a2+b2)-q(a2+b2). 5.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3. 6.计算5×34+24×33+63×32.
15.4.1 因式分解 （提公因式）
因式分解与整式乘法是互逆过程
整式的乘法 因 式 分 解 根据左面的算式填空:
计算下列各式: (1) 3x(x-1)= _____ 3x2-3x (2) m(a+b+c) = _____ ma+mb+mc (3) (m+4)(m-4)= m2-16 ____ (4) (x-3)2= _______ x2-6x+9 a3-a (5) a(a+1)(a-1)= ____
x2-1
因式分解
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变形
x2-1= (x+1)(x-1)
把一个多项式化成几个整式积的形
式,这种变形叫做把这个多项式因式 分解（或分解因式）.
怎样分解因式: ma mb mc
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式；
综合拓展
1.(1)分解因式: 1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3; (2)根据(1)中的规律,直接写出多项式 1+x+x(1+x)+x(1+x)2+……x(1+x)n-1分解 因式的结果.
2.猜一猜:817-279-913能被45整除吗?说 明理由.
试一试
拓展应用
1、 20092+2009能被2010整除吗?
（A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D ）
（A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
(3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab， 那么另一 个因式是（ ） D （A）-1-3x+4y （C）-1-3x-4y （B）1+3x-4y （D）1-3x-4y
(3)2x(2x-y)2-y(y-2x)2
(4)45(x-y)3-30y(x-y)2
.规律总结
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.